S^3 Part IV Exstreme form

 # Как научились находить экстремальную форму

*Фавар на сфере S³. IV. Ахиезер—Крейн, Геронимус, Бабенко и современное решение*

Точная константа часто скрывает за собой функцию. Найти несколько её десятичных знаков бывает легче, чем понять форму этой функции: где находятся нули, почему знак меняется именно там и какое уравнение управляет всей картиной.

Для сферического Фавара это различие оказалось решающим. После обращения лапласиана задача сводится к приближению функции Грина в интегральной норме. А такое приближение требует правильного знака ошибки — сигнатуры. История поиска этого знака соединяет несколько традиций. Проследим идеи, которые нам нужны, сохраняя различие между общей схемой и конкретным решением.

## Нормовая задача и вопрос Бора

Равномерная норма измеряет наибольшую абсолютную величину функции; интегральная суммирует абсолютные величины. У полинома ограниченной степени высокий пик не может быть произвольно узким. Поэтому между этими нормами существует неравенство. Нас интересуют его наилучший коэффициент и полином, на котором он достигается.

Можно зафиксировать значение полинома в точке, например \(P(0)=1\), и минимизировать интегральную норму. Можно вместо значения задать коэффициент, производную или другой линейный функционал. Так возникает общий вопрос: насколько мала норма при заданном линейном условии?

В работе 1936 года и книге 1938 года Ахиезер и Крейн исследовали минимальные задачи с заданными начальными моментами. Их схема связывает такую задачу с двойственной: вместо минимизации интегральной нормы полинома ищется ограниченная функция с предписанными начальными коэффициентами Фурье. В экстремальном случае она пропорциональна знаку полинома.

Для тригонометрических полиномов эта теория, развитая Геронимусом, даёт конечномерный механизм вычисления: константа определяется уравнением для определителя. Это точное решение в неявной форме. Однако оно ещё не делает прозрачными поведение узлов при росте степени и форму предельной функции. Эти вопросы требуют дальнейшего анализа.

Другая линия начинается с неравенства Бора: функцию без низких частот можно оценить через её производную. Это тот же принцип, который лежит в центре теоремы Фавара. Отсутствие медленных колебаний позволяет обратить дифференцирование с контролем нормы.

В 1993 году Хёрмандер и Бернхардссон изучали двумерное расширение этого неравенства для оператора Коши—Римана. Мотивом были также оценки, связанные с малыми знаменателями. Усреднение по вращениям и двойственность привели их к нормовой задаче для целых функций с ограниченным спектром.

Они получили чрезвычайно точные численные границы. В нормировке экспоненциального типа \(\pi\) коэффициент сравнения значения в точке с интегральной нормой равен примерно \(0{,}540928822\). Но распознать экстремальную функцию по вычислениям не удалось. Поэтому важно различать достижения: численное значение уже было известно с большой точностью; аналитическое устройство экстремали оставалось предметом поиска.

## Бабенко: сначала найти сигнатуру

В методе Бабенко отправной объект — знак, ортогональный заданному пространству. Его перемены знака выбирают узлы. После этого разные задачи могут использовать найденную сигнатуру для вычисления своих функционалов.

Такой способ работы проявился в совместных исследованиях Бабенко и Крякина об интегральном приближении ступенчатых функций. Он оказался полезен и для сравнения равномерной и интегральной норм полиномов. Общность состоит в двойственности: правильный знак удостоверяет экстремальность.

Записка Бабенко от 2 июля 2019 года даёт подробный снимок поиска. Среди косинус-полиномов степени не выше \(m\) рассматривалась задача

\[
P(0)=1,\qquad
\int_0^\pi|P(t)|\,dt\longrightarrow\min.
\]

Вариации имеют вид \((1-\cos t)q(\cos t)\). Поэтому знак минимизатора должен быть ортогонален полиномам меньшей степени с весом \(1-\cos t\). Именно этот вес позднее возникает при свёртке чётной задачи на \(S^3\).

Представление Геронимуса разделяет чередующиеся узлы на две группы. Их произведения образуют половинные множители; связанный аналитический полином имеет корни внутри единичного круга. Геометрия действительных узлов переводится в язык комплексной фазы. Эта конструкция уже присутствует у Бабенко в 2019 году и не должна приписываться знакомству с современным решением.

В записке выписаны моментные уравнения, разобраны малые степени и проведены большие вычисления. Для одной точки смены знака задача сводится к знакомому уравнению \(\omega=\cos\omega\); узел равен \(\pi/2+\omega\). Сравнение приближённых моделей с искомыми узлами доведено до степени 5000.

При этом простая рекурсия привычных ортогональных полиномов не обнаружилась. Вычисления показали расхождение с такими рекурсиями. Предлагалась красивая модель предельного преобразования Фурье в виде дуги окружности, но её экстремальность оставалась гипотезой. Близость графиков и корней ещё не давала точного ответа.

Существенна роль Горбачева. Его работа 2005 года связала интегральную задачу Конягина (так он называл задачу Ахиезера-Крейна)  с константами сравнения норм. А в записке 2019 года приведён предложенный им план: построить интерполяционную формулу по экстремальным нулям и через значения производных прийти к дифференциальному уравнению.

Совместное направление Бабенко, Дейкаловой, Горбачева и Крякина документировано докладом 2021 года о точном неравенстве Джексона—Никольского. Перед нами продолжавшаяся работа над методом; записка 2019 года фиксирует достигнутый тогда этап, а не окончательное описание предельной экстремали.

## От узлов к уравнению

Современная работа Бондаренко, Ортеги-Серды, Радченко и Сейпа, опубликованная как препринт в 2025 году и уточнённая в версии января 2026 года, даёт аналитическое описание функции Хёрмандера—Бернхардссона. Две линии исследования встречаются в близкой конструкции.

Экстремаль \(\varphi\) имеет только вещественные нули \(\pm\tau_k\). Авторы распределяют их между множителями \(\Phi(z)\) и \(\Phi(-z)\), так что \(\varphi(z)=\Phi(z)\Phi(-z)\). Моментные условия дают дифференциальное уравнение второго порядка для \(\Phi\). Дополнительное функциональное соотношение выделяет нужное решение и помогает описать нули.

Вычислительная задача становится спектральной. В подходящем ортогональном базисе матрица трёхдиагональна: каждый коэффициент связан только с соседними. Но собственного значения недостаточно. Нужно ещё условие на собственный вектор, выбирающее экстремальную ветвь. Так определяются нормовая константа и параметр \(\lambda\), собственное значение вспомогательного оператора.

В нашем масштабе нули обозначаются \(u_k=\pi\tau_k\). Для сравнения вводятся точки равномерной сетки \(v_k=\pi(k+1/2)\). Параметр \(\lambda\) управляет первым отклонением настоящих узлов от этой сетки. Полная асимптотика позволяет превращать выражения по узлам в сходящиеся формулы.

Теперь введём обозначение, используемое в сферических главах. Пусть \(H\) — экстремальная целая функция типа единица, нормированная условием \(H(0)=1\). Интегрируемость и этот тип означают, что её частоты ограничены отрезком \([-1,1]\). Положим

\[
\boxed{\displaystyle
B=\frac12\int_{\mathbb R}|H(u)|\,du
\approx2{,}903887282752.}
\]

Это половина минимальной интегральной нормы. В нормировке современной статьи \(H(u)=\varphi(u/\pi)\) и \(B=\pi/(2\mathscr C)\), где \(\mathscr C\) — коэффициент оценки значения в точке. Число \(B\) не следует смешивать с константой сферического Фавара: задачи используют общую форму, но вычисляют разные величины.

Для нас главный вклад современного решения — переход от условий на знак к уравнению, которое определяет экстремаль и делает её вычислимой. Мы сознательно используем этот механизм. Язык сигнатур и разделения узлов, существенный в методе Бабенко, позволяет увидеть его связь с нашей задачей.

Так объясняется место этой истории в цикле о Фаваре. Нормовая задача выбирает знак. Затем требуется проверить, что функция Грина подчиняется ему, и вычислить соответствующий функционал. Следующая глава проведёт этот переход к \(S^3\). Одна и та же экстремальная форма получит другое математическое назначение.

---

*Источники.* Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн, **О двух minimum-проблемах, связанных с проблемами моментов** (1936); **О некоторых вопросах теории моментов** (1938). Я. Л. Геронимус, работы об экстремальных задачах (1937–1938). L. Hörmander, B. Bernhardsson, **An extension of Bohr’s inequality** (1993), с. 179–194. А. Г. Бабенко, черновик **Signum Function**, 2 июля 2019 года, §§3.1–3.6. Д. В. Горбачев, [**Интегральная задача Конягина и (C,L)-константы Никольского**](https://www.mathnet.ru/rus/timm191) (2005). [Доклад Бабенко с соавторами](https://kma.kmath.ru/Science/Conferences/SBS2021/SBS2021_report.pdf), школа С. Б. Стечкина, 2021, с. 15 отчёта. A. Bondarenko, J. Ortega-Cerdà, D. Radchenko, K. Seip, [**The Hörmander–Bernhardsson extremal function**](https://arxiv.org/abs/2504.05205v2).