Интерполяция Ньютона используется для нахождения полинома, который проходит через заданные точки. Для полинома первой степени (линейного) и второй степени (квадратичного) существуют свои формулы и методы вычисления. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

### Интерполяция Ньютона для многочлена первой степени

Для линейного полинома (первой степени) достаточно двух точек $(x_0,y_0)$ и $(x_1,y_1)$. Интерполяционный полином Ньютона первой степени имеет вид:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P_1(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)\end{array}$$

### Интерполяция Ньютона для многочлена второй степени

Для квадратичного полинома (второй степени) требуется три точки $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$. Интерполяционный полином Ньютона второй степени имеет вид:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& P_2(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)+\left(\frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}\right)(x-x_0)(x-x_1)\end{array}$$

### Пример расчета

Рассмотрим пример для иллюстрации.

#### Пример для линейного многочлена

Даны точки: $(1,2)$ и $(3,3)$.

Интерполяционный полином первой степени:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P_1(x)=2+\frac{3-2}{3-1}(x-1)=2+\frac{1}{2}(x-1)=2+0.5(x-1)\end{array}$$

Упростим выражение:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& P_1(x)=2+0.5x-0.5=0.5x+1.5\end{array}$$

#### Пример для квадратичного многочлена

Даны точки: $(1,2)$, $(2,3)$ и $(4,1)$.

Сначала найдем коэффициенты для каждого члена полинома.

1. $a_0=y_0=2$
2. $a_1=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{3-2}{2-1}=1$
3. $a_2=\frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}=\frac{\frac{1-3}{4-2}-\frac{3-2}{2-1}}{4-1}=\frac{\frac{-2}{2}-1}{3}=\frac{-1-1}{3}=-\frac{2}{3}$

Теперь запишем полином:

$$\begin{array}{}\text{(5)}& P_2(x)=2+1(x-1)-\frac{2}{3}(x-1)(x-2)\end{array}$$

Упростим выражение:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& P_2(x)=2+(x-1)-\frac{2}{3}(x^2-3x+2)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& P_2(x)=2+x-1-\frac{2}{3}{x}^2+2x-\frac{4}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& P_2(x)=-\frac{2}{3}{x}^2+3x+2-1-\frac{4}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& P_2(x)=-\frac{2}{3}{x}^2+3x+\frac{2-1-\frac{4}{3}}{1}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& P_2(x)=-\frac{2}{3}{x}^2+3x+\frac{3}{3}-\frac{4}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& P_2(x)=-\frac{2}{3}{x}^2+3x-\frac{1}{3}\end{array}$$

Таким образом, получаем:

$$\begin{array}{}\text{(12)}& P_2(x)=-\frac{2}{3}{x}^2+3x-\frac{1}{3}\end{array}$$

Это и будет искомый интерполяционный полином второй степени.