**Определение мартингала (формулировка без прямого употребления терминов теории вероятностей)**
Пусть
* \((\Omega ,\mathcal F ,\mu )\) – измеримое пространство, где \(\mu\) – конечная (или σ‑конечная) мера;
* \(\{\mathcal F _n\}_{n\ge 0}\) – возрастающая последовательность подсигма‑алгебр \(\mathcal F _0\subseteq \mathcal F _1\subseteq\cdots\subseteq\mathcal F\);
* \(L^1(\Omega ,\mathcal F ,\mu )\) – класс (модуль) всех \(\mu\)-интегрируемых функций \(f\colon \Omega\to\mathbb R\) (то есть \(\int_{\Omega}|f|\,d\mu<\infty\)).
Для каждой подсигма‑алгебры \(\mathcal G\subseteq\mathcal F\) существует (единственное почти везде) **условное среднее** (условный интеграл)
\[
\mathbf E\bigl[f\mid\mathcal G\bigr]\;:=\;g\in L^1(\Omega ,\mathcal G ,\mu ),
\]
которое характеризуется единственным свойством
\[
\int_A g\,d\mu \;=\; \int_A f\,d\mu \qquad\text{для всех }A\in\mathcal G .
\tag{1}
\]
То есть \(g\) – это \(\mathcal G\)‑измеримая функция, интеграл которой по любому измеримому множеству из \(\mathcal G\) совпадает с интегралом исходной функции \(f\) по тому же множеству.
---
### Мартингал
Последовательность функций \(\{X_n\}_{n\ge0}\subset L^1(\Omega ,\mathcal F ,\mu )\) называется **мартингалом** относительно выбранной последовательности подсигма‑алгебр \(\{\mathcal F _n\}\), если выполнены два условия:
1. **\(\mathcal F _n\)-измеримость**
\[
X_n \text{ является } \mathcal F _n\text{-измеримой } \quad\forall n\ge0,
\tag{M1}
\]
то есть значение \(X_n(\omega)\) зависит только от информации, заключённой в \(\mathcal F _n\).
2. **Сохранение условного среднего**
\[
\mathbf E\!\bigl[\,X_{n+1}\mid \mathcal F _n\,\bigr]=X_n
\qquad \mu\text{-почти везде} \quad\forall n\ge0 .
\tag{M2}
\]
В терминах интегралов это равенство эквивалентно следующему требованию: для любого измеримого множества \(A\in\mathcal F _n\)
\[
\int_{A} X_{n+1}\,d\mu \;=\; \int_{A} X_{n}\,d\mu .
\tag{M2‑int}
\]
То есть условный интеграл функции, следующей во времени, по каждому «наблюдаемому» набору \(A\) из \(\mathcal F _n\) одинаков с интегралом текущей функции.
Эти два свойства полностью определяют мартингал без обращения к вероятностным понятиям (случайные величины, вероятностные меры, ожидание и т.п.).
---
### Краткое пояснение, почему (M2) эквивалентно (M2‑int)
Из определения условного среднего (1) получаем, что функция \(g=\mathbf E[X_{n+1}\mid \mathcal F _n]\) удовлетворяет
\[
\int_A g\,d\mu=\int_A X_{n+1}\,d\mu\quad\forall A\in\mathcal F _n .
\]
Положив в (M2) \(g=X_n\) получаем именно равенство (M2‑int). Обратное следствие: если (M2‑int) выполнено, то по единственности функции, удовлетворяющей (1), получаем \(\mathbf E[X_{n+1}\mid\mathcal F _n]=X_n\) почти везде.
---
### Интуитивный смысл (не‑вероятностный)
* \(\mathcal F _n\) описывает, какую часть информации о точке \(\omega\in\Omega\) мы «знаем» к моменту \(n\).
* Функция \(X_n\) – это число, вычисленное из этой известной части информации.
* Условие (M2) говорит, что если мы перейдём к следующему уровню информации \(\mathcal F_{n+1}\) и усредним полученное новое число \(X_{n+1}\) **по всем точкам, которые имели одинаковую информацию на этапе \(n\)**, то в среднем получим именно прежнее число \(X_n\).
Таким образом, мартингал – это последовательность функций, которые «не дают никакой выгоды» при уточнении информации: их среднее (по каждому «классу» одинаковой информации) сохраняется.
---
**Итого:**
- Мартингал \(\{X_n\}\) – последовательность \(\mu\)-интегрируемых функций, измеримых относительно возрастающей цепочки подсигма‑алгебр, и сохраняющих условный средний интеграл из шага в шаг.
- Формула (M2‑int) полностью заменяет традиционное обозначение \(\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n\) и позволяет работать лишь с измеримыми функциями и интегралами.
===================================================================
То, что машина пишет, на сегодняший день (1 ноября 2025 года) напоминает движение в направлении соединить куски на которые время разбило физико-математику, физику и фурье-анализ, дискретное и непрерывное, алгебру (сверточную) и анализ, вероятность (Дуб-Бурхольдер) и анализ (Харди-Стейн-Фефферман), комбинаторику и геометрию, машина рассказывает на разных языках (она ведь языковая модель!) одинаковые по существу конструкции, действует как Святой Дух на 50 день воскресения Христа:
= внезапно сделался шум с неба, как бы от несущегося сильного ветра, и наполнил весь дом, где они находились. И явились им разделяющиеся языки, как бы огненные, и почили по одному на каждом из них. И исполнились все Духа Святаго, и начали говорить на иных языках, как Дух давал им провещевать =
========================================================
не все математики пишут ясно, почти все пишут плохо. Длинно, для денег, непонятно, с повторами, слишком абстрактно сухо, не образно, ... в общем писателей математических, читабельных текстов мало. Большинство работ не читабельно. особенно работ последних лет,
последних 50-100 лет... есть ясные и глубокие работы без излишеств, но таких работ мало...
например то, что начали писать про функцию беллмана (выдумали название) очень плохо.
плохо написано.
и не написано, что все переписано (ну не все, но многое) с языка вероятности на язык анализа. Причина такого ужаса - понятна, борьба за... (вставить нужное)... бессмысленная и беспощадная.
от такого тошнит, как тошнит от крамника (бывшего чемпиона).
Машина пишет лучше, значительно лучше, почти как Бурхолдер (ну чуть хуже его, но не критично хуже), пишет ясно и без зауми и претензии на оригинальность, которой у машины нет.
и оригинальности нет и претензии нет.
Слава Роботам!
Комментариев нет:
Отправить комментарий