Неравенство Харди с точки зрения Gemini 3.0

 

 

Это замечательный запрос. Доказательство неравенства Харди — это, пожалуй, самая красивая и сильная иллюстрация того, как работает дифференциальная связь между функцией и её средним, которую мы вывели для случая \( n=1 \).

Напомню, классическое **неравенство Харди** утверждает, что если \( f \in L^p \) (при \( p > 1 \)), то норма её интегрального среднего не превосходит нормы самой функции с коэффициентом \( \frac{p}{p-1} \):
$$ \int_0^\infty \left( \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt \right)^p dx \le \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \int_0^\infty f(x)^p dx $$

Докажем это, используя тождество из нашего обсуждения.

---

### Шаг 1. Используем дифференциальную форму тождества

Для случая \( n=1 \) мы обозначили текущее среднее как \( \bar{f}(x) \):
$$ \bar{f}(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt $$

В предыдущем ответе мы вывели ключевую связь (тождество в дифференциальной форме):
$$ \bar{f}'(x) = \frac{f(x) - \bar{f}(x)}{x} $$
Или, переписав удобнее для нас:
$$ x \cdot \bar{f}'(x) = f(x) - \bar{f}(x) \quad (*)$$

Это уравнение (*) — сердцевина доказательства. Оно говорит, что скорость изменения среднего пропорциональна отклонению функции от этого среднего.

### Шаг 2. Интегрирование по частям

Рассмотрим левую часть неравенства Харди — интеграл от \( p \)-й степени среднего. Будем считать, что функции неотрицательны (это не нарушает общности для норм).
Пусть \( I = \int_0^\infty (\bar{f}(x))^p dx \).

Применим метод интегрирования по частям. Представим подынтегральное выражение как произведение \( 1 \cdot (\bar{f}(x))^p \):
$$ I = \int_0^\infty 1 \cdot (\bar{f}(x))^p \, dx $$

Пусть:
*   \( u = (\bar{f}(x))^p \), тогда \( du = p (\bar{f}(x))^{p-1} \cdot \bar{f}'(x) \, dx \)
*   \( dv = dx \), тогда \( v = x \)

Интегрируем:
$$ I = \left[ x \cdot (\bar{f}(x))^p \right]_0^\infty - \int_0^\infty x \cdot p (\bar{f}(x))^{p-1} \bar{f}'(x) \, dx $$

*Примечание: Граничный член \([ x \bar{f}^p ]_0^\infty\) равен нулю для функций из класса \( L^p \) (стандартное условие при выводе Харди, обеспечивающее убывание на бесконечности).*

Остается интеграл:
$$ I = - p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} \cdot \underbrace{ \left[ x \cdot \bar{f}'(x) \right] }_{\text{Наше тождество (*)}} \, dx $$

### Шаг 3. Подстановка тождества восстановления

Вот здесь и срабатывает наша формула. Заменяем сгруппированный член \( x \bar{f}'(x) \) на \( f(x) - \bar{f}(x) \):

$$ I = - p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} \cdot (f(x) - \bar{f}(x)) \, dx $$

Раскроем скобки под интегралом:
$$ I = - p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} f(x) \, dx + p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} \bar{f}(x) \, dx $$

Второе слагаемое упрощается, так как \( (\bar{f})^{p-1} \cdot \bar{f} = (\bar{f})^p \):
$$ I = - p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} f(x) \, dx + p \underbrace{\int_0^\infty (\bar{f}(x))^p \, dx}_{I} $$

Имеем уравнение относительно искомого интеграла \( I \):
$$ I = - p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} f(x) \, dx + pI $$

Перенесем \( pI \) влево (или наоборот, перегруппируем, чтобы величины были положительными):
$$ (p - 1) I = p \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} f(x) \, dx $$

$$ I = \frac{p}{p-1} \int_0^\infty (\bar{f}(x))^{p-1} f(x) \, dx $$

### Шаг 4. Применение неравенства Гёльдера

Теперь нам нужно оценить интеграл справа. Используем неравенство Гёльдера с показателями \( p \) и \( q = \frac{p}{p-1} \) (сопряженный показатель):

$$ \int (\bar{f})^{p-1} f \le \left( \int [(\bar{f})^{p-1}]^{\frac{p}{p-1}} dx \right)^{\frac{p-1}{p}} \cdot \left( \int f^p dx \right)^{\frac{1}{p}} $$

Упростим степень в первом интеграле: \( (p-1) \cdot \frac{p}{p-1} = p \).
Получаем:
$$ \int (\bar{f})^{p-1} f \le \left( \int (\bar{f})^p dx \right)^{\frac{p-1}{p}} \cdot \| f \|_p $$
Заметим, что \( \int (\bar{f})^p dx \) — это наш исходный интеграл \( I \).
$$ \int (\bar{f})^{p-1} f \le I^{\frac{p-1}{p}} \cdot \| f \|_p $$

### Шаг 5. Финал

Подставляем эту оценку в равенство из конца Шага 3:
$$ I \le \frac{p}{p-1} \cdot I^{\frac{p-1}{p}} \cdot \| f \|_p $$

Разделим обе части на \( I^{\frac{p-1}{p}} \) (при условии \( I \neq 0 \)):
$$ I^{1 - \frac{p-1}{p}} \le \frac{p}{p-1} \| f \|_p $$

Показатель степени слева: \( 1 - \frac{p-1}{p} = \frac{p - (p-1)}{p} = \frac{1}{p} \).
$$ I^{\frac{1}{p}} \le \frac{p}{p-1} \| f \|_p $$

Вспоминая, что \( I = \int (\bar{f})^p \), получаем окончательно:
$$ \left( \int_0^\infty (\bar{f}(x))^p dx \right)^{1/p} \le \frac{p}{p-1} \left( \int_0^\infty (f(x))^p dx \right)^{1/p} $$

### Вывод
Мы доказали неравенство Харди, опираясь исключительно на тождество восстановления для \( n=1 \).
Суть доказательства свелась к замене «неудобной» производной \( \bar{f}'(x) \), возникающей при интегрировании по частям, на алгебраическую разность \( f(x) - \bar{f}(x) \), которую нам дало тождество. Это демонстрирует мощь конструкции \( S^\perp \): она превращает дифференциальные свойства в алгебраические связи между значениями.