mathstral, Newton-Pepys

 Что вероятней:

...     A. Шесть честных кубиков бросаются независимо друг от друга, и выпадает по крайней мере одна цифра «6».
...     B. Двенадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере две «6».
...     C. Восемнадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере три «6».

1. **Calculate the probability for option A:**
   - Event $A$: At least one six appears when rolling six fair dice.
   - The complementary event $\bar{A}$ is that no six appears on any die.
   - Probability of not getting a six on one die:
     $$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbb{P}(\text{not six})=\frac{5}{6}\end{array}$$
   - Since the dice rolls are independent, the probability of not getting a six on all six dice is:
     $$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbb{P}(\overline{A})={\left(\frac{5}{6}\right)}^6\end{array}$$
   - Therefore, the probability of getting at least one six is:
     $$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(\overline{A})=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\end{array}$$

2. **Calculate the probability for option B:**
   - Event $B$: At least two sixes appear when rolling twelve fair dice.
   - The complementary event $\bar{B}$ is that fewer than two sixes appear (i.e., zero or one six).
   - Probability of not getting a six on one die:
     $$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathbb{P}(\text{not six})=\frac{5}{6}\end{array}$$
   - The probability of getting exactly one six in twelve rolls can be calculated as follows:
     $$\begin{array}{}\text{(5)}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{1})\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}\end{array}$$
   - Thus, the total probability for fewer than two sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathbb{P}(\overline{B})={\left(\frac{5}{6}\right)}^{12}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{1})\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}\end{array}$$
   - Therefore, the probability of getting at least two sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbb{P}(B)=1-\mathbb{P}(\overline{B})=1-[{\left(\frac{5}{6}\right)}^{12}+12\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}]\end{array}$$

3. **Calculate the probability for option C:**
   - Event $C$: At least three sixes appear when rolling eighteen fair dice.
   - The complementary event $\bar{C}$ is that fewer than three sixes appear (i.e., zero, one, or two sixes).
   - Probability of not getting a six on one die:
     $$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathbb{P}(\text{not six})=\frac{5}{6}\end{array}$$
   - The probability of getting exactly two sixes in eighteen rolls can be calculated as follows:
     $$\begin{array}{}\text{(9)}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^{16}\end{array}$$
   - Thus, the total probability for fewer than three sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathbb{P}(\overline{C})={\left(\frac{5}{6}\right)}^{18}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{1})\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^{17}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^{16}\end{array}$$
   - Therefore, the probability of getting at least three sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathbb{P}(C)=1-\mathbb{P}(\overline{C})=1-[{\left(\frac{5}{6}\right)}^{18}+18\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{17}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^{16}]\end{array}$$

4. **Comparison:**
   - The events can be compared by their complementary probabilities because the function $\mathbb{P}(\bar{A})$
decreases as the number of dice increases (since the probability that none of the dice show a specific value
decreases with more rolls).
   - Hence, we have:
     $$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathbb{P}(\overline{A})>\mathbb{P}(\overline{B})>\mathbb{P}(\overline{C})\end{array}$$
   - Consequently, the probability that event $C$ (getting at least three sixes with eighteen dice) is the highest
among the given options.

Conclusion:
$$\begin{array}{}\text{(13)}& \boxed{{\displaystyle \text{C}}}\end{array}$$

 ==========

 все верно, кроме ответа. вычисляет плохо, как все. поэтому нужно просить написать код. пишет с плохими отступами, но пишет верно, ну трудно написать неверно, а codestral неправильно пишет формулы.... такие дела - медленней и неправильно, но вычисляет верно.

chat gpt 4o -     решил верно, но ошибся в вычислениях.

mistral2 (?) - не уверен, что такой стоит - не стал вычислять 

(мудро) - а сказал, что кажется мне, что А из общих соображений..

попросил вычислить - тут же привел пример программу на питоне  и все верно вычислил...,

вы хотите песен - их есть у меня.  разумный.

не знаю что такое будет gpt 5 ...   но открытый код мистраля...   делает свое дело.

просто разработчики бедней и умней. llama 3.1(фейсбук) хуже, так же как продукт 

google (ge..), не говорю о 

microsoft (какими были такими и остались)

llama 3.1 (8,70, 403) может в чем-то и лучше (не знаю в чем) - но глупей ггг.

=====================================

модели меняются, сегодня (и месяца не прошло, после рождения) они уже другие, процесс пошел, так сказать. Теорему Пифагора мистраль уже доказал. mathstral еще нет, но ..  стал быстрей и все менее и менее напоминает усердного, тупого школьника, mathstral поумнел, учитывая его небольшой размер и способность работать на лаптопе...процесс побежал ... пока не очень быстро, но побежал.

mathstral, small, local and fast

 >>> реши задачу: мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда я был таким, каким теперь вы стали
1. **Define Variables**:
   - Let $x$ be the number of years I have now.
   - Let $y$ be the number of years you have now.

2. **Formulate Equations**:
   - According to the problem statement, "I am twice as old as you were when I was your current age."
     - This can be translated into the equation: $x=2(y-(x-y))$

3. **Simplify the Equation**:
   $$\begin{array}{}\text{(14)}& x=2(y-x+y)\end{array}$$
   $$\begin{array}{}\text{(15)}& x=2(2y-x)\end{array}$$
   $$\begin{array}{}\text{(16)}& x=4y-2x\end{array}$$
   $$\begin{array}{}\text{(17)}& 3x=4y\end{array}$$

4. **Solve for One Variable**:
   $$\begin{array}{}\text{(18)}& y=\frac{3x}{4}\end{array}$$

5. **Interpret the Solution**:
   - Given $x$ and $y$, we now have a relationship between our ages in terms of $x$.
     - If $x$ (my current age) is known, $y$ (your current age) can be determined using the equation.

6. **Verify the Solution**:
   - The derived relation $y=\frac{3x}{4}$ ensures that my age is twice what your age was when I was at your
current age.

**Conclusion**:
Thus, the solution to the problem provides a relationship between our ages as:
$$\begin{array}{}\text{(19)}& \boxed{{\displaystyle y=\frac{3x}{4}}}\end{array}$$

=============================

 однако теорему Пифагора не доказывает. Пишет тавтологию. Но в элементарной арифметике, вроде, не ошибается, чем страдают большинство неспециализированных моделей. codestral (тоже запускается на лаптопе с 64 gb ram) потяжелей, помедленней, но неплохо пишет коды... 

Однако большие модели gpt 4o и mistral2 лучше, конечно, но локально их не поставишь... слишком велики.

 Конечно! Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Формально это можно записать как:

$$\begin{array}{}\text{(20)}& a^2+b^2=c^2\end{array}$$

где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

### Доказательство теоремы Пифагора

Одно из классических доказательств теоремы Пифагора основано на разложении квадрата на четыре прямоугольных треугольника и квадрат.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.
2. Построим квадрат со стороной $a+b$.
3. Разделим этот квадрат на четыре прямоугольных треугольника и квадрат со стороной $c$.

Теперь, если мы сложим площади четырех прямоугольных треугольников и квадрата со стороной $c$, мы получим площадь квадрата со стороной $a+b$.

Площадь квадрата со стороной $a+b$:

$$\begin{array}{}\text{(21)}& (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\end{array}$$

Площадь четырех прямоугольных треугольников:

$$\begin{array}{}\text{(22)}& 4\times \frac{1}{2}ab=2ab\end{array}$$

Площадь квадрата со стороной $c$:

$$\begin{array}{}\text{(23)}& c^2\end{array}$$

Следовательно,

$$\begin{array}{}\text{(24)}& a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\end{array}$$

Отсюда,

$$\begin{array}{}\text{(25)}& a^2+b^2=c^2\end{array}$$

### Рисунок на Python

Для визуализации теоремы Пифагора можно использовать библиотеку `matplotlib` в Python. Вот пример кода, который рисует прямоугольный треугольник и квадраты на его катетах и гипотенузе:

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches

# Параметры треугольника
a = 3
b = 4
c = 5

# Создание фигуры и осей
fig, ax = plt.subplots()

# Рисование треугольника
triangle = patches.Polygon([[0, 0], [a, 0], [0, b]], closed=True, fill=None, edgecolor='r')
ax.add_patch(triangle)

# Рисование квадратов на катетах
square_a = patches.Rectangle((0, 0), a, a, fill=None, edgecolor='b')
square_b = patches.Rectangle((0, 0), b, b, fill=None, edgecolor='g')
ax.add_patch(square_a)
ax.add_patch(square_b)

# Рисование квадрата на гипотенузе
square_c = patches.Rectangle((0, 0), c, c, fill=None, edgecolor='m')
ax.add_patch(square_c)

# Настройка осей
ax.set_xlim(-1, max(a, b, c) + 1)
ax.set_ylim(-1, max(a, b, c) + 1)
ax.set_aspect('equal')

# Показ рисунка
plt.show()
```

Этот код создает прямоугольный треугольник с катетами $a=3$ и $b=4$, а также квадраты на его катетах и гипотенузе. Вы можете изменить значения $a$, $b$ и $c$ для других треугольников.