Hassler at 14 in the Swiss Alps

Все же мне повезло. Удалось кое-что, существенное добавить к поздней
задачке этого юноши с воспаленным взглядом, математика и скалолаза.
Добавить к работе 1957 года,  50 - летнего Хасслера, почти решить его
задачку, почти...

Не могу сказать, что задача поставлена естественно, потому как непонятно пока, как получить для меня ясный результат:

если

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_0^{j/k}f(t)dt=0,j=1,\dots k\end{array}$$

и

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathrm{\Delta }}_h^{k}f(x):=\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})f(x+jh),0<h\le 1/k,\end{array}$$

то

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)|\le \underset{x,x+kh\in [0,1]}{sup}|{\mathrm{\Delta }}_h^{k}f(x)|.\end{array}$$



До конца не ясно, потому как с увеличением $k$ возрастают трудности,
оператор конечной разности при ограничении  $x, x+kh \in [0,1]$ не желает легко обращаться.
 
Идет борьба за организацию правильных оценок-тождеств около концов
отрезка. Пока не понятно, можно ли доказать это относительно просто.
Доказательства записаны для $ k \le 8$. Можно записать, ценой больших
вычислительных усилий для $k \le 12$. Однако можно ли попроще это
дело сделать .. ну пусть, для начала, для $ k \le 10$?

Точнее, не до конца ясно какой оператор нужно обращать для получения желанной оценки. Какая именно форма оператора конечной разности отвечает условию $x, x+kh \in [0,1]$