# Favard: Recovering a Function from Its Oscillations
*Favard on the Sphere \(S^3\). II. The Circle, the Sphere, and Exact Signatures*
How well can a polynomial of bounded degree approximate a function? Smoothness helps by reconciling neighboring values. But how can this help be measured precisely?
At the core of our story lies Favard’s theorem. Its mechanism inverts differentiation, reducing a problem about an entire class of functions to a single kernel. Once the best approximation of this kernel is understood, direct error bounds become available for every function in the class. On the sphere, differentiation is replaced by the Laplacian, and the Bernoulli kernel is replaced by Green’s function.
We begin with the circle, where the exact nodes are known. Next, we examine \(S^2\), where the geometry unexpectedly preserves the simplicity of the signs. These two cases will prepare us for \(S^3\), where the familiar method encounters a new weight.
## The Circle: A Kernel in Place of a Function Class
On the unit circle, a function is periodic with period \(2\pi\). A trigonometric polynomial of degree less than \(n\) consists of a constant term alongside sines and cosines of frequencies \(1, \ldots, n-1\). The absence of these frequencies means that the function contains no low-order harmonics. We denote this condition by \(f \perp \mathcal{T}_{n-1}\).
For the basic Laplacian \(L = -d^2/d\theta^2\), the Bohr–Favard inequality takes the form
\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_\infty \le \frac{\pi^2}{8n^2} \|Lf\|_\infty,
\qquad f \perp \mathcal{T}_{n-1}.}
\]
The constant is sharp. A pure harmonic of frequency \(n\) would yield only \(1/n^2\). The extremal function utilizes multiple frequencies in concert: its second derivative approaches an alternating step function (a square wave). Smooth approximations to this function show that the constant cannot be improved.
For an arbitrary smooth periodic function, the same constant bounds the approximation error: \(e_{n-1}(f)_\infty \le [\pi^2/(8n^2)] \|f''\|_\infty\). Here, \(e_{n-1}\) denotes the best uniform approximation error by trigonometric polynomials of degree less than \(n\). The lower frequencies are absorbed by the approximating polynomial.
Why does an exact constant emerge? On functions with zero mean, \(L\) is inverted by convolution with a periodic kernel. Under the normalization of convolution by the measure \(d\theta/(2\pi)\), this kernel is given by the Fourier series \(2\sum_{k\ge1} \cos(k\theta)/k^2\). Subtracting a low-degree polynomial from the kernel yields a remainder whose \(L^1\)-norm bounds the reconstruction error. The best remainder has the sign signature \(\operatorname{sign}\cos(n\theta)\), which is orthogonal to lower frequencies.
Its nodes are equally spaced. The sign function itself serves as a dual certificate: integrating against it yields a lower bound that matches the norm of the remainder. This is precisely how sharpness is established, rather than merely an upper bound. The computation yields
\[
F_{1,1} = \frac{4}{\pi} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{(2j+1)^3} = \frac{\pi^2}{8} \approx 1.2337005501.
\]
The kernel contains the second power of the frequency; the third power appears after integration against the step-like sign function. In classical notation, this is the Favard constant \(K_2\); the index \(1\) in \(F_{1,1}\) indicates the first power of the Laplacian.
## The Sphere: Dimension Enters via the Measure
On the unit sphere \(S^2 \subset \mathbb{R}^3\), a spherical harmonic of degree \(k\) has eigenvalue \(k(k+1)\) with respect to \(L = -\Delta_{S^2}\). Spherical polynomials of degree less than \(n\) form the space \(\Pi_{n-1}\). The condition \(f \perp \Pi_{n-1}\) again signifies the absence of low-frequency components.
The Laplacian combines second derivatives along tangential directions and is coordinate-free. Its inversion kernel depends solely on the geodesic distance \(\theta\) between points. Under the standard surface measure, where the area of the sphere is \(4\pi\), the normalized Green's function is
\[
G_2(\theta) = \frac{-1 - 2\log\sin(\theta/2)}{4\pi}.
\]
It has zero mean. The logarithmic singularity at the pole is integrable—a local footprint of the two-dimensional Laplacian. Just as on the circle, any zero-mean function \(f\) can be recovered via convolution: \(f = G_2 * Lf\).
Let \(\mathcal{E}_n(S^2)\) denote the best \(L^1\)-error in approximating \(G_2\) by spherical polynomials of degree less than \(n\). This yields the bound
\[
\|f\|_p \le \mathcal{E}_n(S^2) \|Lf\|_p,
\qquad f \perp \Pi_{n-1}, \quad 1 \le p \le \infty.
\]
For the uniform norm (\(p = \infty\)), the constant \(\mathcal{E}_n\) is sharp. For the \(L^1\)-norm, this inequality serves as an upper bound; its sharpness on the subspace orthogonal to low-degree harmonics is a separate question. This distinction persists on \(S^3\) as well.
Averaging around the pole allows one to seek the approximating polynomial among zonal polynomials—those depending only on \(\theta\). The radial measure is \(2\pi\sin\theta\,d\theta\). Under the change of variables \(x = \cos\theta\), it becomes \(2\pi\,dx\): the weight drops out. Therefore,
\[
\mathcal{E}_n(S^2) = \frac{1}{2} \inf_{\deg q < n} \int_{-1}^{1} |-\log(1-x) - q(x)|\,dx.
\]
This is an exact algebraic problem on a standard interval. It connects directly with the classical Korkine–Zolotarev theorem: among all monic polynomials of degree \(n\), the minimal \(L^1\)-norm is attained by \(2^{-n}U_n\), where \(U_n\) is the Chebyshev polynomial of the second kind.
Its sign is orthogonal to all polynomials of lower degree. In terms of the angular variable, it takes a particularly simple form:
\[
\operatorname{sign}U_n(\cos\theta) = \operatorname{sign}\sin((n+1)\theta), \qquad \theta_j = \frac{j\pi}{n+1}.
\]
All derivatives of the logarithm are positive. Consequently, the interpolation error at these nodes possesses precisely the required sign, and duality certifies that this yields the best approximation. Note a subtle point: the zonal harmonics on \(S^2\) are the Legendre polynomials, whereas the extremal nodes are governed by a different family, \(U_n\). The spectrum and the signature play distinct roles.
## Two Exact Constants and the Path to the Third
On \(S^2\), not only the asymptotic order of the error is known, but also its exact series expansion:
\[
\boxed{\displaystyle
\mathcal{E}_n(S^2) = 2\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(2j+1)\bigl[(2j+1)^2(n+1)^2 - 1\bigr]}.}
\]
From this expression, one readily reads off both the finite problem and its limit. For instance, \(\mathcal{E}_1(S^2) = \log 2\). As the degree grows,
\[
\lim_{n\to\infty} n^2 \mathcal{E}_n(S^2) = F_{1,2} = 2\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(2j+1)^3} = \frac{7}{4}\zeta(3) \approx 2.1035995805.
\]
The value \(\zeta(3) = \sum_{k\ge1} k^{-3}\) appears because the sum of the reciprocal cubes of the odd integers equals \(\tfrac{7}{8}\zeta(3)\). On the circle, alternating signs produced a power of \(\pi\); on the two-dimensional sphere, a strictly positive series led to a zeta value. These are two manifestations of the same underlying mechanism: integrating the kernel against the exact signature.
One can also dispense with limits: the denominator of each term is bounded below by \((2j+1)^3 n(n+2)\). Hence, for all \(n \ge 1\),
\[
\mathcal{E}_n(S^2) < \frac{F_{1,2}}{n(n+2)} \le \frac{F_{1,2}}{n^2}.
\]
The denominator \(n(n+2)\) arises here from the exact series and should not be confused with the first admissible eigenvalue \(n(n+1)\). The asymptotic formula demonstrates that in the general \(n^{-2}\) bound for the uniform norm, the constant \(F_{1,2}\) cannot be decreased.
Let us return to the role of Favard's approach in approximation theory. Approximating the kernel and convolving the resulting polynomial with \(Lf\) yields \(e_{n-1}(f)_p \le \mathcal{E}_n(S^2)\|Lf\|_p\), where \(e_{n-1}\) is the error of approximating \(f\) by spherical polynomials.
In this way, a single calculation for Green's function governs an entire class of smooth functions. When smoothness is prescribed in terms of finite differences, one first constructs an averaging operator connecting the differences to the Laplacian, and then applies Favard’s inequality. In the operator-theoretic approach to direct theorems, this is the central link; constructing the averaging operator and analyzing its geometry requires dedicated effort.
On the circle, the same nodes serve all even-order Bernoulli kernels. This allows kernels to be combined while preserving sign compatibility. On the sphere, however, such compatibility requires verifying the remainder for each family of operators individually.
Thus, as we transition to \(S^3\), we have two guiding principles. We know what to look for: the inversion kernel, its exact sign, and its \(L^1\)-approximation error. And we know what cannot be guessed from the spectrum alone: the distribution of the extremal nodes. On \(S^3\), after the substitution \(x = \cos\theta\), a residual weight \(\sqrt{1-x^2}\) remains. This breaks the off-the-shelf Korkine–Zolotarev framework and poses a new problem, which is the subject of the next chapter.
# Фавар: восстановить функцию по её колебаниям
*Фавар на сфере S³. II. Окружность, сфера и точные сигнатуры*
Насколько хорошо полином ограниченной степени может описать функцию? Гладкость помогает, согласуя соседние значения. Но как измерить эту помощь точно?
В центре нашего рассказа стоит теорема Фавара. Её механизм обращает дифференцирование и переносит задачу о целом классе функций на одно ядро. Если понять наилучшее приближение этого ядра, становятся доступны прямые оценки для всех функций класса. На сфере производную заменяет лапласиан, а ядро Бернулли — функция Грина.
Начнём с окружности, где точные узлы известны. Затем посмотрим на \(S^2\): там геометрия неожиданно сохраняет простоту знаков. Эти два случая подготовят нас к \(S^3\), где знакомый метод встретится с новым весом.
## Окружность: ядро вместо класса функций
На единичной окружности функция периодична с периодом \(2\pi\). Полином степени меньше \(n\) содержит постоянную составляющую и синусы и косинусы частот \(1,\ldots,n-1\). Отсутствие этих частот означает, что у функции нет низких гармоник. Это условие обозначим \(f\perp\mathcal T_{n-1}\).
Для первого лапласиана \(L=-d^2/d\theta^2\) неравенство Бора—Фавара принимает вид
\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_\infty\le\frac{\pi^2}{8n^2}\|Lf\|_\infty,
\qquad f\perp\mathcal T_{n-1}.}
\]
Коэффициент точен. Разрешённая гармоника частоты \(n\) дала бы только \(1/n^2\). Экстремальная функция использует несколько частот согласованно: её вторая производная приближается к чередующейся ступеньке. Гладкие приближения этой функции показывают, что коэффициент уменьшить нельзя.
Для произвольной гладкой периодической функции тот же коэффициент оценивает ошибку приближения: \(e_{n-1}(f)_\infty\le[\pi^2/(8n^2)]\|f''\|_\infty\). Здесь \(e_{n-1}\) — наименьшая равномерная ошибка среди полиномов степени меньше \(n\). Низкие частоты принимает на себя приближающий полином.
Почему возникает точная константа? На функциях с нулевым средним \(L\) обращается свёрткой с периодическим ядром. При нормировке свёртки мерой \(d\theta/(2\pi)\) оно имеет ряд \(2\sum_{k\ge1}\cos(k\theta)/k^2\). Вычитая из ядра полином низкой степени, получаем остаток, чья интегральная норма оценивает ошибку восстановления. Наилучший остаток имеет знак \(\operatorname{sign}\cos(n\theta)\), ортогональный низким частотам.
Его узлы равномерны. Сам знак служит двойственным свидетельством: интегрирование против него даёт нижнюю границу, совпадающую с нормой остатка. Именно так доказывается точность, а не только верхняя оценка. Вычисление даёт
\[
F_{1,1}=\frac4\pi\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{(-1)^j}{(2j+1)^3}=\frac{\pi^2}{8}
\approx1{,}2337005501.
\]
В ядре стоит вторая степень частоты; третья появляется после интегрирования против ступенчатого знака. В классической нумерации это константа \(K_2\); индекс \(1\) в \(F_{1,1}\) означает первую степень лапласиана.
## Сфера: размерность входит через меру
На единичной сфере \(S^2\subset\mathbb R^3\) гармоника степени \(k\) имеет собственное значение \(k(k+1)\) для \(L=-\Delta_{S^2}\). Сферические полиномы степени меньше \(n\) образуют пространство \(\Pi_{n-1}\). Условие \(f\perp\Pi_{n-1}\) снова означает отсутствие низких уровней.
Лапласиан объединяет вторые производные по касательным направлениям и не зависит от выбора координат. Его ядро обращения зависит только от расстояния \(\theta\) между точками. При обычной поверхностной мере, когда площадь сферы равна \(4\pi\), нормированная функция Грина равна
\[
G_2(\theta)=\frac{-1-2\log\sin(\theta/2)}{4\pi}.
\]
Она имеет нулевое среднее. Логарифмическая особенность у полюса интегрируема; это местный след двумерного лапласиана. Как и на окружности, \(f\) с нулевым средним восстанавливается свёрткой \(G_2*Lf\).
Обозначим через \(\mathcal E_n(S^2)\) наименьшую интегральную ошибку приближения \(G_2\) сферическими полиномами степени меньше \(n\). Она даёт оценку
\[
\|f\|_p\le\mathcal E_n(S^2)\|Lf\|_p,
\qquad f\perp\Pi_{n-1},\quad1\le p\le\infty.
\]
Для равномерной нормы коэффициент \(\mathcal E_n\) точен. Для интегральной нормы здесь утверждается верхняя оценка; её точность на подпространстве без низких гармоник — отдельный вопрос. Это различие сохранится и на \(S^3\).
Усреднение вокруг полюса позволяет искать приближающий полином среди зональных — зависящих только от \(\theta\). Радиальная мера равна \(2\pi\sin\theta\,d\theta\). При замене \(x=\cos\theta\) она становится \(2\pi\,dx\): вес исчезает. Поэтому
\[
\mathcal E_n(S^2)=\frac12\inf_{\deg q<n}
\int_{-1}^{1}|-\log(1-x)-q(x)|\,dx.
\]
Это точная алгебраическая задача на обычном отрезке. Она встречается с классическим результатом Коркина—Золотарёва: минимальную интегральную норму среди монических полиномов степени \(n\) имеет \(2^{-n}U_n\), где \(U_n\) — полином Чебышёва второго рода.
Его знак ортогонален всем меньшим степеням. В угловой переменной он особенно прост:
\[
\operatorname{sign}U_n(\cos\theta)
=\operatorname{sign}\sin((n+1)\theta),
\qquad\theta_j=\frac{j\pi}{n+1}.
\]
У логарифма все производные положительны. Поэтому интерполяционный остаток в этих узлах имеет именно нужный знак, и двойственность удостоверяет наилучшее приближение. Заметим тонкость: зональные гармоники \(S^2\) — полиномы Лежандра; экстремальные узлы задаёт другое семейство, \(U_n\). Спектр и сигнатура выполняют разные роли.
## Две точные константы и путь к третьей
На \(S^2\) известен не только порядок ошибки, но и её точный ряд:
\[
\boxed{\displaystyle
\mathcal E_n(S^2)=2\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{1}{(2j+1)\bigl[(2j+1)^2(n+1)^2-1\bigr]}.}
\]
Здесь легко увидеть одновременно конечную задачу и её предел. Например, \(\mathcal E_1(S^2)=\log2\). При росте степени
\[
\lim_{n\to\infty}n^2\mathcal E_n(S^2)
=F_{1,2}=2\sum_{j=0}^{\infty}\frac1{(2j+1)^3}
=\frac74\zeta(3)\approx2{,}1035995805.
\]
Функция \(\zeta(3)=\sum_{k\ge1}k^{-3}\) появляется потому, что сумма кубических обратных степеней нечётных чисел равна \(\tfrac78\zeta(3)\). У окружности чередование знаков привело к степени \(\pi\); у двумерной сферы положительный ряд привёл к дзета-значению. Это разные результаты одного механизма: интегрирования ядра против точной сигнатуры.
Можно обойтись и без предельного символа: знаменатель каждого слагаемого не меньше \((2j+1)^3n(n+2)\). Поэтому для всех \(n\ge1\)
\[
\mathcal E_n(S^2)<\frac{F_{1,2}}{n(n+2)}
\le\frac{F_{1,2}}{n^2}.
\]
Знаменатель \(n(n+2)\) здесь возникает из точного ряда. Его не следует путать с первым допустимым собственным значением \(n(n+1)\). Предельная формула показывает, что в общей оценке с \(n^{-2}\), для равномерной нормы, коэффициент \(F_{1,2}\) нельзя уменьшить.
Вернёмся к месту Фавара в теории приближений. Приближая ядро и свёртывая найденный полином с \(Lf\), получаем \(e_{n-1}(f)_p\le\mathcal E_n(S^2)\|Lf\|_p\). Здесь \(e_{n-1}\) — ошибка приближения функции сферическим полиномом.
Так одно вычисление для функции Грина управляет целым классом гладких функций. Если гладкость задана разностями, сначала строят усреднение, связывающее разности с лапласианом, а затем применяют оценку Фавара. В операторном подходе к прямым теоремам это центральное звено; выбор усреднения и его геометрия требуют собственной работы.
На окружности одни узлы служат всем чётным порядкам ядер Бернулли. Это позволяет сочетать ядра, сохраняя согласованность знаков. На сфере такое согласование требует проверки остатка для каждого семейства операторов.
Итак, к переходу на \(S^3\) у нас есть два ориентира. Мы знаем, что искать: ядро обращения, его точный знак и интегральную ошибку. И знаем, чего нельзя угадывать по одному спектру: расположение экстремальных узлов. На \(S^3\) после замены \(x=\cos\theta\) останется вес \(\sqrt{1-x^2}\). Он нарушит готовую схему Коркина—Золотарёва и поставит новую задачу, которой посвящена следующая глава.
---
