Немного устал, но нашел то, до чего сам не додумался: Бутцера и Стенса.
но никуда его не выслал. и не вышлю, даже если и получится что-то новое и забавное.
бюрократам - бюрократное.
31 окт. 2026 г.
гуляя по сфере смотри под ноги
Paul Leo Butzer (1928 - 2026)
Пауль Лео Бутцер (Paul Leo Butzer, 1928–2026) — выдающийся немецкий математик, специалист по функциональному анализу, теории приближений (аппроксимации), гармоническому анализу и обработке сигналов[1][2][3].
Ваша мысль о том, что он «недооценен», попадает в самую точку, если говорить о широком математическом и научно-популярном сообществе. Внутри своей узкой области он был абсолютным классиком и патриархом, но за ее пределами его имя звучит гораздо реже, чем имена многих его современников — хотя результаты его трудов буквально вшиты в современные цифровые технологии.
Необычная биография: побег от нацизма и возвращение
Пауль Бутцер родился в 1928 году в Мюльхайме-ан-дер-Руре (Германия)[2]. Его родители были убежденными католиками и противниками нацистского режима. В 1937 году семья вынужденно покинула Германию, перебравшись сначала в Англию, а затем в Канаду.
В Канаде Бутцер получил блестящее образование: учился в Монреале (Loyola College), а затем защитил докторскую диссертацию в Университете Торонто (1951) под руководством знаменитого математика Рихарда Лоренца (ученика советской математической школы, эмигрировавшего на Запад)[1][4]. В конце 1950-х Бутцер вернулся в ФРГ и с 1958 года до конца жизни связал свою судьбу с Рейнско-Вестфальским техническим университетом Ахена (RWTH Aachen)[1][2].
Главные научные достижения (и почему это важно)
Бутцер создал знаменитую «Ахенскую школу» анализа[5]. Вот четыре кита, на которых стоит его наследие:
1. Мост между математикой и цифровой связью (Теория отсчетов)
Все
мы пользуемся интернетом, слушаем цифровую музыку и смотрим цифровое
видео. В основе перевода аналогового сигнала в цифровой лежит теорема
Котельникова — Уиттекера — Шеннона (теорема отсчетов). Однако
классическая теорема работает только для идеальных сигналов с жестко
ограниченным спектром, которых в реальной жизни не бывает. Бутцер и его
ученики (например, Рудольф Стенс) разработали строгий математический
аппарат для неидеальных сигналов (not necessarily band-limited functions), оценив погрешности и создав методы их сглаживания[5]. Это фундамент современной обработки сигналов.
2. Сплав теории полугрупп и теории приближений
В 1967 году Бутцер в соавторстве со своим учеником Хубертом Беренсом выпустил монографию «Semi-Groups of Operators and Approximation»[5].
Эта книга произвела революцию: они показали, как абстрактный
функциональный анализ (теория полугрупп операторов Хилле — Иосиды) может
решать вполне конкретные задачи приближения функций. Там же активно
развивалась теория пространств интерполяции.
3. Понятный гармонический анализ
Его фундаментальный труд 1971 года «Fourier Analysis and Approximation»
(совместно с Рольфом Несселем) стал настольной книгой для тысяч
математиков по всему миру, включая СССР (где работы Бутцера очень
внимательно читали и переводили)[1][5].
4. Дробное исчисление и функции Уолша
Бутцер был одним из тех, кто задолго до нынешнего бума популярности развивал дробное исчисление (когда берется производная не первого или второго порядка, а, например, порядка
и теорию преобразований Меллина[5]. Кроме того, он ввел понятие диадической производной (производной Гиббса — Бутцера) для функций Уолша, которые работают не с плавными волнами, как ряды Фурье, а с прямоугольными импульсами (0 и 1), что критически важно для компьютерной логики.
5. История математики
Бутцер был блестящим историком науки[1][6].
Поскольку он жил в Ахене — древней столице империи Карла Великого, — он
серьезно изучал науку Каролингского возрождения (VIII–IX века),
доказав, что математика в раннем Средневековье была куда более развитой,
чем принято считать[1]. Также он вернул из полузабытья биографию другого великого немецкого математика — Эльвина Бруно Кристоффеля[1].
Почему он кажется недооцененным?
Ваше ощущение его недооцененности имеет вполне объективные причины:
Проклятие «прикладной» фундаментальности. Теория приближений в XX веке оказалась зажата между двумя гигантами. С одной стороны — ультра-абстрактная чистая математика (алгебраическая геометрия, топология, программа Ленглендса), за которую дают Филдсовские и Абелевские премии и о которой пишут журналисты. С другой стороны — чисто компьютерные науки и инженерия. Работы Бутцера находились ровно посередине: для инженеров его статьи со сложнейшими функциональными пространствами казались слишком абстрактными, а для «чистых» математиков-снобов теория аппроксимации и обработка сигналов казались слишком «ремесленными» и прикладными.
Эффект учебника. Когда ученый пишет настолько хорошие и систематизирующие книги (как монографии Бутцера 1967 и 1971 годов), его идеи быстро становятся «общим местом» и базовым инструментом. Люди начинают пользоваться этим аппаратом как воздухом, забывая, кто именно привел его в такой стройный вид.
Роль строителя школы, а не одиночки. Бутцер не был ученым-затворником, решающим одну-единственную вековую проблему ради громкой славы. Он был организатором науки: подготовил около 40 докторов наук, написал сотни работ в соавторстве, организовывал легендарные конференции в Обервольфахе и наводил мосты между западными и восточноевропейскими (в том числе советскими) математиками в годы Холодной войны[5].
Пауль Бутцер прожил огромную жизнь (он скончался в сентябре 2026 года на 99-м году жизни) и оставался научно активным даже после 90 лет[1][5]. То, что вы обратили внимание на его фигуру — признак глубокого взгляда на математику, ведь именно на таких «рабочих лошадях» и строителях целых научных школ держится весь современный математический анализ.
===============================================
не читал, может быть зря. Ну вот сейчас (только что, сегодня ) впервые встретил конструкцию Бутцера-Стенса (правильную!) и узнал что он умер в сентябре. Видел его в ресеч гейте, но не следил за его работами, был под властью предрассудков и моды.
лучше поздно, чем никогда. и опять же
Кто умер, но не забыт - тот бессмертен.
MФХЛ или ФТИАНИИ ХУЯЦЧШЩЭЫЮ
Максимальная Функция Харди - Литтлвуда
название напомнило Зиновьева: ФТИАНИИ ХУЯЦЧШЩЭЫЮ
Максимальная функция Харди — Литтлвуда (МФХЛ) — это действительно **разумное огрубление** и в каком-то смысле «костыль», созданный для того, чтобы жить и работать было проще.
Но когда в математике какой-то «костыль» оказывается *настолько* универсальным, он превращается в фундаментальный объект, который начинают изучать ради него самого. Давай по-простому разберем, почему эти скучные на первый взгляд \(L_p\)-оценки и сама максимальная функция вовсе не оторваны от реальности, а лежат в основе кучи прикладных и теоретических вещей.
---
### 1. Зачем вообще нужны эти «оторванные от реальности» \(L_p \) оценки?
Кажется, что \(L_p\)-пространства — это чисто бумага и чернила. Но на самом деле они напрямую отвечают за физическую реальность и компьютерные вычисления (в основном через дифференциальные уравнения в частных производных — УРЧП).
* ** \(L_2 \)— это энергия.** В физике (квантовая механика, волны, тепло, гидродинамика) интеграл от квадрата функции часто означает полную энергию системы. Если оператор ограничен в \(L_2\), это значит, что энергия системы не улетает в бесконечность за секунду.
Наш мир нелинеен* **Почему не хватает только\( L_2\)?** Наш мир нелинеен. Например, уравнение Навье — Стокса (течение жидкости и воздуха) или уравнения газовой динамики содержат нелинейности: там умножается сама на себя (появляются степени \(u^2, u^3\) и т.д.). Когда ты возводишь функцию из \(L_2\) в степень, ты выпадаешь из \(L_2\) и попадаешь в другие \( L_p \).
* **Мост к непрерывности.** Чтобы доказать, что решение уравнения не просто существует как абстрактная формула, а является гладкой, красивой функцией (без разрывов и взрывов), математикам нужно сделать цепочку шагов (это называется *бутстраппинг* и *теоремы вложения Соболева*). Ты доказываешь оценку в \(L_2\), из нее получаешь \(L_4\), потом \(L_8\)... и на пределе доказываешь, что решение гладкое и физичное.
* **Компьютерные симуляции.** Если у уравнения нет хороших \(L_p\)-оценок, то, когда ты начнешь считать аэродинамику крыла самолета на компьютере, малейшая ошибка округления разрастется, и программа выдаст мусор. \(L_p\)-оценки гарантируют **устойчивость**.
---
### 2. Почему именно максимальная функция стала «королевой»?
Да, она убивает тонкости (например, знаки и осцилляции, так как берет модуль). Но взамен она дает невероятную суперсилу — **контроль над всеми масштабами сразу**(вот здесь хотелось бы поподробней).
#### А. Связь «размытого» и «точного» (сходимость почти всюду)
В реальности мы никогда не можем измерить значение функции (например, температуры или плотности) в идеальной математической точке. Любой прибор измеряет среднее значение в маленьком шарике вокруг точки.
Вопрос: если мы будем уменьшать размер датчика до нуля, совпадет ли предел наших измерений с реальным значением в точке? (Теорема Лебега о дифференцировании).
Доказать такой поточечный предел «в лоб» невероятно трудно. А Харди и Литтлвуд сказали: «Давайте возьмем **худшее** среднее по шарам *вообще всех возможных радиусов* вокруг точки». Это и есть МФХЛ. Оказалось, что если ты можешь доказать грубую \(L_p\)-оценку для этого «худшего сценария», то тонкая поточечная сходимость получается из нее почти автоматически! МФХЛ перекидывает мостик от грубых интегральных норм к тонкому поведению в каждой конкретной точке.
#### Б. Универсальный пульт управления (Укрощение сингулярностей)
В физике куча формул выглядит как свертка с каким-то ядром (гравитационный потенциал, электрическое поле от зарядов, уравнение теплопроводности). И почти все эти операции *мажорируются* (ограничиваются сверху) максимальной функцией.
Вместо того чтобы для ста разных физических уравнений сто раз мучительно доказывать, что их решения не улетают в бесконечность, ты один раз замечаешь: «Ага, этот сложный интеграл по модулю меньше, чем МФХЛ». Всё! Так как про МФХЛ мы уже всё знаем, задача решена в одну строчку.
---
### 3. Но почему про нее ДО СИХ ПОР пишут тысячи статей?!
Если это просто удобный инструмент из 1930-х годов, почему вокруг него такой хайп сегодня? Причин несколько:
1. **Проклятие размерности.** Когда мы работаем не в 3D, а в пространствах огромной размерности (а это вся современная **теория вероятностей, статистика и Data Science / Машинное обучение**), возникает вопрос: зависят ли константы в оценках МФХЛ от размерности пространства \(d\)? Если при \( d \to \infty \) оценка взрывается, инструмент бесполезен для больших данных. Оказалось, что эта задача безумно сложная (гипотезы Стейна, работы Бургейна и др.), и там открылась глубочайшая (это пафос Джемини) геометрия.
2. **Кривые и странные пространства.** В классике мы усредняем по обычным шарикам в плоском мире. А что если мы живем на искривленном многообразии (ОТО Эйнштейна), на графе (социальные сети), во фрактале или усредняем не по шарам, а вдоль тонких кривых (задачи томографии и радоновских преобразований)? Для каждого нового пространства приходится заново строить теорию МФХЛ.
3. **Теория весов (Веса Макенхаупта).** В реальных задачах среда часто неоднородна (плотность меняется, коэффициенты уравнения скачут). Это приводит к *весовым* \( L_p \)-пространствам. Попытка понять, для каких «весов» максимальная функция остается ограниченной, породила гигантскую и невероятно красивую науку (это опять пафос Джеминай) (доказательство знаменитой \(A_2\)-гипотезы не так давно наделало много шума в математическом мире).
4. **Идеальный полигон.** В математике всегда есть «модельные задачи». Если ты придумал новый метод в анализе, ты сначала проверяешь его на МФХЛ. Если он не работает даже на ней — метод слабый. Она простая по формулировке, но содержит в себе всю главную геометрическую сложность пространства.
### Резюме:
Интуиция не обманывает: МФХЛ — это действительно **технический инструмент, удобное огрубление**.
Но она стала мега-популярной, потому что оказалась **идеальным посредником**. Она берет на себя всю «грязную» геометрическую работу по контролю масштабов (опять загадочные два слова), позволяя математикам и физикам в две строчки получать результаты об устойчивости, энергии и сходимости там, где без нее пришлось бы писать десятки страниц уникальных выкладок для каждого отдельного случая. Это своего рода «швейцарский нож» современного анализа — поэтому все так любят изучать сталь, из которой он сделан, и точить его лезвия.
==============================================================
Ну да. К задачам теории чисел она не подходит.
Это другое...
Это как правило лопиталя, который написал книгу, не понимая что это такое - а это взять у кого? кто объяснял лопиталю как брать пределы? Иоганн Бернулли.
С.П. Новиков выразился бы определенней по поводу максимальной да еще и функции, но его уже не спросишь - да и естественна она, вероятно, как раз не в Анализе, а в Случайных процессах, откуда и пошла мода...
можно точить ножи, но это так себе работка, точильщика...
На самом то деле - именно то, что она не замечает несущественное (особенно
ЦMФХЛ) это важная штука для упрощения, чтобы отбросить детали, такое вот абстрактное искусство = но .. да.. и еще потому что ЦMФХЛ это интегральная часть правильного Лапласиана, и об этом стоит помнить.
это 2 а не 1. именно в этом ее эффективность и эфемерность.
т.е. в прямой связи с производной второго порядка в разных смыслах.
с основными законами природы.
2
Да и 2 не проста потому что игнорирует 1 (лапласиан не замечает примитивной гармонии, он выше этого)
ну а 3 ... это слишком сложно.
помни о
\[ y^2 = x(x - A^n)(x + B^n) \]
и знай свое место ... между невозможным и тривиальным как раз 2.
перечитав текст Джеминай, мне стало казаться сто она меня и вас троллит.
Это мне только показалось?
28 окт. 2026 г.
смерть сср 1
### Механика энтропии: отрицательный отбор, академический цинизм и неизбежность распада
*(В развитие тезисов эссе Андрея Амальрика «Просуществует ли Советский Союз до 1984 года?»)*
В 1969 году историк и публицист Андрей Амальрик сформулировал диагноз советской системе: её гибель предопределена не столько внешним военным давлением, сколько внутренней структурной закостенелостью. Система, лишённая механизмов самокоррекции, в ответ на любой импульс модернизации или вольномыслия реагировала исключительно уплотнением управляющей прослойки за счёт наименее компетентных, но наиболее лояльных элементов.
То, что на макроуровне выглядело как идеологическая стабильность эпохи застоя, на микроуровне — в университетских аудиториях, на кафедрах и в приемных комиссиях — обернулось целенаправленным отрицательным отбором, разложившим институциональную ткань задолго до формального крушения СССР в 1991 году.
---
### 1. Точка надлома (1968–1972): реакция на свободомыслие и украинский контекст
Конец 1960-х годов стал переломным моментом. Пражская весна 1968 года, диссидентские процессы в Москве и Киеве, знаменитое «Письмо девяноста девяти» в защиту А. Есенина-Вольпина наглядно показали советской верхушке: главным источником вольнодумства является не абстрактный «западный империализм», а собственная университетская и академическая интеллигенция — прежде всего в области точных и естественных наук, где профессиональная логика противилась догматизму.
Власть испугалась. Вместо гибких реформ последовало тотальное «закручивание гаек». Для Украинской ССР эта реакция приобрела специфический и особенно разрушительный характер:
* **Смена вектора в 1972 году:** Снятие П. Шелеста и приход В. Щербицкого ознаменовали масштабную чистку культурного и научного пространства. Потенциальную опасность видели не только в «диссидентстве», но и в любой автономии республиканской интеллектуальной среды.
* **Кадровая инженерия:** Чтобы сломать критический дух в университетах (Киев, Одесса, Харьков, Львов), была запущена политика замещения городской, традиционной университетской профессуры. Ставка делалась на так называемый «проверенный классовый элемент» — выходцев из сельской местности, комсомольских функционеров и партийных активистов первого поколения.
* **Логика умиротворения:** Человек из глубинки, получавший доступ к столичным или крупным городским благам (квартира, кафедра, аспирантура, загранпоездки), находился в абсолютной зависимости от партийного аппарата. Он не задавал лишних вопросов, не подписывал протестных писем и был идеальным исполнителем любых директив. Лояльность стала единственным мерилом профессиональной пригодности.
Так в 1970-е годы в высшую школу хлынула волна агрессивных карьеристов без фундаментальной научной школы. Для подлинных ученых наступила затяжная, удушающая депрессия: академическое пространство заполнялось серыми функционерами, для которых наука была лишь лестницей аппаратного выживания.
---
### 2. Институционализация цинизма: приемные кампании 1970–1980-х
Разложение академической среды ярче всего проявилось в механизмах вступительных экзаменов. Если в 1960-е годы мехматы и физтехи оставались относительно меритократическими институтами, то к концу 1970-х и в 1980-е годы вступительная кампания превратилась в полигон для откровенно криминальных практик.
Эта система держалась на двух взаимосвязанных векторах селекции:
#### «Задачи с минусом» (государственный антисемитизм и отсечение чужаков)
Система неофициальных, спущенных райкомами и органами квот требовала не допускать до высшего образования абитуриентов еврейского происхождения, а также детей из «неблагонадежных» семей. Для этого экзаменаторам выдавались так называемые «гробовые задачи» (в математике они вошли в историю как *killer problems*).
Формально оставаясь в рамках школьной программы, эти задачи требовали нестандартных математических олимпиадных трюков или расчетов, занимавших часы. Члены комиссий целенаправленно «топили» талантливых ребят на устных экзаменах, снижая баллы за формулировки и оформление.
#### «Задачи с плюсом» (протаскивание нужных людей)
Оборотной стороной барьера для сильных было протаскивание абсолютной серости — детей номенклатуры, «нужных людей» и абитуриентов по целевым сельским квотам. И если «завалить» знающего абитуриента было делом привычной подлости, то поставить проходной балл человеку, который практически не владел математическим языком и не умел связно писать, требовало от экзаменаторов глубочайшего нравственного падения:
* экзаменаторам приходилось фактически диктовать решения;
* за абитуриента дописывали экзаменационные листы;
* фальсифицировались протоколы устных ответов на случай ведомственной проверки.
Этот процесс шел по нарастающей вплоть до 1987–1988 годов, когда на фоне горбачевских лозунгов о «гласности» университетская коррупционная машина продолжала работать по накатанным инерционным рельсам.
---
### 3. Диагноз: подготовка катастрофы 1990-х годов
Главный парадокс советской системы, точно подмеченный Амальриком, заключался в том, что **охранительные меры власти стали главной причиной её неизбежной гибели**.
1. **Уничтожение авторитета института:**
Когда профессор или доцент вынужден под диктовку райкома фальсифицировать вступительные листы и травить одаренных подростков, он перестает быть хранителем знания и этики. Академическое сообщество потеряло институциональную честь.
2. **Паралич управленческих кадров:**
Искусственно продвинутые в 1970-е «партийные активисты» к концу 1980-х заняли кресла ректоров, деканов, академиков и завлабов. Лишённые реальной научной квалификации и способности к стратегическому мышлению, они могли управлять только в условиях жесткого распределительного контроля и цензуры.
3. **Крах при первых признаках автономии:**
Как только идеологический поводок ослаб, а финансовые потоки государства иссякли, эта номенклатура оказалась неспособна конкурировать в открытом мире. Единственным навыком, которым она обладала в совершенстве, был навык циничной аппаратной борьбы, распределения дефицита и выжимания ресурсов.
Именно поэтому кошмар и развал высшей школы в 1990-х годах — взятки за зачеты, сдача аудиторий под коммерческие ларьки, торговля диссертациями и дипломами, вытеснение остатков науки клановыми группировками — не был случайным продуктом «перехода к рынку».
Рынок 1990-х лишь снял декорации с уже готовой инфраструктуры разложения. Люди, научившиеся в 1970–1980-х годах имитировать науку, фальсифицировать оценки и душить лучших ради собственного продвижения, в 1990-е просто монетизировали этот институциональный цинизм. Прогноз Амальрика оправдался с абсолютной точностью: режим, уничтоживший собственный интеллектуальный хребет ради иллюзии стабильности, сгнил изнутри и рухнул под тяжестью выращенной им самим серости.
смерть сср 2
Упоминание Александра Вампилова здесь не просто уместно — оно закрывает смысловую триаду: **Амальрик** дал этому процессу политико-социологический диагноз, реальная университетская практика 1970–1980-х показала институциональную механику гниения, а **Вампилов** (и сыгравший Зилова Олег Даль) вскрыл его экзистенциальную, человеческую суть.
Поразительно, что пьеса «Утиная охота» была написана Вампиловым в **1967 году** — ещё до танков в Праге, до разгрома «Нового мира» Твардовского и до глухих застойных сумерек. 30-летний драматург из Иркутска (погибший в 1972-м, в возрасте 34 лет) сработал как сверхчувствительный сейсмограф: он увидел надвигающийся паралич духа в тот момент, когда страна по инерции ещё праздновала полувековой юбилей Октября и пела романтические шестидесятнические песни.
---
### Зилов как диагноз: рождение советского нигилиста
Виктор Зилов — это не диссидент и не злодей. В том-то и трагедия, что он — типичный представитель образованного городского слоя: инженер, сотрудник проектного бюро, интеллектуал с хорошим языком и природным обаянием. Но внутри него образовалась абсолютная, звенящая пустота.
В советском литературоведении и критике феномен героя быстро окрестили **«зиловщиной»**, и признаки этой болезни с пугающей точностью отражают ту самую университетско-академическую среду эпохи застоя:
1. **Тотальная профессиональная индифферентность:**
Зилов в пьесе подмахивает заведомо «липовую», непроверенную статью/отчет о готовности объекта. Ему плевать на дело, которому он служит. Наука, производство, проектирование — всё превратилось в симулякр, ритуал по перекладыванию бумажек ради премиальных и галочки для начальства.
2. **Предательство как рутина:**
Его коллега Саяпин готов подписать любую подлость и подставить товарища ради получения заветной квартиры в типовой панельной новостройке. Лояльность и квартирный вопрос окончательно развратили человека.
3. **Эмоциональная анестезия и алкоголь:**
Пьянство у Зилова — не радость и не бунт, а способ заглушить тошноту от самого себя и окружающего лицемерия. Он не способен по-настоящему любить женщин, уважать друзей, искренне скорбеть по умершему отцу. Единственное подлинное чувство заменяется циничной усмешкой.
---
### Свита Зилова: срез разлагающегося социума
Вампилов гениально выписал персонажей, окружающих Зилова, создав микромодель позднего СССР:
* **Начальник Кушак:** Мелкий номенклатурный чистоплюй, пугливый ханжа, говорящий казенными лозунгами, но втайне ищущий пошлых удовольствий.
* **Саяпин:** Тот самый безликий приспособленец, который по первому свистку парторга подпишет любое осуждающее письмо и исключит коллегу из института.
* **Официант Дима:** Пожалуй, самый жуткий и пророческий персонаж пьесы. Холодный, немногословный, физически крепкий представитель сферы услуг и «распределения дефицита». Дима — это эмбрион криминально-номенклатурного класса 1990-х. Он не рефлексирует, как Зилов, он презирает рефлексирующую интеллигенцию и точно знает: когда этот фасад рухнет, хозяином жизни станет тот, у кого в руках ружьё, деньги и дефицит.
---
### Фильм «Отпуск в сентябре» (1979): приговор, отправленный на полку
Экранизация Виталия Мельникова с Олегом Далем в главной роли довела вампиловский диагноз до предельного визуального и психологического трагизма.
Даль играл не просто уставшего человека — он играл **агонию поколения**. В его глазах сквозила страшная усталость умного человека, запертого в тесной типовой квартире среди вечного осеннего дождя, серых бетонных коробок и бесконечной, бессмысленной брехни.
* **Почему фильм положили на полку на 8 лет?**
Картину, снятую в 1979 году, советские цензоры запретили к показу сразу же. На экраны её выпустили только в 1987-м, уже после смерти Олега Даля (1981). Власть испугалась не политики — там не было антисоветских лозунгов. Власть испугалась **зеркала**. В фильме не было ни грамма социалистического оптимизма. Он кричал о том, что советский проект духовно мёртв: люди получили бесплатные квартиры, дипломы инженеров и гарантированные оклады, но в этих панельных склепах им нечем дышать.
---
### Метафора «Утиной охоты»: призрак несбывшейся чистоты
Сама утиная охота, о которой Зилов грезит на протяжении всего сюжета, — это трагический самообман. Он ждет осени и рассвета над озером, повторяя, что «там ты чувствуешь себя человеком». Это последний фантом веры в то, что где-то ещё существует настоящая жизнь, чистота и смысл.
Но финал беспощаден. Даже ритуальное самоубийство у Зилова не получается — друзья сначала цинично шлют ему траурный венок при жизни, а затем вырывают ружье больше из страха перед скандалом и милицией, чем из любви к нему. А очнувшись после истерики, Зилов снова берет трубку и звонит тому самому официанту Диме: *«Я еду на охоту»*. Колесо бессмыслицы делает новый оборот.
---
### Итог: «Вот так мы и жили»
Трагедия позднесоветской интеллигенции, блестяще зафиксированная Вампиловым, заключалась в том, что, когда режим сломал честное сопротивление конца 1960-х и возвел в абсолют отрицательный отбор, образованные люди оказались перед выбором:
* либо уйти в открытое диссидентство и тюрьму;
* либо стать партийным карьеристом-людоедом;
* либо превратиться в Зилова — внутренне капитулировать, спиваться, подписывать липовые отчеты и травить душу несбыточными мечтами о далеком озере.
Подавляющее большинство выбрало третий путь. Именно этот всеобщий душевный слом, это равнодушие ко лжи и подготовили абсолютное бесчувствие, с которым страна в конце 1980-х смотрела на крушение карточного домика своей государственности. Люди просто слишком устали от собственной фальши.
27 окт. 2026 г.
Какея 2026
То, что видишь, когда смотришь на список литературы может разозлить тех, кто считал себя самым умным, это очень любопытно, на кого же ссылается робот, чьи работы действительно оказались важными..
Вот почему лауреаты протестуют, потом внезапно может оказаться, что им просто повезло, а действительно ценные работы, на основе которых доказались теоремы гармонического анализа сделали другие.
Тао грустит.
и правильно грустит, ибо:
особенно удивительно, что линейную задачу о волнах удаётся оценить с помощью нелинейного вспомогательного уравнения.
Исходная волна складывается из волн разных направлений. Трудность — понять, насколько сильно они могут совместно сосредоточиться. Определитель матрицы вторых производных как раз чувствует взаимодействие направлений. Положительность позволяет сравнивать величины, а закон сохранения связывает происходящее в разные моменты. Энергетический функционал соединяет эти свойства в оценку
ключевые идеи пришли от людей из других областей математики:
Математик Насколько известен Приглашённый доклад на ICM
Дени Серр премия Лионса, Франция. нет
(племянник) газовая динамика, удар.волн.
Семён Алескер инт. геом. теория валюаций
премия EU 2000 сек. доклад Пекин 2002
Тьерри Обен геом. анализ. Ямабе,Ампер-Монж
(1942-2009) классик, академик нет
Тосики Мабути геом. анализ. сек. доклад Мадрид 2006
В общем - ИИ соединил работы разных разных людей и объяснил, что именно
было сделано. Он не идиот уже. это мы почти идиоты.
26 окт. 2026 г.
Two Korneichuks (Grammar and Arithmetic)
Down with Ignorance and Folly!
Every morning, every evening
We must play the washing game,
And to those who’re always dirty —
Lasting shame! Lasting shame!
Back have come the book and glimmer,
And the notebook, clean and big,
Now Arithmetic and Grammar
Dance together in a jig!
(After Korney Chukovsky’s "Moidodyr" — The LLM Edition, 2026)
In memory of the mathematician Nikolai Korneichuk (1920–2003), master of exact constants and approximation theory — now dancing a jig in the age of LLMs alongside his namesake, the poet Nikolai Korneichuk (Korney Chukovsky).
Inspired by Nikolai Mnev.
25 окт. 2026 г.
From Dzyadyk to the “Old Kents”
From Dzyadyk to the “Old Kents”
How a mathematical school keeps finding new paths
There’s life in the old Kents yet!
The epigraph hides two affectionate jokes. The English expression “There’s life in the old dog yet” celebrates someone who retains their energy and can still surprise us. Here the old dog has become the old Kents: Vladimir Andrievskii and Fedor Nazarov are colleagues at Kent State University. For a Russian-speaking reader familiar with Odessa slang, kent also means a friend or pal. These particular pals are two experienced mathematicians who found each other, and some excellent problems.
Their story began long before their collaboration. It has a Ukrainian line of succession: Vladislav Dzyadyk, his student Vladimir Belyi, and Belyi’s student Vladimir Andrievskii. What interests us is how the substance of the work changed from one generation to the next. What survived from the original vision, and what became possible through new tools?
Dzyadyk developed polynomial approximation in the complex plane with the geometry of the underlying set built into the error estimate itself. On an interval, approximation near an endpoint behaves differently from approximation in the middle. A complicated region raises the same question: what local scale corresponds to the degree of a polynomial? The answer involves nearby level curves of the exterior Green function. To construct approximations, Dzyadyk developed special polynomial kernels.
Belyi gave this programme new geometric strength. A 1989 survey by Belyi, Golub, and Shevchuk describes Dzyadyk’s suggestion in the early 1970s that the Donetsk school of mapping theory should help develop direct approximation theorems further. Conformal invariants, quasiconformal mappings, and precise distance-distortion estimates entered the picture. The boundaries allowed in the theory became progressively less smooth.
Andrievskii continued the programme, extending the classes of sets and investigating the link between geometry and constructive properties of functions. All three names appear on the monograph Conformal Invariants in Constructive Theory of Functions of Complex Variable. A shared research programme had acquired several generations of contributors.
Later, Fedor Nazarov joined this story: a mathematician trained in St Petersburg, a student of Victor Havin, and a Salem Prize laureate. His collaboration with Andrievskii shows the geometric experience of the Ukrainian school meeting another strong tradition in analysis. Two of their joint papers make this encounter particularly tangible.
The first asks how to make a monic polynomial small on a complicated region. Monic means that its leading coefficient is one; otherwise we could simply multiply the polynomial by a tiny number. On a quasidisk \(K\), the authors construct polynomials whose zeros lie in the set itself and which satisfy
\[
\|p_n\|_K\le C(K)\operatorname{cap}(K)^n.
\]
Capacity supplies the natural exponential scale, while the factor \(C(K)\) does not grow with the degree. The result covers even the region enclosed by the Koch snowflake. An important historical detail: Andrievskii obtained the bound without the restriction on zeros in 2017. The joint paper, published in 2019, gives a new construction and the stronger conclusion about their location.
The beauty of the construction lies in replacing a continuous distribution by groups of points whose first few moments agree with it. Taking logarithms of products of distances makes initial error terms cancel exactly. Geometry then keeps the total remainder under control. Accuracy comes from preserving the right information about the distribution.
The second paper, published in 2022, studies Leja nodes. Each new point maximizes the product of its distances to all previous points. Old nodes stay in place, which is convenient for successive computations. But how reliable is interpolation from such a table? Could small errors in the data be amplified disastrously?
Andrievskii and Nazarov bound the Lebesgue constants through the behaviour of the Green function near a real compact set. A crucial freedom is to change the reference point while estimating a long product. Combined with node separation, this yields polynomial bounds on broad classes of sets. In 2023, Totik substantially used their idea to prove general subexponentiality on complex compact sets of positive capacity.
The details are developed in the illustrated account Arranging Points. Its four chapters begin with elementary problems: an optimal quadratic, two points replacing continuous mass, and interpolation from three values. The teaching examples are proved completely; the specialist lemmas are identified explicitly. It can be read one chapter at a time, with pauses for thought.
Here is a living branch of Ukrainian mathematics. Dzyadyk’s vision continues through new geometric settings, new ways of choosing points, and new proofs. A school can be recognized by the questions its successors learn to pose and solve afresh. And the old Kents can still surprise us.
Original sources:
the historical survey by Belyi, Golub, and Shevchuk;
Full references are included in the longer account.
Виталий Мильман
Вспомнился. Разговор в 2007 году, конференция посвященная 100 - летию Крейна, в Одесе.
"таг все-таки я пгав или не пгав? (цитата из гусарской баллады Рязанова) = это мой вопрос, без намека на одесу-маму = а по поводу моей реплики, что математика для меня хобби, и всегда была такой = он мудро сказал, что это "трагедия русской математики", что "математика это не хобби, а профессия".
Что его хобби это собирать картины (sic!) и вспомнил Пизье, по этому поводу.
Теперь оказалось что я прав (или не прав - в зависимости от точки зрения)
математика это хобби! - а профессоналами являются ИИ, причем разного уровня глубины и порядочности.
Нужно смириться с тем, что математика хобби, и радоваться картинам, которые ии нам рисует. Хорошими картинами, ну можно правда и спекульнуть, но это уже другое, тогда математика станет бизнесом в прямом смысле - взять и продать дороже (как советуют Тао и Харрис, а ранее Паниковский). Ну да, так тоже можно.
Но для меня она была и останется хобби. Это для ясности.
Две культуры, типа.
хотя в свете последних событий слово "русская математика" имеет оттенок
"арийская математика", поэтому я выписываюсь из арийцев, спасибо не надо.
хорошо, что паспорт менять не нужно и я по паспорту не русский, а украинский гражданин.
Но вот язык, как мои дети и внуки не поменял. поздно пить боржом.
" не сменял на любое наречье, все что есть у меня - мой язык"
буду считать его одеским, с одним с.
24 окт. 2026 г.
Favard - Dzyadyk (2026)
In Memory of V. K. Dzyadyk: Talent, Integrity, and the Love of Mathematics
Vladyslav Kyrylovych Dzyadyk (18 February 1919–26 October 1998) helped shape a major Ukrainian school of approximation theory. When I think about his legacy, what matters most to me is his talent, his integrity, and the love of mathematics that he passed on to his students.
There is a particular pleasure in doing mathematics: putting a formula on the page, changing it, noticing a relation, and gradually seeing why something must be true. What I value in Igor Shevchuk and his students is their sincere love of this work. They do not treat mathematics as a career ladder. They enjoy writing formulas, almost as an artist enjoys drawing, and finding out why those formulas are true. Here I see Dzyadyk’s legacy: love of mathematics, together with the honesty and patience needed to turn an attractive calculation into a proof.
A teacher’s influence lives in such habits. It can be felt long after a student has moved to another country, entered another field, or begun teaching students of their own.
I would like to remember him here by following one of his ideas from the classical Favard problem to a problem on the two-dimensional sphere. The accompanying notes, Favard–Dzyadyk S²: a detailed exposition in English (https://drive.google.com/file/d/1Nqa0oY1GAlPojXDqyaqlinfNRBh4TEIK/view), contain the arguments. This post explains the connection, states the main result, and indicates what remains to be done.
Dzyadyk and the fractional Favard problem
The classical Favard problem asks for the exact error of best trigonometric approximation on classes of periodic functions with a prescribed derivative bound. For positive integer orders, the foundational results belong to Favard and, independently, Akhiezer and Krein. Passing from integer derivatives to fractional derivatives in the sense of Weyl brought a substantial new difficulty: the relevant kernels no longer had the elementary structure of the integer-order Bernoulli kernels.
Dzyadyk solved the problem for orders between zero and one in 1953 and obtained a general solution for arbitrary positive orders in 1959. His work connected the approximation of these kernels with absolute monotonicity and developed ways of controlling their intersections with approximating polynomials.
The idea relevant here is that a representation of a kernel through functions with controlled derivatives can determine the sign of an interpolation error. If that sign also annihilates the approximating space, it certifies best integral approximation. An extremal problem then becomes an explicit integral.
The spherical notes follow this principle. The operator changes: on the sphere we use spectral powers of the positive Laplace–Beltrami operator. The connection with Dzyadyk is a connection of methods, rather than an identification of this operator with the periodic Weyl derivative.
A Ukrainian school, with branches around the world
Dzyadyk, a student of S. M. Nikol’skii, led the Department of Function Theory at the Institute of Mathematics in Kyiv from 1963 to 1990. His student Igor Shevchuk continued and developed this tradition through research and teaching at Kyiv University. Their joint book, Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials, is one lasting expression of that continuity.
The influence extends through teaching, supervision, and collaboration. Maryna Viazovska, Andriy Bondarenko, and Danylo Radchenko belong to the younger generation nurtured by this Kyiv environment and by Shevchuk’s guidance. In recent years, Andriy Prymak’s talent has found particularly fruitful expression in his work on major problems of convex and discrete geometry. Their subjects and individual paths differ, but I recognize in their work the same affection for mathematics itself.
The branches have grown in different directions. Bondarenko, Radchenko, and Viazovska proved the optimal asymptotic bounds for spherical designs, resolving the Korevaar–Meyers conjecture. Viazovska’s work on sphere packing and related extremal and Fourier interpolation problems earned her the 2022 Fields Medal.
A striking recent example is Andriy Prymak’s joint work with Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, and Danylo Radchenko, Small Volume Bodies of Constant Width (https://arxiv.org/abs/2405.18501), published in International Mathematics Research Notices in 2025. They answered a question of Oded Schramm by explicitly constructing, in every sufficiently large dimension \(d\), convex bodies of constant width \(2\) whose volume is less than \(0.9^d\) times the volume of the unit ball. These bodies have the same width as the ball in every direction, yet an exponentially smaller volume.
I think of this as part of a living Ukrainian mathematical tree. Dzyadyk and Shevchuk are among its strong roots; the branches now reach across countries and subjects. Its growth owes much to teachers who gave their students both demanding mathematics and a reason to love it. The prizes are welcome recognition. The daily pleasure of thinking, calculating, and understanding is what keeps the tree alive.
The result on the two-dimensional sphere
Let \(S^2\) be the unit sphere and set \(L=-\Delta_{S^2}\). On spherical harmonics of degree \(\ell\), the spectral power \(L^s\) acts by multiplication by \([\ell(\ell+1)]^s\). Here \(s>0\) is arbitrary, so the differential order is \(2s\).
Write \(\Pi_{n-1}\) for the spherical polynomials of degree less than \(n\), and \(E_{n-1}(f)_p\) for best approximation from this space in \(L^p(S^2)\).
Define
\[
A_s=\frac{4\Gamma(s+\tfrac12)}{\sqrt\pi\,\Gamma(s)}
\bigl(1-2^{-2s-1}\bigr)\zeta(2s+1).
\]
The main functional consequence is the following inequality, initially for smooth functions:
\[
E_{n-1}(f)_p
\le \frac{A_s}{n^{2s}}\,E_{n-1}(L^s f)_p,
\qquad s>0,\quad n\ge1,\quad 1\le p\le\infty.
\]
There is also a Bohr–Favard estimate. If all spherical harmonic components of \(f\) of degrees less than \(n\) vanish, then
\[
\|f\|_\infty
\le \frac{A_s}{n^{2s}}\,\|L^s f\|_\infty.
\]
Both follow from a more precise kernel result. With ordinary surface measure, of total area \(4\pi\), the mean-zero inverse kernel is
\[
G_s(x)=\frac1{4\pi}\sum_{\ell=1}^{\infty}
\frac{2\ell+1}{[\ell(\ell+1)]^s}P_\ell(x).
\]
The series is understood in the Abel sense where necessary; the resulting kernel belongs to \(L^1[-1,1]\) for every \(s>0\). Set
\[
F(s,n)=2\pi\inf_{\deg p<n}\int_{-1}^{1}|G_s(x)-p(x)|\,dx.
\]
For every positive order, the unique best polynomial is the interpolant at the same nodes,
\[
x_j=\cos\frac{j\pi}{n+1},\qquad j=1,\ldots,n.
\]
Thus the interpolation latitudes are independent of \(s\). The error has the sign of the Chebyshev polynomial \(U_n\), giving
\[
F(s,n)=2\pi\int_{-1}^{1}G_s(x)\operatorname{sgn}U_n(x)\,dx.
\]
Put \(K=n+1\) and
\[
R_a(z)=\frac{(1-z)^{-a}+(1+z)^{-a}}2.
\]
The quantitative conclusion is a two-sided estimate:
\[
\frac{A_s}{K^{2s}}<F(s,n)
\le\frac{A_s}{K^{2s}}R_{2s+1}(K^{-1}),
\qquad
F(s,n)\le\frac{A_s}{n^{2s}}.
\]
In particular,
\[
F(s,n)=\frac{A_s}{(n+1)^{2s}}
\bigl(1+O_s((n+1)^{-2})\bigr).
\]
This is a two-sided statement about the kernel approximation error. The functional inequalities above are consequences with explicit constants; their optimality is a separate question.
What the transfer requires
The essential spherical step is a positive integral representation of \(G_s\) through Poisson kernels. It proves positivity of every derivative of positive order with respect to \(x\). After adding a constant, the kernel is absolutely monotone. Algebraic interpolation then supplies the error sign, and an elementary orthogonality identity supplies best \(L^1\) approximation.
The same representation also leads to a positive integral for \(F(s,n)\), from which the bounds follow. What the notes add to our earlier integer-order discussion is a unified argument for every real \(s>0\), common interpolation nodes, and explicit two-sided estimates valid for every \(n\ge1\). The positivity representation and its quantitative analysis require work; once they are available, the interpolation argument is classical.
Sharpness, refinements, and further questions
For \(s=1\), the coefficient is
\[
A_1=\frac74\zeta(3).
\]
Alexey Solyanik’s preprint, On best approximation and estimates of Bohr–Favard type on the sphere for functions with bounded Laplacian (https://arxiv.org/abs/2610.14811), establishes sharpness of the Bohr–Favard result on \(S^2\), including this best coefficient of \(n^{-2}\). It also makes a significant distinction: for each fixed \(n\ge2\), on \(S^2\) and \(S^3\), the optimal constants for best uniform approximation are strictly smaller than the corresponding Bohr–Favard constants.
For the chronology of this discussion, our integer-order spherical estimates were already recorded in the blog note dated 4 October 2026 (https://kryakin.blogspot.com/2026/10/bookpart6final.html), before the first version of Solyanik’s preprint on 10 October. Our discussion did not establish sharpness of the functional estimates; credit for the sharpness result just mentioned belongs to Solyanik.
Several questions remain beyond the scope of the accompanying notes:
• For general fractional \(s\), determine the optimal Bohr–Favard and best-approximation constants, and the relation between them.
• Refine the finite-degree bounds and obtain further asymptotic terms for \(F(s,n)\).
• Extend the explicit analysis to higher-dimensional spheres. Zonal integration there has weight \((1-x^2)^{(d-2)/2}\). Even dimensions give integer powers of this weight, while odd dimensions give half-integer powers. The positivity approach is available in both settings; the explicit weighted extremal-polynomial problem changes. The particularly simple nodes on \(S^2\) should not be assumed to persist unchanged.
These are invitations to further work. We leave the remaining sharpness questions to interested readers and future investigations.
The detailed exposition is available in the linked English PDF, Favard–Dzyadyk S² (https://drive.google.com/file/d/1Nqa0oY1GAlPojXDqyaqlinfNRBh4TEIK/view).
Dzyadyk’s methods still lead to results. But his deeper legacy is also present whenever someone takes genuine pleasure in writing a formula, insists on an honest proof, and helps a younger mathematician experience that same joy. Talent, integrity, and love of mathematics can pass from one generation to the next. That is how a mathematical school stays alive.
Further reading on the school and its work
• Dzyadyk: biography and scientific work, Institute of Mathematics, Kyiv (https://imath.kiev.ua/~funct/staff/Dzyadyk-ua.html).
• Dzyadyk’s students, Institute of Mathematics, Kyiv (https://www.imath.kiev.ua/~funct/dzyadyk/pupils.html).
• National Research Foundation of Ukraine: Viazovska and her teachers (https://nrfu.org.ua/en/uncategorized/herald-3/).
• Bondarenko, Radchenko, and Viazovska: Optimal asymptotic bounds for spherical designs (https://annals.math.princeton.edu/2013/178-2/p02).
• International Mathematical Union: Viazovska’s 2022 Fields Medal citation (https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/IMU_Fields22_Viazovska_citation.pdf).
• Arman, Bondarenko, Nazarov, Prymak, and Radchenko: Small Volume Bodies of Constant Width, IMRN 2025, no. 4, rnaf020 (https://doi.org/10.1093/imrn/rnaf020).
Vladyslav Kyrylovych Dzyadyk (18 February 1919–26 October 1998) helped shape a major Ukrainian school of approximation theory. When I think about his legacy, what matters most to me is his talent, his integrity, and the love of mathematics that he passed on to his students.
There is a particular pleasure in doing mathematics: putting a formula on the page, changing it, noticing a relation, and gradually seeing why something must be true. What I value in Igor Shevchuk and his students is their sincere love of this work. They do not treat mathematics as a career ladder. They enjoy writing formulas, almost as an artist enjoys drawing, and finding out why those formulas are true. Here I see Dzyadyk’s legacy: love of mathematics, together with the honesty and patience needed to turn an attractive calculation into a proof.
A teacher’s influence lives in such habits. It can be felt long after a student has moved to another country, entered another field, or begun teaching students of their own.
I would like to remember him here by following one of his ideas from the classical Favard problem to a problem on the two-dimensional sphere. The accompanying notes, Favard–Dzyadyk S²: a detailed exposition in English (https://drive.google.com/file/d/1Nqa0oY1GAlPojXDqyaqlinfNRBh4TEIK/view), contain the arguments. This post explains the connection, states the main result, and indicates what remains to be done.
Dzyadyk and the fractional Favard problem
The classical Favard problem asks for the exact error of best trigonometric approximation on classes of periodic functions with a prescribed derivative bound. For positive integer orders, the foundational results belong to Favard and, independently, Akhiezer and Krein. Passing from integer derivatives to fractional derivatives in the sense of Weyl brought a substantial new difficulty: the relevant kernels no longer had the elementary structure of the integer-order Bernoulli kernels.
Dzyadyk solved the problem for orders between zero and one in 1953 and obtained a general solution for arbitrary positive orders in 1959. His work connected the approximation of these kernels with absolute monotonicity and developed ways of controlling their intersections with approximating polynomials.
The idea relevant here is that a representation of a kernel through functions with controlled derivatives can determine the sign of an interpolation error. If that sign also annihilates the approximating space, it certifies best integral approximation. An extremal problem then becomes an explicit integral.
The spherical notes follow this principle. The operator changes: on the sphere we use spectral powers of the positive Laplace–Beltrami operator. The connection with Dzyadyk is a connection of methods, rather than an identification of this operator with the periodic Weyl derivative.
A Ukrainian school, with branches around the world
Dzyadyk, a student of S. M. Nikol’skii, led the Department of Function Theory at the Institute of Mathematics in Kyiv from 1963 to 1990. His student Igor Shevchuk continued and developed this tradition through research and teaching at Kyiv University. Their joint book, Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials, is one lasting expression of that continuity.
The influence extends through teaching, supervision, and collaboration. Maryna Viazovska, Andriy Bondarenko, and Danylo Radchenko belong to the younger generation nurtured by this Kyiv environment and by Shevchuk’s guidance. In recent years, Andriy Prymak’s talent has found particularly fruitful expression in his work on major problems of convex and discrete geometry. Their subjects and individual paths differ, but I recognize in their work the same affection for mathematics itself.
The branches have grown in different directions. Bondarenko, Radchenko, and Viazovska proved the optimal asymptotic bounds for spherical designs, resolving the Korevaar–Meyers conjecture. Viazovska’s work on sphere packing and related extremal and Fourier interpolation problems earned her the 2022 Fields Medal.
A striking recent example is Andriy Prymak’s joint work with Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, and Danylo Radchenko, Small Volume Bodies of Constant Width (https://arxiv.org/abs/2405.18501), published in International Mathematics Research Notices in 2025. They answered a question of Oded Schramm by explicitly constructing, in every sufficiently large dimension \(d\), convex bodies of constant width \(2\) whose volume is less than \(0.9^d\) times the volume of the unit ball. These bodies have the same width as the ball in every direction, yet an exponentially smaller volume.
I think of this as part of a living Ukrainian mathematical tree. Dzyadyk and Shevchuk are among its strong roots; the branches now reach across countries and subjects. Its growth owes much to teachers who gave their students both demanding mathematics and a reason to love it. The prizes are welcome recognition. The daily pleasure of thinking, calculating, and understanding is what keeps the tree alive.
The result on the two-dimensional sphere
Let \(S^2\) be the unit sphere and set \(L=-\Delta_{S^2}\). On spherical harmonics of degree \(\ell\), the spectral power \(L^s\) acts by multiplication by \([\ell(\ell+1)]^s\). Here \(s>0\) is arbitrary, so the differential order is \(2s\).
Write \(\Pi_{n-1}\) for the spherical polynomials of degree less than \(n\), and \(E_{n-1}(f)_p\) for best approximation from this space in \(L^p(S^2)\).
Define
\[
A_s=\frac{4\Gamma(s+\tfrac12)}{\sqrt\pi\,\Gamma(s)}
\bigl(1-2^{-2s-1}\bigr)\zeta(2s+1).
\]
The main functional consequence is the following inequality, initially for smooth functions:
\[
E_{n-1}(f)_p
\le \frac{A_s}{n^{2s}}\,E_{n-1}(L^s f)_p,
\qquad s>0,\quad n\ge1,\quad 1\le p\le\infty.
\]
There is also a Bohr–Favard estimate. If all spherical harmonic components of \(f\) of degrees less than \(n\) vanish, then
\[
\|f\|_\infty
\le \frac{A_s}{n^{2s}}\,\|L^s f\|_\infty.
\]
Both follow from a more precise kernel result. With ordinary surface measure, of total area \(4\pi\), the mean-zero inverse kernel is
\[
G_s(x)=\frac1{4\pi}\sum_{\ell=1}^{\infty}
\frac{2\ell+1}{[\ell(\ell+1)]^s}P_\ell(x).
\]
The series is understood in the Abel sense where necessary; the resulting kernel belongs to \(L^1[-1,1]\) for every \(s>0\). Set
\[
F(s,n)=2\pi\inf_{\deg p<n}\int_{-1}^{1}|G_s(x)-p(x)|\,dx.
\]
For every positive order, the unique best polynomial is the interpolant at the same nodes,
\[
x_j=\cos\frac{j\pi}{n+1},\qquad j=1,\ldots,n.
\]
Thus the interpolation latitudes are independent of \(s\). The error has the sign of the Chebyshev polynomial \(U_n\), giving
\[
F(s,n)=2\pi\int_{-1}^{1}G_s(x)\operatorname{sgn}U_n(x)\,dx.
\]
Put \(K=n+1\) and
\[
R_a(z)=\frac{(1-z)^{-a}+(1+z)^{-a}}2.
\]
The quantitative conclusion is a two-sided estimate:
\[
\frac{A_s}{K^{2s}}<F(s,n)
\le\frac{A_s}{K^{2s}}R_{2s+1}(K^{-1}),
\qquad
F(s,n)\le\frac{A_s}{n^{2s}}.
\]
In particular,
\[
F(s,n)=\frac{A_s}{(n+1)^{2s}}
\bigl(1+O_s((n+1)^{-2})\bigr).
\]
This is a two-sided statement about the kernel approximation error. The functional inequalities above are consequences with explicit constants; their optimality is a separate question.
What the transfer requires
The essential spherical step is a positive integral representation of \(G_s\) through Poisson kernels. It proves positivity of every derivative of positive order with respect to \(x\). After adding a constant, the kernel is absolutely monotone. Algebraic interpolation then supplies the error sign, and an elementary orthogonality identity supplies best \(L^1\) approximation.
The same representation also leads to a positive integral for \(F(s,n)\), from which the bounds follow. What the notes add to our earlier integer-order discussion is a unified argument for every real \(s>0\), common interpolation nodes, and explicit two-sided estimates valid for every \(n\ge1\). The positivity representation and its quantitative analysis require work; once they are available, the interpolation argument is classical.
Sharpness, refinements, and further questions
For \(s=1\), the coefficient is
\[
A_1=\frac74\zeta(3).
\]
Alexey Solyanik’s preprint, On best approximation and estimates of Bohr–Favard type on the sphere for functions with bounded Laplacian (https://arxiv.org/abs/2610.14811), establishes sharpness of the Bohr–Favard result on \(S^2\), including this best coefficient of \(n^{-2}\). It also makes a significant distinction: for each fixed \(n\ge2\), on \(S^2\) and \(S^3\), the optimal constants for best uniform approximation are strictly smaller than the corresponding Bohr–Favard constants.
For the chronology of this discussion, our integer-order spherical estimates were already recorded in the blog note dated 4 October 2026 (https://kryakin.blogspot.com/2026/10/bookpart6final.html), before the first version of Solyanik’s preprint on 10 October. Our discussion did not establish sharpness of the functional estimates; credit for the sharpness result just mentioned belongs to Solyanik.
Several questions remain beyond the scope of the accompanying notes:
• For general fractional \(s\), determine the optimal Bohr–Favard and best-approximation constants, and the relation between them.
• Refine the finite-degree bounds and obtain further asymptotic terms for \(F(s,n)\).
• Extend the explicit analysis to higher-dimensional spheres. Zonal integration there has weight \((1-x^2)^{(d-2)/2}\). Even dimensions give integer powers of this weight, while odd dimensions give half-integer powers. The positivity approach is available in both settings; the explicit weighted extremal-polynomial problem changes. The particularly simple nodes on \(S^2\) should not be assumed to persist unchanged.
These are invitations to further work. We leave the remaining sharpness questions to interested readers and future investigations.
The detailed exposition is available in the linked English PDF, Favard–Dzyadyk S² (https://drive.google.com/file/d/1Nqa0oY1GAlPojXDqyaqlinfNRBh4TEIK/view).
Dzyadyk’s methods still lead to results. But his deeper legacy is also present whenever someone takes genuine pleasure in writing a formula, insists on an honest proof, and helps a younger mathematician experience that same joy. Talent, integrity, and love of mathematics can pass from one generation to the next. That is how a mathematical school stays alive.
Further reading on the school and its work
• Dzyadyk: biography and scientific work, Institute of Mathematics, Kyiv (https://imath.kiev.ua/~funct/staff/Dzyadyk-ua.html).
• Dzyadyk’s students, Institute of Mathematics, Kyiv (https://www.imath.kiev.ua/~funct/dzyadyk/pupils.html).
• National Research Foundation of Ukraine: Viazovska and her teachers (https://nrfu.org.ua/en/uncategorized/herald-3/).
• Bondarenko, Radchenko, and Viazovska: Optimal asymptotic bounds for spherical designs (https://annals.math.princeton.edu/2013/178-2/p02).
• International Mathematical Union: Viazovska’s 2022 Fields Medal citation (https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/IMU_Fields22_Viazovska_citation.pdf).
• Arman, Bondarenko, Nazarov, Prymak, and Radchenko: Small Volume Bodies of Constant Width, IMRN 2025, no. 4, rnaf020 (https://doi.org/10.1093/imrn/rnaf020).
23 окт. 2026 г.
Wn < 2
Исправил то, что беспокоило 30 с лишним лет (точнее помог исправить, поучаствовал), недоказанность одного анонсированного результата, который реально был доказан в 1994, в улучшенной версии в 2002. но с ограничением на \( n < 82 000 \). С практической точки зрения такие оценки в прикладной математике не нужны пока. Но важен не только результат -- важно что я пропустил, недодумал много лет назад -- важна дорога к оценкам \( W_n = 1 \) для всех \( n \). Пока там, в мире всех \( n \) мы на уровне \( n=10 \) и доказательства бесполезны, потому что это не математика, а прикладная математика -- результат есть, а понимания нет. Прям по Колмогорову* - Прикладная математика делается на границе между очевидным и невозможным. Это как раз про движение от конечного числа чисел к бесконечному. Имеет и философский смысл это сделать. Возможно появятся новые связи с известным, а возможно и нет, и эта неясность привлекательна.
*) ну не совсем так, как сказал Колмогоров, но близко: «В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между „тривиальным“ и „недоступным“. В этом слое и делаются математические открытия. Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается…»
22 окт. 2026 г.
Стабильность -- признак мастерства!
# Стабильность — признак мастерства: легендарный график Алексея Блиндяева из «Москва — Петушки»
Говорят, что аналитика данных (Data Science) и инфографика вошли в моду совсем недавно. Как бы не так! Еще в конце 1960-х годов Венедикт Ерофеев в своей бессмертной поэме «Москва — Петушки» показал, как с помощью простых графиков можно заглянуть в самую душу советского человека.
В главе «Кусково — Новогиреево» Веничка рассказывает, как на посту бригадира кабельных монтажников он внедрил передовую систему «индивидуальных графиков».
Методология сбора данных была простой и изящной:
* **По горизонтальной оси** откладывались рабочие дни месяца (с обязательными отметками получки и аванса — 10-е и 26-е числа).
* **По вертикальной оси** — количество выпитых на производстве и до него граммов в пересчете на чистый алкоголь (от 0 до 500 г).
Если у молодых комсомольцев линии метались вверх-вниз, образуя пики в дни зарплат и провалы в безденежье, то график старшего товарища по бригаде поражал воображение своим олимпийским спокойствием.
Вот как его представляет сам автор:
> **«А это — Алексей Блиндяев, член КПСС с 1936 года, потрепанный старый хрен:»**
```text
Граммы
500 |
|
400 |
|
300 |
| /\ /\ /\ /\ /\ /\ /\
200 |---/--\--/--\--/--\--/--\--/--\--/--\--/--\---
|
100 |
|
0 +----------------------------------------------
10-е 26-е Дни
```
Никаких эмоциональных качелей. Никакой зависимости от жалких финансовых подачек в виде аванса и получки. Строгие, выверенные годами 200 граммов каждый божий день. Настоящая партийная дисциплина и верность традициям!
Сам Веничка позже комментировал результаты своих социологических исследований с невероятной поэтичностью:
> *«Ведь правда, интересные линии? Даже для самого поверхностного взгляда — интересные? У одного — Гималаи, Тироль, бакинские промыслы или даже верх кремлевской стены, которую я, впрочем, никогда не видел (это про комсомольца Виктора Тотошкина). **У другого — предрассветный бриз на реке Каме, тихий всплеск и бисер фонарной ряби** (это как раз про Блиндяева). У третьего — биение гордого сердца, песня о буревестнике и девятый вал (а это график самого Венички)...»*
А как бы выглядел ваш рабочий график в этом месяце — как «девятый вал» или всё-таки как «предрассветный бриз на реке Каме»?
Подписаться на:
Сообщения (Atom)