mathstral, Newton-Pepys

 Что вероятней:

...     A. Шесть честных кубиков бросаются независимо друг от друга, и выпадает по крайней мере одна цифра «6».
...     B. Двенадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере две «6».
...     C. Восемнадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере три «6».

1. **Calculate the probability for option A:**
   - Event $A$: At least one six appears when rolling six fair dice.
   - The complementary event $\bar{A}$ is that no six appears on any die.
   - Probability of not getting a six on one die:
     $$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbb{P}(\text{not six})=\frac{5}{6}\end{array}$$
   - Since the dice rolls are independent, the probability of not getting a six on all six dice is:
     $$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbb{P}(\overline{A})={\left(\frac{5}{6}\right)}^6\end{array}$$
   - Therefore, the probability of getting at least one six is:
     $$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(\overline{A})=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\end{array}$$

2. **Calculate the probability for option B:**
   - Event $B$: At least two sixes appear when rolling twelve fair dice.
   - The complementary event $\bar{B}$ is that fewer than two sixes appear (i.e., zero or one six).
   - Probability of not getting a six on one die:
     $$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathbb{P}(\text{not six})=\frac{5}{6}\end{array}$$
   - The probability of getting exactly one six in twelve rolls can be calculated as follows:
     $$\begin{array}{}\text{(5)}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{1})\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}\end{array}$$
   - Thus, the total probability for fewer than two sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathbb{P}(\overline{B})={\left(\frac{5}{6}\right)}^{12}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{1})\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}\end{array}$$
   - Therefore, the probability of getting at least two sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbb{P}(B)=1-\mathbb{P}(\overline{B})=1-[{\left(\frac{5}{6}\right)}^{12}+12\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}]\end{array}$$

3. **Calculate the probability for option C:**
   - Event $C$: At least three sixes appear when rolling eighteen fair dice.
   - The complementary event $\bar{C}$ is that fewer than three sixes appear (i.e., zero, one, or two sixes).
   - Probability of not getting a six on one die:
     $$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathbb{P}(\text{not six})=\frac{5}{6}\end{array}$$
   - The probability of getting exactly two sixes in eighteen rolls can be calculated as follows:
     $$\begin{array}{}\text{(9)}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^{16}\end{array}$$
   - Thus, the total probability for fewer than three sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathbb{P}(\overline{C})={\left(\frac{5}{6}\right)}^{18}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{1})\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^{17}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^{16}\end{array}$$
   - Therefore, the probability of getting at least three sixes is:
     $$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathbb{P}(C)=1-\mathbb{P}(\overline{C})=1-[{\left(\frac{5}{6}\right)}^{18}+18\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{17}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^{16}]\end{array}$$

4. **Comparison:**
   - The events can be compared by their complementary probabilities because the function $\mathbb{P}(\bar{A})$
decreases as the number of dice increases (since the probability that none of the dice show a specific value
decreases with more rolls).
   - Hence, we have:
     $$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathbb{P}(\overline{A})>\mathbb{P}(\overline{B})>\mathbb{P}(\overline{C})\end{array}$$
   - Consequently, the probability that event $C$ (getting at least three sixes with eighteen dice) is the highest
among the given options.

Conclusion:
$$\begin{array}{}\text{(13)}& \boxed{{\displaystyle \text{C}}}\end{array}$$

 ==========

 все верно, кроме ответа. вычисляет плохо, как все. поэтому нужно просить написать код. пишет с плохими отступами, но пишет верно, ну трудно написать неверно, а codestral неправильно пишет формулы.... такие дела - медленней и неправильно, но вычисляет верно.

chat gpt 4o -     решил верно, но ошибся в вычислениях.

mistral2 (?) - не уверен, что такой стоит - не стал вычислять 

(мудро) - а сказал, что кажется мне, что А из общих соображений..

попросил вычислить - тут же привел пример программу на питоне  и все верно вычислил...,

вы хотите песен - их есть у меня.  разумный.

не знаю что такое будет gpt 5 ...   но открытый код мистраля...   делает свое дело.

просто разработчики бедней и умней. llama 3.1(фейсбук) хуже, так же как продукт 

google (ge..), не говорю о 

microsoft (какими были такими и остались)

llama 3.1 (8,70, 403) может в чем-то и лучше (не знаю в чем) - но глупей ггг.

=====================================

модели меняются, сегодня (и месяца не прошло, после рождения) они уже другие, процесс пошел, так сказать. Теорему Пифагора мистраль уже доказал. mathstral еще нет, но ..  стал быстрей и все менее и менее напоминает усердного, тупого школьника, mathstral поумнел, учитывая его небольшой размер и способность работать на лаптопе...процесс побежал ... пока не очень быстро, но побежал.