Интерполяция Ньютона используется для нахождения полинома, который проходит через заданные точки. Для полинома первой степени (линейного) и второй степени (квадратичного) существуют свои формулы и методы вычисления. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

### Интерполяция Ньютона для многочлена первой степени

Для линейного полинома (первой степени) достаточно двух точек \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\). Интерполяционный полином Ньютона первой степени имеет вид:

\[ P_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) \]

### Интерполяция Ньютона для многочлена второй степени

Для квадратичного полинома (второй степени) требуется три точки \((x_0, y_0)\), \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Интерполяционный полином Ньютона второй степени имеет вид:

\[ P_2(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) + \left( \frac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} \right) (x - x_0)(x - x_1) \]

### Пример расчета

Рассмотрим пример для иллюстрации.

#### Пример для линейного многочлена

Даны точки: \((1, 2)\) и \((3, 3)\).

Интерполяционный полином первой степени:

\[ P_1(x) = 2 + \frac{3 - 2}{3 - 1} (x - 1) = 2 + \frac{1}{2} (x - 1) = 2 + 0.5(x - 1) \]

Упростим выражение:

\[ P_1(x) = 2 + 0.5x - 0.5 = 0.5x + 1.5 \]

#### Пример для квадратичного многочлена

Даны точки: \((1, 2)\), \((2, 3)\) и \((4, 1)\).

Сначала найдем коэффициенты для каждого члена полинома.

1. \( a_0 = y_0 = 2 \)
2. \( a_1 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1 \)
3. \( a_2 = \frac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} = \frac{\frac{1 - 3}{4 - 2} - \frac{3 - 2}{2 - 1}}{4 - 1} = \frac{\frac{-2}{2} - 1}{3} = \frac{-1 - 1}{3} = -\frac{2}{3} \)

Теперь запишем полином:

\[ P_2(x) = 2 + 1(x - 1) - \frac{2}{3}(x - 1)(x - 2) \]

Упростим выражение:

\[ P_2(x) = 2 + (x - 1) - \frac{2}{3}(x^2 - 3x + 2) \]

\[ P_2(x) = 2 + x - 1 - \frac{2}{3}x^2 + 2x - \frac{4}{3} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + 2 - 1 - \frac{4}{3} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + \frac{2 - 1 - \frac{4}{3}}{1} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x - \frac{1}{3} \]

Таким образом, получаем:

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x - \frac{1}{3} \]

Это и будет искомый интерполяционный полином второй степени.

Сергей Петрович Новиков (1938-2024)

Первое - что вспомнилось - речь СПН над гробом АНК. 

Примечательная речь, коротко сказать - покойник был крупным математиком, но прошлой

эпохи, и вообще теория множеств скорее вредна, чем полезна. 

Такое вот, надгробное. А вот что будут говорить над гробом СПН, не знаю.

Вряд ли скажут то, что думают, : покойный крупным математиком и противоречивым человеком,

со странностями - типа обнародования сплетен о том, как сильный Сельберг по пьяне (бутылки привезла русская дама, математик) душил хилого Ленга. Хилый Ленг, звучит стильно, ага.

А все потому, что его не взяли на конференцию, не пустили, тоже по-пьяне, возможно, но его СПН.

Однако в главном он был прав: математики как люди хуже (во многих смыслах, прежде всего отношениями с властями) чем физики - да и сейчас это видно: сколько крупных математиков выступило против безумного хуйла, безумной войны? Чего-то не знаметил, кое-кто подписал кое-что, а потом

убрали подписи...  то ли они левые, в массе своей, то ли   просто трусы.

Да и СПН не подписал бы, будь бы помоложе, в нем было нечто от Михалкова (нехорошее) - уважал силу и власть, даже подлую и опасную власть, в этом смысле СПН был русским

человеком : пьющим властным феодалом, умным и государственным, в некотором смысле.

Но про физиков и математиков - правда, физику нужно было учить, но в молодости, даже в юности, пусть она и талмудична, ... хотя, время то  другое, и что нужно учить сейчас?

 ----------------------------------

ps. Надгробное, типа:  Отрицание Харди, как чистого математика, ценящего искусство узоров мысли более приложений к грешной жизни, забавно сравнить с анализом его Апологии компьютерной программой NotebookLM

Может быть Харди прав, и все что нам, людям остается это радоваться красоте, радоваться, красоте, ибо:

«Я слышал от своего учителя: „Кто использует машины, тот делает все свои дела машинообразно; кто действует машинообразно, у того сердце становится машинным. У кого в груди машинное сердце, тот утрачивает чистую простоту, а без чистой простоты не может быть уверенности в побуждениях собственного духа. Неуверенность в побуждениях собственного духа не уживается с истинным смыслом“. Я не потому не пользуюсь этой машиной, что ее не знаю, а потому, что стыжусь это делать».

мы на пороге утраты чистой простоты 

... за порогом, вообще говоря.

-----------------------ps.ps.------------------------------

Ну и, конечно, физики поучаствовали в рисовании картинок stable diffusion,

хорошо это или плохо, ? - остановиться не могут - сделают, а потом хватаются за голову - а может не надо было? ггг - уже было, но молодых не удержать.

термодинамика и статистическая физика - инструменты для создания голема,

который уже стучит, стучит, 5 раз...стучит в ваши двери

По плодам их узна́ете их.

Ученики Игоря Шевчука и примкнувший к ним Федя Назаров, решили еще одну нетривиальную задачу:

Слава Украине!

Героям Слава!