Schrödinger: 100 Years Later

Schrodinger: 100 Years Later

How wave mechanics meets an extremal problem in approximation theory

In 1926, Erwin Schrodinger proposed understanding motion through the possible shapes of a wave. A hundred years later, the differential operator of the spherical rotor appears in a study of the sharp constant relating the norms of functions with a restricted spectrum. The physicist asks which states a system permits. The mathematician asks which shape produces the best possible inequality. Sometimes both questions lead to the same spectral family.

This note brings together Schrodinger's second paper, Quantisation as an Eigenvalue Problem, and the work of Andriy Bondarenko, Joaquim Ortega-Cerda, Danylo Radchenko and Kristian Seip on the Hormander-Bernhardsson extremal function. The modern preprint first appeared on 7 April 2025; the version considered here is dated 23 January 2026 [2]. Schrodinger's paper ends with a different date: the manuscript was received by the journal on 23 February 1926 [1].

The comparison requires precision. In Schrodinger's paper we find the free spherical rotor. In the modern problem we encounter a complex perturbation of that rotor. The full perturbed operator has already been studied in physics; what interests us here is its emergence from extremality in analysis.

1. A paper that explains a way of seeing

The second paper occupies pages 489-527 of volume 79 of Annalen der Physik. It both sets out a programme for a new mechanics and tests that programme on concrete examples. It has three main parts: the relationship between mechanics and optics; the passage from a geometrical description to a wave description; and applications to the oscillator and rotors [1].

The opening takes the reader back to Hamilton. The trajectories of a mechanical system and the rays of geometrical optics obey related variational principles. Yet a ray is an approximate description of light. When diffraction matters, we need a wave, with its amplitude, phase and spatial form. Schrodinger carries this question into mechanics: might a trajectory likewise be an approximation to a fuller wave description?

He does not conceal the fact that the familiar analogy does not yet determine a unique wave equation. In particular, choosing a second-order equation is motivated by simplicity and then tested on examples. This is an important feature of the paper: a powerful idea comes with a clear account of the choice being made.

The formulation of the problem itself begins to change. Instead of searching for an individual path, one must study the collection of admissible wave forms. The space on which those forms are defined becomes part of the physical content.

2. The space of possible configurations

Schrodinger works in configuration space: a point in that space specifies the complete configuration of the system. For a single body, this may be ordinary three-dimensional space. For several bodies, we need the coordinates of all of them. When constraints are present, the configuration space may become a surface or another geometrical object.

Consider two different atoms joined by a bond of fixed length, and for the moment disregard the motion of the molecule as a whole. Only the direction of the bond changes. Its possible directions form the sphere \(S^2\). This sphere describes the molecule's orientations; no material spherical surface is needed.

Kinetic energy determines the geometry of configuration space. The wave equation therefore contains the Laplacian associated with that geometry. This is one of the paper's main lessons: the differential operator expresses the structure of possible motion.

In modern notation, the free rotor has Hamiltonian

\[ \mathsf H_0=\frac{\hbar^2}{2I}(-\Delta_{S^2}), \]

where \(I\) is the moment of inertia and \(\hbar\) is Planck's constant divided by \(2\pi\). The prefactor sets the energy scale; the Laplacian describes how the wave form changes between nearby orientations.

3. From motion to form: three central examples

The wave packet. In the second part of the paper, Schrodinger discusses how a superposition of waves forms a localised group. At suitable scales, its motion approximates that of a classical system. He distinguishes phase velocity from group velocity and acknowledges the role of de Broglie's work. This account of the passage to a classical description should not be read as a claim that an arbitrary wave packet always retains its shape.

The oscillator. In the third part, Hermite functions appear, along with energy levels now written as \(E_k=\hbar\omega(k+\tfrac12)\). The ground-state energy is nonzero. Schrodinger discusses the shapes of the eigenfunctions, their nodes, and the interlacing of zeros of successive polynomials. This part is especially familiar to a reader of approximation theory: well-known orthogonal polynomials acquire a physical meaning.

The rotor. This example makes particularly clear why the number of available directions cannot be reduced arbitrarily. With a fixed axis, the configuration space is a circle and the energy levels are proportional to \(k^2\). With a free axis, it is a sphere and the levels are proportional to \(k(k+1)\). Even when an individual classical motion looks simple, the wave problem must take account of the entire space of permitted configurations.

Later, Schrodinger combines rotation and vibration in a diatomic molecule. At the end of the paper, he turns to perturbation theory and notes agreement between the first-order Stark effect and Epstein's formula. Together, these examples demonstrate that the new programme works, while preserving the distinction between exact solutions and approximations [1].

4. The crucial passage: the free rotor and the form of the equation

For our comparison, the relevant passage is Section 3, item 3, "The rigid rotor with a free axis," on pages 520-522 of the original. The main formulas are on page 521, equations (33)-(34'). Here Schrodinger obtains the spherical wave equation and the spectrum \(k(k+1)\) [1].

In modern notation, after dividing by the energy scale,

\[ -\Delta_{S^2}\psi=\lambda\psi, \qquad \lambda=\frac{2IE}{\hbar^2}. \tag{1} \]

Restrict attention to axisymmetric states: they depend on the polar angle \(\theta\), but not on the azimuthal angle. Equation (1) then becomes

\[ -\frac1{\sin\theta}\frac{d}{d\theta} \left(\sin\theta\frac{d\psi}{d\theta}\right) =\lambda\psi. \tag{2} \]

With \(\xi=\cos\theta\) and \(g(\xi)=\psi(\theta)\), we obtain

\[ \boxed{ -\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right) =\lambda g(\xi),\qquad -1<\xi<1. } \tag{3} \]

It matters that we retain this divergence form: first a change in \(g\), then the geometrical factor \(1-\xi^2\), then another differentiation. This form explains both integration by parts and the appearance of Legendre polynomials.

The factor vanishes at \(\xi=\pm1\), but these endpoints are the poles of a sphere, not the walls of a container. The state must be regular there; imposing zero values at both endpoints would define a different problem. The regular solutions of (3) are Legendre polynomials, with eigenvalues \(k(k+1)\).

At the end of this discussion, Schrodinger explicitly observes that the level \(k=0\) corresponds to a nonzero constant function on the sphere. Today we would describe the corresponding normalised state as giving a uniform probability distribution over orientations. That is a modern explanation; the probabilistic interpretation of the wave function should not be attributed to this paper.

5. An equation arising from extremality

The modern problem concerns entire functions of exponential type at most \(\pi\) that are integrable on the real axis. Subject to \(f(0)=1\), one seeks to minimise \(\int_{\mathbb R}|f(t)|\,dt\). Equivalently, one seeks the sharp constant \(\mathscr C\) in the inequality \(|f(0)|\leq\mathscr C\|f\|_1\).

This comparison of norms belongs to the Akhiezer-Krein line of extremal problems; the particular extremal function was studied by Hormander and Bernhardsson. In [2], it is factorised as \(\varphi(z)=\Phi(z)\Phi(-z)\), with alternating real zeros assigned to the two factors. Theorem 1.1 gives a second-order equation for \(\Phi\).

We write it in the form

\[ z^2\Phi''+(2z-\alpha)\Phi' +(b^2z^2-\lambda)\Phi=0, \qquad \alpha=\frac1{2\mathscr C},\quad b=\frac\pi2. \tag{4} \]

Here \(\Phi(0)=1\) and \(\lambda=-\alpha\Phi'(0)\); the latter relation follows immediately by setting \(z=0\) in (4). Thus the parameters of the equation are tied to the extremal function.

At first sight, (4) seems far removed from (3): its variable is complex, and the coefficient of the highest derivative is \(z^2\). However, in Section 4.2 the authors pass to a Fourier representation and obtain a perturbed Legendre operator [2].

6. The exact comparison in the Fourier representation

To see how the transformation works, use the representation

\[ \Phi(z)=\int_{-1}^{1}g(\xi)e^{ibz\xi}\,d\xi. \tag{5} \]

Any normalising factor can be absorbed into \(g\). Differentiation with respect to \(z\) becomes multiplication by \(ib\xi\). Multiplication by \(z\) is transferred to differentiation with respect to \(\xi\).

The pair of terms \(z^2\Phi''+2z\Phi'\) is especially significant: together, they transform into a divergence-form operator. For regular \(g\), the boundary term contains \(1-\xi^2\) and vanishes. The resulting equation is

\[ \boxed{ -\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right) -ia\xi g(\xi)=\lambda g(\xi), \qquad a=\alpha b. } \tag{6} \]

This is an exact transformation of the equation, with no limiting procedure or asymptotic replacement. The representation and the operator domain are justified in the spectral analysis of [2].

Compare the two forms. Equation (3) contains the free spherical Laplacian. Equation (6) adds a linear imaginary potential. Since \(\xi=\cos\theta\), that potential is proportional to the cosine of the angle between an orientation and a chosen axis. For a real dipole in a real field, the same angular dependence occurs with a real coefficient; an imaginary coefficient takes the model into non-Hermitian quantum mechanics.

The full operator (6) already appears in a 2013 paper by Katherine Jones-Smith and Rudolf Kalveks. Their Hamiltonian \(-\Delta_{S^2}+i\gamma\cos\theta\), restricted to the axisymmetric sector, coincides with (6) when \(\gamma=-a\). The regularity conditions at the poles also agree [3].

The zeros of the extremal function \(\varphi\) and its factor \(\Phi\) must not, however, be identified with the zeros of the wave function \(g\): these functions are related by Fourier transformation and factorisation.

Reflection from north to south reverses the sign of \(\xi\), while complex conjugation reverses the sign of \(i\). Together, the two operations leave the operator invariant: this is the relevant \(PT\) symmetry. It provides a framework for studying regions in which the spectrum of a complex operator is real. Physicists vary the coupling strength; the extremal problem ties the selected value to a sharp constant.

7. The variational meaning: what connects the two problems

At the very beginning of his second paper, Schrodinger emphasises the connection between the wave equation and a variational problem. Here, the "principle of least action" should be understood as the principle of stationary action: the first variation vanishes, although a minimum need not exist.

The free spectral problem arises from stationarity of a quadratic energy subject to a normalisation constraint. For (6), one can write the complex quadratic functional

\[ \mathcal Q[g]=\frac12\int_{-1}^{1} \left((1-\xi^2)(g')^2-ia\xi g^2-\lambda g^2\right)\,d\xi. \tag{7} \]

Integration by parts in the first variation of (7) gives (6). There are no complex conjugates in this expression: the functional is complex, and we are discussing stationarity rather than the minimum of a real physical energy.

The original approximation problem uses a different functional: the integral of the absolute value. For admissible real variations, its first variation is determined by the sign of the extremal function. A signature, orthogonality and nodes at which the sign changes arise naturally here.

The common foundation is the compatibility of a function with all permitted variations. A full explanation of the connection must nevertheless trace how the condition of \(L^1\) extremality becomes a spectral condition for the factor of half the exponential type. Merely writing down the quadratic functional (7) does not accomplish this: it does not yet explain why this particular extremal solution and this particular parameter \(a\) are selected.

This distinction is especially important in the study of Favard's problem on \(S^3\). The original operator acts on a three-dimensional sphere, whereas the auxiliary rotor equation acts on \(S^2\). Coincidence of the auxiliary operators does not replace a justification of the spherical reduction or the sharpness of the constant. It gives us a language in which to seek that justification.

For an accessible introduction to this sphere problem, its geometry, harmonics, Green's function approach and signatures, see Yuriy Kryakin's Favard on the Sphere \(S^3\). Part I: To Hear the Music of the Spheres. That note introduces the question of estimating a function through its Laplacian after the low harmonics have been removed, and outlines the subsequent parts of the discussion.

8. What is worth remembering a hundred years later

Schrodinger's second paper leaves us with several guiding ideas that are particularly close to our concerns. The geometry of configuration space determines the operator. A wave form requires us to consider every available direction. Regularity and global compatibility select the eigenvalues. Orthogonal polynomials describe concrete states. A variational principle connects form with equation. A simple model allows a powerful idea to be tested and its limits to become visible.

For readers wishing to locate these passages in the original: geometry and the optical analogy are in Section 1; wave groups and the passage to the equation are in Section 2; the oscillator is discussed on pages 514-519; the rotors on pages 519-522; and the diatomic molecule and concluding remarks on perturbations on pages 522-527. These are the journal's printed page numbers, not the page numbers of the PDF file.

A hundred years later, the paper retains its appeal through its way of asking a question: first understand the space of possible states, then find the equation and conditions that select compatible forms. Approximation theory reaches a similar question through the demand for the best possible inequality.

These general observations also apply to contemporary problems in approximation theory. The geometry of the domain and the underlying measure determine the operator, the moments and the admissible variations. In sharp inequalities, best \(L^1\) approximation and extremal problems for functions with a restricted spectrum, a signature can certify optimality, while a spectral equation can help describe the extremal form. The analogy becomes useful when we identify the actual transformation, the boundary conditions and the criterion selecting the solution. Those details allow ideas to move between problems and also show where a proposed transfer still requires proof.

The meeting between mathematics and physics is particularly convincing where an exact transformation can be displayed. The extremal problem gives equation (4); its Fourier representation reveals operator (6); and the free part of that operator is already present in Schrodinger's treatment of the rotor. In this way, the history of an idea acquires a verifiable mathematical content.

Sources

[1] E. Schrodinger. Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) [Quantisation as an Eigenvalue Problem (Second Communication)]. Annalen der Physik, 79 (1926), 489-527; volume 384 in the journal's continuous numbering. DOI: 10.1002/andp.19263840602. Original paper. The equations in this note are written in modern notation.

[2] A. Bondarenko, J. Ortega-Cerda, D. Radchenko, K. Seip. The Hormander-Bernhardsson extremal function. arXiv:2504.05205v2, 23 January 2026; first version, 7 April 2025. Theorem 1.1 and Section 4.2 are central to the comparison. Full text.

[3] K. Jones-Smith, R. Kalveks. Vector Models in PT Quantum Mechanics. arXiv:1304.5692, 2013. See Section 2, equations (5), (15), (17): a particle on a sphere and its axisymmetric sector.

[4] Y. Kryakin. Favard on the Sphere \(S^3\). Part I: To Hear the Music of the Spheres. An introduction to the spherical Favard problem and the accompanying series of notes.

Historical statements, the exact coincidence of operators, and the open question of transferring variational conditions have different statuses in this note. Its purpose is to make the connection understandable and verifiable, while leaving room for further investigation.

=========================================================

Historical note. An important precursor of the spherical model is the work of Carl M. Bender and R. J. Kalveks, Extending PT Symmetry from Heisenberg Algebra to E2 Algebra (2011; preprint 2010). They studied a quantum rotor on the circle with an imaginary cosine potential and explicitly proposed extensions to higher Euclidean algebras. Jones-Smith and Kalveks subsequently developed the spherical model in 2013. In the preface to his dissertation, Kalveks credits Bender with introducing him to PT-symmetric quantum mechanics and supervising his research, while tracing the proposal to investigate Euclidean algebras to discussions with Chris Isham.

======================================================

# Шрёдингер: 100 лет спустя

*Как волновая механика встречается с экстремальной задачей теории приближений*

В 1926 году Эрвин Шрёдингер предложил смотреть на движение через возможные формы волны. Сто лет спустя дифференциальный оператор сферического ротатора появляется в исследовании точной константы между нормами функций с ограниченным спектром. Физик спрашивает, какие состояния допускает система. Математик спрашивает, какая форма обеспечивает наилучшую оценку. Иногда оба вопроса приводят к одному спектральному семейству.

Повод для этой заметки - вторая статья Шрёдингера «Квантование как задача на собственные значения» и работа Андрия Бондаренко, Жоакима Ортеги-Серды, Даниила Радченко и Кристиана Сейпа об экстремальной функции Хёрмандера-Бернхардссона. Современный препринт впервые появился 7 апреля 2025 года; рассматриваемая версия датирована **23 января 2026 года** [2]. В конце статьи Шрёдингера стоит другая дата: рукопись получена редакцией **23 февраля 1926 года** [1].

Сопоставление требует точности. У Шрёдингера мы найдём свободный сферический ротатор. В современной задаче появляется его комплексное возмущение. Полный возмущённый оператор уже изучался в физике; интерес представляет его возникновение из экстремальности в анализе.

## 1. Статья, в которой объясняется способ видеть

Вторая статья занимает страницы 489-527 в 79-м томе *Annalen der Physik*. Это одновременно программа новой механики и проверка программы на конкретных примерах. Она состоит из трёх больших частей: связи механики с оптикой; перехода от геометрического описания к волновому; применения к осциллятору и ротаторам [1].

Начало возвращает читателя к Гамильтону. Траектории механической системы и лучи геометрической оптики подчиняются родственным вариационным принципам. Но луч - приближённое описание света. Когда существенна дифракция, нужна волна со своей амплитудой, фазой и пространственной формой. Шрёдингер переносит этот вопрос в механику: не является ли траектория таким же приближением к более полному волновому описанию?

Он не скрывает, что знакомая аналогия ещё не определяет единственного волнового уравнения. В частности, выбор уравнения второго порядка обосновывается стремлением к простоте и затем проверяется на примерах. Это важная черта работы: сильная идея сопровождается ясным указанием на сделанный выбор.

Здесь начинает меняться сама постановка задачи. Вместо поиска отдельного пути приходится изучать множество допустимых волновых форм. Пространство, на котором они определены, становится частью физического содержания.

## 2. Пространство возможных положений

Шрёдингер работает в конфигурационном пространстве: его точка задаёт полное положение системы. Для одного тела это может быть привычное трёхмерное пространство. Для нескольких тел нужны координаты всех тел. Для системы с ограничениями пространство может стать поверхностью или другой геометрической фигурой.

Возьмём два различных атома, соединённых связью постоянной длины, и пока забудем о перемещении молекулы как целого. Меняется только направление связи. Возможные направления образуют сферу $S^2$. Она описывает ориентации молекулы; поверхность материального шара здесь не требуется.

Кинетическая энергия задаёт геометрию конфигурационного пространства. Поэтому в волновом уравнении возникает лапласиан, соответствующий этой геометрии. Это один из главных уроков статьи: дифференциальный оператор выражает устройство возможного движения.

В современной записи свободный ротатор имеет гамильтониан

\[
\mathsf H_0=\frac{\hbar^2}{2I}(-\Delta_{S^2}),
\]

где $I$ - момент инерции, а $\hbar$ - постоянная Планка, делённая на $2\pi$. Множитель устанавливает масштаб энергии; лапласиан описывает изменение волновой формы между близкими ориентациями.

## 3. От движения к форме: три главных примера

**Волновой пакет.** Во второй части статьи Шрёдингер обсуждает, как суперпозиция волн образует локализованную группу. При подходящих масштабах её движение приближает движение классической системы. Он различает фазовую и групповую скорости и отмечает роль исследований де Бройля. Это объяснение перехода к классическому описанию не следует воспринимать как утверждение, что произвольный пакет всегда сохраняет свою форму.

**Осциллятор.** В третьей части появляются функции Эрмита и уровни, которые сегодня записывают как $E_k=\hbar\omega(k+\tfrac12)$. Нулевая энергия оказывается ненулевой. Шрёдингер обсуждает форму собственных функций, их узлы и разделение нулей соседних полиномов. Читателю теории приближений эта часть особенно близка: известные ортогональные полиномы приобретают физическое содержание.

**Ротатор.** Здесь особенно ясно видно, почему нельзя произвольно сокращать число доступных направлений. При закреплённой оси остаётся окружность и уровни, пропорциональные $k^2$. При свободной оси возникает сфера и уровни, пропорциональные $k(k+1)$. Даже если отдельное классическое движение выглядит простым, волновая задача должна учитывать всё пространство разрешённых положений.

Позднее Шрёдингер соединяет вращение и колебания двухатомной молекулы. В конце статьи он обращается к теории возмущений и отмечает согласие результата для эффекта Штарка первого порядка с формулой Эпштейна. Вместе эти примеры показывают работоспособность новой программы, сохраняя различие между точным решением и приближением [1].

## 4. Главное место: свободный ротатор и форма уравнения

Для нашего сопоставления нужно открыть **§ 3, пункт 3 «Жёсткий ротатор со свободной осью», страницы 520-522 оригинала**. Основные формулы находятся на странице 521, уравнения (33)-(34′). Здесь Шрёдингер получает сферическое волновое уравнение и спектр $k(k+1)$ [1].

В современных обозначениях после деления на масштаб энергии:

\[
-\Delta_{S^2}\psi=\lambda\psi,
\qquad
\lambda=\frac{2IE}{\hbar^2}.
\tag{1}
\]

Выберем осесимметричные состояния: они зависят от полярного угла $\theta$, но не от азимутального угла. Тогда (1) превращается в

\[
-\frac1{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}
\left(\sin\theta\frac{d\psi}{d\theta}\right)
=\lambda\psi.
\tag{2}
\]

После замены $\xi=\cos\theta$, $g(\xi)=\psi(\theta)$ получаем

\[
\boxed{
-\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right)
=\lambda g(\xi),\qquad -1<\xi<1.
}
\tag{3}
\]

Важно сохранить именно дивергентную форму: сначала изменение $g$, затем геометрический множитель $1-\xi^2$, затем ещё одно дифференцирование. Она объясняет и интегрирование по частям, и появление полиномов Лежандра.

Множитель исчезает при $\xi=\pm1$, но это полюса сферы, а не стенки сосуда. Требуется регулярность состояния; задавать нулевые значения на обоих концах было бы другой задачей. Регулярные решения (3) - полиномы Лежандра, а собственные значения равны $k(k+1)$.

В конце этого пункта Шрёдингер отдельно отмечает: уровню $k=0$ соответствует постоянная ненулевая функция на сфере. Сегодня мы описали бы такое нормированное состояние как равномерное распределение вероятностей по ориентациям. Это современное объяснение; закон вероятностной интерпретации волновой функции не следует приписывать данной статье.

## 5. Уравнение, пришедшее из экстремальности

Современная задача ставится для целых функций экспоненциального типа не выше $\pi$, интегрируемых на вещественной оси. При условии $f(0)=1$ нужно минимизировать $\int_{\mathbb R}|f(t)|\,dt$. Эквивалентно ищется точная константа $\mathscr C$ в оценке $|f(0)|\leq\mathscr C\|f\|_1$.

Это задача о соотношении норм, принадлежащая линии Ахиезера-Крейна; рассматриваемую экстремальную функцию изучали Хёрмандер и Бернхардссон. В работе [2] она факторизуется как $\varphi(z)=\Phi(z)\Phi(-z)$ с распределением чередующихся вещественных нулей между множителями. Теорема 1.1 даёт для $\Phi$ уравнение второго порядка.

Запишем его в форме

\[
z^2\Phi''+(2z-\alpha)\Phi'
+(b^2z^2-\lambda)\Phi=0,
\qquad
\alpha=\frac1{2\mathscr C},\quad b=\frac\pi2.
\tag{4}
\]

Здесь $\Phi(0)=1$ и $\lambda=-\alpha\Phi'(0)$; последняя связь сразу следует из (4) при $z=0$. Таким образом, параметры уравнения связаны с экстремальной функцией.

На первый взгляд (4) далеко от (3): переменная комплексная, а коэффициент при старшей производной равен $z^2$. Однако в § 4.2 авторы переходят к представлению Фурье и получают возмущённый оператор Лежандра [2].

## 6. Точное сопоставление в представлении Фурье

Чтобы увидеть механику перехода, используем запись

\[
\Phi(z)=\int_{-1}^{1}g(\xi)e^{ibz\xi}\,d\xi.
\tag{5}
\]

Нормировочный множитель можно включить в $g$. Дифференцирование по $z$ превращается в умножение на $ib\xi$. Умножение на $z$ переносится в дифференцирование по $\xi$.

Особенно существенна пара членов $z^2\Phi''+2z\Phi'$: вместе они переходят в дивергентный оператор. При регулярных $g$ граничный член содержит $1-\xi^2$ и исчезает. Получается

\[
\boxed{
-\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right)
-ia\xi g(\xi)=\lambda g(\xi),
\qquad a=\alpha b.
}
\tag{6}
\]

Это точное преобразование уравнения, без предельного перехода или асимптотической замены. Представление и область определения оператора обосновываются в спектральном анализе [2].

Сравним формы. В (3) стоит свободный сферический лапласиан. В (6) к нему добавлен линейный мнимый потенциал. При $\xi=\cos\theta$ он пропорционален косинусу угла между ориентацией и выбранной осью. У реального диполя в реальном поле такая угловая зависимость возникает с вещественным коэффициентом; мнимый коэффициент переводит модель в неэрмитову квантовую механику.

Полный оператор (6) уже присутствует в работе Кэтрин Джонс-Смит и Рудольфа Кальвекса 2013 года. Их гамильтониан $-\Delta_{S^2}+i\gamma\cos\theta$ в осесимметричном секторе совпадает с (6) при $\gamma=-a$. Совпадают и условия регулярности в полюсах [3].

При этом нули экстремальной функции $\varphi$ и её множителя $\Phi$ нельзя отождествлять с нулями волновой функции $g$: эти функции связаны преобразованием Фурье и факторизацией.

Отражение север-юг меняет знак $\xi$, а комплексное сопряжение меняет знак $i$. Вместе эти операции сохраняют оператор: это соответствующая $PT$-симметрия. Она позволяет исследовать области вещественного спектра комплексного оператора. Физики варьируют силу воздействия; экстремальная задача связывает выбранное значение с точной константой.

## 7. Вариационный смысл: что объединяет две задачи

В самом начале второй статьи Шрёдингер подчёркивает связь волнового уравнения с вариационной задачей. Принцип «наименьшего действия» при этом следует понимать как принцип стационарного действия: первая вариация исчезает, хотя минимум может отсутствовать.

Свободная спектральная задача получается из стационарности квадратичной энергии при фиксированной нормировке. Для (6) можно записать комплексный квадратичный функционал

\[
\mathcal Q[g]=\frac12\int_{-1}^{1}
\left((1-\xi^2)(g')^2-ia\xi g^2-\lambda g^2\right)\,d\xi.
\tag{7}
\]

Интегрирование по частям в первой вариации (7) даёт (6). В этой записи нет комплексных сопряжений: функционал комплексный, и речь идёт о стационарности, а не о минимуме вещественной физической энергии.

У исходной задачи приближения функционал другой: интеграл абсолютной величины. Для вещественных допустимых вариаций его первая вариация определяется знаком экстремальной функции. Здесь естественно появляются сигнатура, ортогональность и узлы изменения знака.

Общая основа - согласованность функции со всеми разрешёнными изменениями. Но полноценное объяснение связи должно проследить, как условие $L^1$-экстремальности преобразуется в спектральное условие для половинного множителя. Одного наличия квадратичного функционала (7) для этого недостаточно: такой функционал ещё не объясняет выбор именно экстремального решения и параметра $a$.

В исследовании Фавара на $S^3$ это различие особенно важно. Исходный оператор действует на трёхмерной сфере, а вспомогательное уравнение ротатора - на $S^2$. Совпадение вспомогательного оператора не заменяет обоснования сферической редукции и точности константы. Оно даёт язык, в котором можно искать это обоснование.

## 8. Что стоит запомнить через сто лет

Вторая статья Шрёдингера оставляет несколько особенно близких нам ориентиров. Геометрия конфигурационного пространства определяет оператор. Волновая форма требует учитывать все доступные направления. Регулярность и глобальная согласованность выделяют собственные значения. Ортогональные полиномы описывают конкретные состояния. Вариационный принцип связывает форму с уравнением. Простая модель позволяет проверить сильную идею и увидеть границы её применимости.

Для читателя, который хочет найти эти места в оригинале: геометрия и оптическая аналогия находятся в § 1; волновые группы и переход к уравнению - в § 2; осциллятор - на страницах 514-519; ротаторы - на страницах 519-522; двухатомная молекула и заключительные замечания о возмущениях - на страницах 522-527. Здесь указана печатная пагинация журнала, а не номер страницы файла.

Через сто лет привлекательность работы сохраняется в её способе ставить вопрос: сначала понять пространство возможных состояний, затем найти уравнение и условия, которые выделяют согласованные формы. Теория приближений приходит к похожему вопросу через требование наилучшей оценки.

Их встреча становится особенно убедительной там, где можно показать точное преобразование. Из экстремальной задачи приходит уравнение (4); представление Фурье открывает в нём оператор (6); свободная часть этого оператора стоит в разделе о ротаторе у Шрёдингера. Так история идеи получает проверяемое математическое содержание.

### Источники

**[1]** E. Schrödinger. *Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung).* Annalen der Physik, 79 (1926), 489-527; в сквозной нумерации томов - 384. DOI: [10.1002/andp.19263840602](https://doi.org/10.1002/andp.19263840602). [Оригинал статьи](https://jeti.uni-freiburg.de/vorles_Theo_IV/schroedinger_II.pdf). Формулы в заметке приведены в современных обозначениях.

**[2]** A. Bondarenko, J. Ortega-Cerdà, D. Radchenko, K. Seip. *The Hörmander-Bernhardsson extremal function.* [arXiv:2504.05205v2](https://arxiv.org/abs/2504.05205v2), 23 января 2026; первая версия - 7 апреля 2025. Для сопоставления существенны теорема 1.1 и § 4.2. [Полный текст](https://arxiv.org/html/2504.05205v2).

**[3]** K. Jones-Smith, R. Kalveks. *Vector Models in PT Quantum Mechanics.* [arXiv:1304.5692](https://arxiv.org/abs/1304.5692), 2013. См. § 2, уравнения (5), (15), (17): частица на сфере и её осесимметричный сектор.

*Исторические формулировки, точное совпадение операторов и открытый вопрос о переносе вариационных условий имеют в этой заметке разный статус. Задача текста - сделать связь понятной и проверяемой, сохранив пространство для дальнейшего исследования.*
 

S^3 Part I To hear the music of the spheres

 

To Hear the Sphere

Favard on the Sphere \(S^3\). I. Geometry, Oscillations and the Idea

The circle has a familiar language: sines and cosines. Any sufficiently regular oscillation can be decomposed into simple components, and we can ask which of them are slow, which are fast, and which matter for approximation. The sphere has such a language too. It is more complex, but preserves the essential point: geometry determines the admissible oscillations, while a differential operator measures their frequencies.

We want to understand how large a function on the three-dimensional sphere can be when its Laplacian is known and its low harmonics have been removed. The search for a sharp coefficient will lead us to Green's function, approximation in the integral norm, and a special pattern of sign changes. We begin with geometry: the reader needs only an intuitive understanding of distance, averages and oscillation.

How to Imagine \(S^3\)

The familiar surface of a ball is the two-dimensional sphere \(S^2\): one can move along it in two independent directions. It lies in three-dimensional space. Similarly, \(S^3\) is the surface of the unit ball in four-dimensional space. It has three independent tangent directions:

\[ S^3=\{(x_0,x_1,x_2,x_3):x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}. \]

The fourth coordinate helps us define the sphere, while the intrinsic dimension of its surface is three. It is difficult to depict the whole sphere in an ordinary drawing, but the geometry we need can be described through distances and layers.

Choose a north pole. Let \(\theta\) denote the distance from it to another point; on the unit sphere, this distance equals the central angle. It ranges from zero to \(\pi\). Points at the same distance form an ordinary two-dimensional sphere of radius \(\sin\theta\). Near the pole this layer is small, at the equator it is largest, and then it contracts again towards the opposite pole.

A function that has the same value at every point of a layer is called zonal. It can be specified as a function of the single variable \(\theta\). To integrate it, however, we must take the size of the layer into account. For the usual surface measure,

\[ \int_{S^3}A(\theta)\,d\sigma =4\pi\int_0^\pi A(\theta)\sin^2\theta\,d\theta. \]

The factor \(4\pi\) is the area of the unit two-dimensional sphere. The same formula gives the area of \(S^3\), namely \(2\pi^2\). The weight \(\sin^2\theta\) expresses the geometry, which must not be lost when we pass to a single variable.

This will be the decisive difference between dimensions. On \(S^2\), the radial weight is \(\sin\theta\). There, the substitution \(x=\cos\theta\) turns the measure into one with constant density. On \(S^3\), the same substitution leaves the weight \(\sqrt{1-x^2}\). Almost identical geometrical pictures lead to different conditions on the extremal nodes.

Let us fix the normalisations at once: the sphere has unit radius, and we use the usual surface measure. The uniform norm measures the maximum absolute value of a function; the integral norm measures the integral of its absolute value. Replacing surface measure by probability measure does not change the ratio of the norms of two functions, provided the same norm is used for both, but it changes the coefficients of integral kernels. Normalisation therefore matters particularly when we invert the operator.

Harmonics: the Individual Voices of the Sphere

On the circle, a sine or cosine of a single frequency remains the same oscillation after two differentiations: only its multiplier changes. Spherical harmonics play the corresponding role on the sphere. They are grouped by degree \(k\).

A harmonic of degree \(k\) can be defined by taking a homogeneous polynomial in four-dimensional space whose Euclidean Laplacian vanishes, and restricting it to the sphere. For our account, however, another property is more convenient: it is an eigenfunction of the spherical Laplacian.

The Laplace-Beltrami operator measures the combined variation of a function in tangent directions. It takes curvature into account and is independent of coordinates. Write the positive operator as \(L=-\Delta_{S^3}\). For a harmonic of degree \(k\),

\[ LY_k=k(k+2)Y_k. \]

Constants form degree zero. The four coordinate functions have degree one and eigenvalue three. In degree two, the eigenvalue is eight. There are \((k+1)^2\) independent harmonics of degree \(k\): a single frequency on the sphere admits an entire family of shapes.

Different degrees are orthogonal: the integral of the product of two harmonics of different degrees is zero. Together, they provide a complete language for decomposing square-integrable functions. Removing low harmonics is therefore as natural a condition as removing low frequencies from a Fourier series.

Let \(\Pi_{n-1}\) denote the space spanned by all harmonics of degrees less than \(n\). The notation \(f\perp\Pi_{n-1}\) means that the integral of \(fP\) vanishes for every polynomial \(P\) in this space. When \(n=1\), only a zero mean is required. When \(n=2\), the four coordinate moments must also vanish. This condition makes sense for integrable functions as well, since the test polynomials are bounded.

What coefficient is needed to estimate \(\|f\|\) in terms of \(\|Lf\|\) for such functions? The first admissible spectral level is \(n(n+2)\). In the quadratic norm, orthogonality immediately gives the exact answer \(1/[n(n+2)]\). In the uniform and integral norms, different harmonics can combine to create high peaks. For these norms, we must study the shape of the function, as well as the individual eigenvalues.

This is where Favard's problem arises: to find a coefficient of order \(n^{-2}\), determine its sharpness, and describe the extremal behaviour. A single harmonic gives an initial lower bound; a coordinated combination of harmonics may determine the true answer.

Averaging over rotations that fix the pole extracts the zonal part. It preserves the degree of a polynomial and does not increase the integral error. Many of the extremal questions we need therefore become one-dimensional. This is an exact reduction, although the weight itself continues to retain the dimension of the sphere.

From a Sharp Constant to the Right Sign

The history of the method begins with the inversion of differentiation. On the circle, this leads to periodic Bernoulli kernels. Favard's work in the 1930s showed how best approximation of the kernel yields sharp direct estimates for classes of smooth functions. On the sphere, Green's function of the Laplacian plays the same role.

Akhiezer and Krein developed the duality of extremal problems with linear constraints and prescribed moments. In this theory, minimising the integral norm is linked to a bounded function that certifies sharpness. When such a function takes the values \(+1\) and \(-1\), it becomes a signature: the sign of the extremal residual.

The signature has two duties. It must be orthogonal to every admissible approximating polynomial, and it must agree with the sign of the error. Integration against it then gives a lower bound equal to the upper bound already found. The approximation thus receives a certificate of its optimality.

Geronimus representations allow alternating nodes to be described through analytic polynomials. In Babenko's method, the search for such a sign becomes the starting point for difficult extremal problems. This language was also developed in joint studies by Babenko, Deikalova, Gorbachev and Kryakin. Its strength is that it reveals a common construction behind different formulations.

For our problem, an unexpected connection emerged with the comparison of norms: how narrow can the peak of a polynomial of a given degree be? After transforming the even spherical problem, this question selects the same signature as the approximation of Green's function. Different functionals use the same nodes. This coincidence requires proof and rests on the positivity of the interpolation remainder.

The modern description of the Hormander-Bernhardsson extremal function, obtained by Bondarenko, Ortega-Cerda, Radchenko and Seip, supplies an equation and a spectral mechanism for locating the nodes. In our working derivation, this leads to the limiting constant \(F_{1,3}\approx2.85099942\). It concerns best approximation of the kernel and the uniform-norm estimate; the sharpness of the corresponding integral operator norm on the constrained space remains a separate problem.

The full route through the series is as follows:

1. Chapter II. "Favard: Recovering a Function from Its Oscillations." The circle and \(S^2\), exact signatures and two explicit series.
2. Chapter III. "The Sphere Puts a Question to Its Nodes." The formulation on \(S^3\), Green's function and a close Gegenbauer candidate.
3. Chapter IV. "How We Learned to Find the Extremal Form." The history of the norm problem and the ideas leading from moments to an equation.
4. Chapter V. "A Bridge to Entire Functions." The limiting profile, a common signature and the formula for the spherical constant.
5. Chapter VI. "When Two Constants Meet on the Sphere." The direct route through the circle, a simple estimate and the remaining questions.

The chapters are self-contained: the necessary notation is repeated. Detailed checks of the ongoing investigation are collected in the proof notes. Three questions are useful while reading: which norm are we estimating, with respect to which measure do we check orthogonality, and what certifies sharpness?

We shall seek a number and reconstruct the form that determines it. On the circle, that form follows a uniform rhythm. On the sphere, the rhythm changes with the measure. To hear it is to understand how geometry chooses the oscillations and their sign.

 

 # Услышать сферу

*Фавар на сфере S³. I. Геометрия, колебания и замысел*

У окружности есть знакомый язык: синусы и косинусы. Любое достаточно регулярное колебание можно разложить на простые составляющие и спросить, какие из них медленные, какие быстрые, какие важны для приближения. У сферы тоже есть такой язык. Он сложнее, но сохраняет главное: геометрия определяет допустимые колебания, а дифференциальный оператор измеряет их частоты.

Мы хотим понять, насколько велика функция на трёхмерной сфере, если известен её лапласиан и удалены низкие гармоники. Поиск точного коэффициента приведёт нас к функции Грина, интегральному приближению и особому рисунку перемен знака. Начнём с геометрии: для чтения достаточно представлений о расстоянии, среднем значении и колебании.

## Как представить S³

Обычная поверхность шара — двумерная сфера \(S^2\): по ней можно двигаться в двух независимых направлениях. Она лежит в трёхмерном пространстве. Аналогично \(S^3\) — поверхность единичного шара в четырёхмерном пространстве. На ней есть три независимых касательных направления:

\[
S^3=\{(x_0,x_1,x_2,x_3):x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}.
\]

Четвёртая координата помогает задать сферу, а внутренняя размерность её поверхности равна трём. Целиком изобразить её обычным рисунком трудно, но нужную нам геометрию можно описать через расстояния и слои.

Выберем северный полюс. Расстояние от него до другой точки обозначим \(\theta\); на единичной сфере оно совпадает с центральным углом. Оно изменяется от нуля до \(\pi\). Точки с одинаковым расстоянием образуют обычную двумерную сферу радиуса \(\sin\theta\). Возле полюса этот слой мал, у экватора — наибольший, затем снова сжимается к противоположному полюсу.

Функция, одинаковая во всех точках слоя, называется зональной. Её достаточно задать как функцию одной переменной \(\theta\). Однако интегрировать её следует с учётом размера слоя. Для обычной поверхностной меры

\[
\int_{S^3}A(\theta)\,d\sigma
=4\pi\int_0^\pi A(\theta)\sin^2\theta\,d\theta.
\]

Множитель \(4\pi\) — площадь единичной двумерной сферы. Из той же формулы получается площадь \(S^3\), равная \(2\pi^2\). Вес \(\sin^2\theta\) выражает геометрию, которую нельзя потерять при переходе к одной переменной.

Это будет решающим различием размерностей. На \(S^2\) радиальный вес равен \(\sin\theta\). Замена \(x=\cos\theta\) там превращает меру в постоянную. На \(S^3\) после такой замены остаётся \(\sqrt{1-x^2}\). Почти одинаковые геометрические картины приводят к разным условиям на экстремальные узлы.

Нормировки зафиксируем сразу: радиус сферы равен единице, мера — обычная поверхностная. Равномерная норма измеряет максимум абсолютной величины функции; интегральная — интеграл её абсолютной величины. Замена площади на вероятностную меру не изменяет отношения этих норм у двух функций, но меняет коэффициенты интегральных ядер. Поэтому нормировка важна именно при обращении оператора.

## Гармоники: отдельные голоса сферы

На окружности синус или косинус одной частоты остаётся тем же колебанием после двукратного дифференцирования: меняется только множитель. На сфере аналогичную роль играют сферические гармоники. Их объединяют в группы по степени \(k\).

Можно определить гармонику степени \(k\), взяв однородный полином в четырёхмерном пространстве, чей евклидов лапласиан равен нулю, и ограничив его на сферу. Но для нашего рассказа удобнее другое свойство: это собственная функция сферического лапласиана.

Лапласиан Лапласа—Бельтрами измеряет суммарное изменение функции по касательным направлениям. Он учитывает кривизну и не зависит от координат. Положительный оператор обозначим \(L=-\Delta_{S^3}\). Для гармоники степени \(k\)

\[
LY_k=k(k+2)Y_k.
\]

Постоянные образуют степень нуль. Четыре координатные функции имеют степень один и собственное значение три. В степени два собственное значение равно восьми. Всего независимых гармоник степени \(k\) имеется \((k+1)^2\): одна частота на сфере допускает целое семейство форм.

Разные степени ортогональны: их попарные интегралы произведений равны нулю. Вместе они дают полный язык разложения квадратично интегрируемых функций. Поэтому удалить низкие гармоники — столь же естественное условие, как удалить низкие частоты из ряда Фурье.

Обозначим через \(\Pi_{n-1}\) все гармоники степеней меньше \(n\). Запись \(f\perp\Pi_{n-1}\) означает, что интеграл \(fP\) равен нулю для каждого полинома \(P\) из этого пространства. При \(n=1\) требуется только нулевое среднее. При \(n=2\) дополнительно исчезают четыре координатных момента. Это условие осмысленно и в интегральной норме, поскольку тестовые полиномы ограничены.

Какой коэффициент нужен для оценки \(\|f\|\) через \(\|Lf\|\) на таких функциях? Первый допустимый уровень равен \(n(n+2)\). В квадратичной норме ортогональность сразу даёт точный ответ \(1/[n(n+2)]\). В равномерной и интегральной нормах разные гармоники могут совместно создавать высокие пики. Для них нужно изучить форму функции, а не только отдельные собственные значения.

Отсюда возникает задача Фавара: найти коэффициент порядка \(n^{-2}\), понять его точность и описать экстремальное поведение. Единичная гармоника даёт начальную нижнюю границу; согласованное сочетание гармоник может определять настоящий ответ.

Усреднение по вращениям вокруг полюса выделяет зональную часть. Оно сохраняет степень полинома и не увеличивает интегральную ошибку. Поэтому многие необходимые нам экстремальные вопросы становятся одномерными. Это точное сокращение задачи, хотя сам вес продолжает хранить размерность сферы.

## От точной константы к точному знаку

История метода начинается с обращения дифференцирования. На окружности оно приводит к периодическим ядрам Бернулли. Работы Фавара 1930-х годов показали, как наилучшее приближение ядра даёт точные прямые оценки для классов гладких функций. На сфере ту же роль играет функция Грина лапласиана.

Ахиезер и Крейн развивали двойственность экстремальных задач с линейными условиями и заданными моментами. В этой теории минимизация интегральной нормы связана с ограниченной функцией, удостоверяющей точность. Когда такая функция принимает значения \(+1\) и \(-1\), она становится сигнатурой — знаком экстремального остатка.

У сигнатуры две обязанности. Она должна быть ортогональна всем разрешённым приближающим полиномам и совпадать со знаком ошибки. Тогда интегрирование против неё даёт нижнюю границу, равную найденной верхней. Так приближение получает свидетельство своей оптимальности.

Представления Геронимуса позволяют описывать чередующиеся узлы через аналитические полиномы. В методе Бабенко поиск такого знака становится отправной точкой для трудных экстремальных задач. Этот язык развивался и в совместных исследованиях Бабенко, Дейкаловой, Горбачева и Крякина. Его достоинство — возможность увидеть общую конструкцию за различными формулировками.

Для нашей задачи неожиданным оказался выход к сравнению норм: насколько узким может быть пик полинома заданной степени? После преобразования чётной сферической задачи этот вопрос выбирает ту же сигнатуру, что и приближение функции Грина. Разные функционалы используют одни узлы. Совпадение требует доказательства и опирается на положительность интерполяционного остатка.

Современное описание экстремальной функции Хёрмандера—Бернхардссона, полученное Бондаренко, Ортегой-Сердой, Радченко и Сейпом, даёт уравнение и спектральный механизм поиска узлов. В нашем рабочем выводе это приводит к предельной константе \(F_{1,3}\approx2{,}85099942\). Она относится к точному приближению ядра и равномерной оценке; точность соответствующей ограниченной интегральной операторной нормы остаётся отдельной задачей.

Полный маршрут цикла таков:

1. **Глава II. «Фавар: восстановить функцию по её колебаниям».** Окружность и \(S^2\), точные сигнатуры и два явных ряда.
2. **Глава III. «Сфера задаёт вопрос своим узлам».** Постановка на \(S^3\), функция Грина и близкий кандидат Гегенбауэра.
3. **Глава IV. «Как научились находить экстремальную форму».** История нормовой задачи и идеи, ведущие от моментов к уравнению.
4. **Глава V. «Мост к целым функциям».** Предельный профиль, общая сигнатура и формула сферической константы.
5. **Глава VI. «Когда две константы встречаются на сфере».** Прямой круговой путь, простая оценка и оставшиеся вопросы.

Главы автономны: необходимые обозначения повторяются. Подробные проверки рабочего исследования собраны в доказательных заметках. Для чтения полезны три вопроса: какую норму мы оцениваем, с какой мерой проверяем ортогональность и чем удостоверена точность.

Мы будем искать число и восстанавливать определяющую его форму. На окружности её задаёт равномерный ритм. На сфере он меняется вместе с мерой. Услышать его — значит понять, как геометрия выбирает колебания и их знак.

S^3 Part II: In the beginning were $S^1$ and $S^2$

# Фавар: восстановить функцию по её колебаниям

*Фавар на сфере S³. II. Окружность, сфера и точные сигнатуры*

Насколько хорошо полином ограниченной степени может описать функцию? Гладкость помогает, согласуя соседние значения. Но как измерить эту помощь точно?

В центре нашего рассказа стоит теорема Фавара. Её механизм обращает дифференцирование и переносит задачу о целом классе функций на одно ядро. Если понять наилучшее приближение этого ядра, становятся доступны прямые оценки для всех функций класса. На сфере производную заменяет лапласиан, а ядро Бернулли — функция Грина.

Начнём с окружности, где точные узлы известны. Затем посмотрим на \(S^2\): там геометрия неожиданно сохраняет простоту знаков. Эти два случая подготовят нас к \(S^3\), где знакомый метод встретится с новым весом.

## Окружность: ядро вместо класса функций

На единичной окружности функция периодична с периодом \(2\pi\). Полином степени меньше \(n\) содержит постоянную составляющую и синусы и косинусы частот \(1,\ldots,n-1\). Отсутствие этих частот означает, что у функции нет низких гармоник. Это условие обозначим \(f\perp\mathcal T_{n-1}\).

Для первого лапласиана \(L=-d^2/d\theta^2\) неравенство Бора—Фавара принимает вид

\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_\infty\le\frac{\pi^2}{8n^2}\|Lf\|_\infty,
\qquad f\perp\mathcal T_{n-1}.}
\]

Коэффициент точен. Разрешённая гармоника частоты \(n\) дала бы только \(1/n^2\). Экстремальная функция использует несколько частот согласованно: её вторая производная приближается к чередующейся ступеньке. Гладкие приближения этой функции показывают, что коэффициент уменьшить нельзя.

Для произвольной гладкой периодической функции тот же коэффициент оценивает ошибку приближения: \(e_{n-1}(f)_\infty\le[\pi^2/(8n^2)]\|f''\|_\infty\). Здесь \(e_{n-1}\) — наименьшая равномерная ошибка среди полиномов степени меньше \(n\). Низкие частоты принимает на себя приближающий полином.

Почему возникает точная константа? На функциях с нулевым средним \(L\) обращается свёрткой с периодическим ядром. При нормировке свёртки мерой \(d\theta/(2\pi)\) оно имеет ряд \(2\sum_{k\ge1}\cos(k\theta)/k^2\). Вычитая из ядра полином низкой степени, получаем остаток, чья интегральная норма оценивает ошибку восстановления. Наилучший остаток имеет знак \(\operatorname{sign}\cos(n\theta)\), ортогональный низким частотам.

Его узлы равномерны. Сам знак служит двойственным свидетельством: интегрирование против него даёт нижнюю границу, совпадающую с нормой остатка. Именно так доказывается точность, а не только верхняя оценка. Вычисление даёт

\[
F_{1,1}=\frac4\pi\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{(-1)^j}{(2j+1)^3}=\frac{\pi^2}{8}
\approx1{,}2337005501.
\]

В ядре стоит вторая степень частоты; третья появляется после интегрирования против ступенчатого знака. В классической нумерации это константа \(K_2\); индекс \(1\) в \(F_{1,1}\) означает первую степень лапласиана.

## Сфера: размерность входит через меру

На единичной сфере \(S^2\subset\mathbb R^3\) гармоника степени \(k\) имеет собственное значение \(k(k+1)\) для \(L=-\Delta_{S^2}\). Сферические полиномы степени меньше \(n\) образуют пространство \(\Pi_{n-1}\). Условие \(f\perp\Pi_{n-1}\) снова означает отсутствие низких уровней.

Лапласиан объединяет вторые производные по касательным направлениям и не зависит от выбора координат. Его ядро обращения зависит только от расстояния \(\theta\) между точками. При обычной поверхностной мере, когда площадь сферы равна \(4\pi\), нормированная функция Грина равна

\[
G_2(\theta)=\frac{-1-2\log\sin(\theta/2)}{4\pi}.
\]

Она имеет нулевое среднее. Логарифмическая особенность у полюса интегрируема; это местный след двумерного лапласиана. Как и на окружности, \(f\) с нулевым средним восстанавливается свёрткой \(G_2*Lf\).

Обозначим через \(\mathcal E_n(S^2)\) наименьшую интегральную ошибку приближения \(G_2\) сферическими полиномами степени меньше \(n\). Она даёт оценку

\[
\|f\|_p\le\mathcal E_n(S^2)\|Lf\|_p,
\qquad f\perp\Pi_{n-1},\quad1\le p\le\infty.
\]

Для равномерной нормы коэффициент \(\mathcal E_n\) точен. Для интегральной нормы здесь утверждается верхняя оценка; её точность на подпространстве без низких гармоник — отдельный вопрос. Это различие сохранится и на \(S^3\).

Усреднение вокруг полюса позволяет искать приближающий полином среди зональных — зависящих только от \(\theta\). Радиальная мера равна \(2\pi\sin\theta\,d\theta\). При замене \(x=\cos\theta\) она становится \(2\pi\,dx\): вес исчезает. Поэтому

\[
\mathcal E_n(S^2)=\frac12\inf_{\deg q<n}
\int_{-1}^{1}|-\log(1-x)-q(x)|\,dx.
\]

Это точная алгебраическая задача на обычном отрезке. Она встречается с классическим результатом Коркина—Золотарёва: минимальную интегральную норму среди монических полиномов степени \(n\) имеет \(2^{-n}U_n\), где \(U_n\) — полином Чебышёва второго рода.

Его знак ортогонален всем меньшим степеням. В угловой переменной он особенно прост:

\[
\operatorname{sign}U_n(\cos\theta)
=\operatorname{sign}\sin((n+1)\theta),
\qquad\theta_j=\frac{j\pi}{n+1}.
\]

У логарифма все производные положительны. Поэтому интерполяционный остаток в этих узлах имеет именно нужный знак, и двойственность удостоверяет наилучшее приближение. Заметим тонкость: зональные гармоники \(S^2\) — полиномы Лежандра; экстремальные узлы задаёт другое семейство, \(U_n\). Спектр и сигнатура выполняют разные роли.

## Две точные константы и путь к третьей

На \(S^2\) известен не только порядок ошибки, но и её точный ряд:

\[
\boxed{\displaystyle
\mathcal E_n(S^2)=2\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{1}{(2j+1)\bigl[(2j+1)^2(n+1)^2-1\bigr]}.}
\]

Здесь легко увидеть одновременно конечную задачу и её предел. Например, \(\mathcal E_1(S^2)=\log2\). При росте степени

\[
\lim_{n\to\infty}n^2\mathcal E_n(S^2)
=F_{1,2}=2\sum_{j=0}^{\infty}\frac1{(2j+1)^3}
=\frac74\zeta(3)\approx2{,}1035995805.
\]

Функция \(\zeta(3)=\sum_{k\ge1}k^{-3}\) появляется потому, что сумма кубических обратных степеней нечётных чисел равна \(\tfrac78\zeta(3)\). У окружности чередование знаков привело к степени \(\pi\); у двумерной сферы положительный ряд привёл к дзета-значению. Это разные результаты одного механизма: интегрирования ядра против точной сигнатуры.

Можно обойтись и без предельного символа: знаменатель каждого слагаемого не меньше \((2j+1)^3n(n+2)\). Поэтому для всех \(n\ge1\)

\[
\mathcal E_n(S^2)<\frac{F_{1,2}}{n(n+2)}
\le\frac{F_{1,2}}{n^2}.
\]

Знаменатель \(n(n+2)\) здесь возникает из точного ряда. Его не следует путать с первым допустимым собственным значением \(n(n+1)\). Предельная формула показывает, что в общей оценке с \(n^{-2}\), для равномерной нормы, коэффициент \(F_{1,2}\) нельзя уменьшить.

Вернёмся к месту Фавара в теории приближений. Приближая ядро и свёртывая найденный полином с \(Lf\), получаем \(e_{n-1}(f)_p\le\mathcal E_n(S^2)\|Lf\|_p\). Здесь \(e_{n-1}\) — ошибка приближения функции сферическим полиномом.

Так одно вычисление для функции Грина управляет целым классом гладких функций. Если гладкость задана разностями, сначала строят усреднение, связывающее разности с лапласианом, а затем применяют оценку Фавара. В операторном подходе к прямым теоремам это центральное звено; выбор усреднения и его геометрия требуют собственной работы.

На окружности одни узлы служат всем чётным порядкам ядер Бернулли. Это позволяет сочетать ядра, сохраняя согласованность знаков. На сфере такое согласование требует проверки остатка для каждого семейства операторов.

Итак, к переходу на \(S^3\) у нас есть два ориентира. Мы знаем, что искать: ядро обращения, его точный знак и интегральную ошибку. И знаем, чего нельзя угадывать по одному спектру: расположение экстремальных узлов. На \(S^3\) после замены \(x=\cos\theta\) останется вес \(\sqrt{1-x^2}\). Он нарушит готовую схему Коркина—Золотарёва и поставит новую задачу, которой посвящена следующая глава.

---

S^3 III Sphere and nodes

 

# Сфера задаёт вопрос своим узлам

*Фавар на сфере S³. III. Лапласиан, функция Грина и поиск сигнатуры*

Теорема Фавара начинается с простого наблюдения: если у функции нет медленных колебаний, её величину можно контролировать через производную. На окружности колебания измеряются частотами. На сфере их место занимают сферические гармоники, а естественным оператором становится лапласиан.

Теперь наша цель — поставить эту задачу на трёхмерной сфере и увидеть, где скрывается её точная константа. Геометрия даст вес в интеграле, лапласиан даст ядро, а задача приближения потребует найти правильные точки перемены знака. Именно эти точки окажутся главным неизвестным.

## Какие колебания мы исключаем

Единичная сфера \(S^3\) лежит в четырёхмерном пространстве. Её собственная размерность равна трём, площадь — \(2\pi^2\). Работаем с обычной поверхностной мерой \(d\sigma\). Нормы \(L^1\) и \(L^\infty\) измеряют соответственно интеграл абсолютной величины и её максимум.

Положительный лапласиан обозначим \(L=-\Delta_{S^3}\). Гармоники степени \(k\) — его собственные функции, причём

\[
LY_k=k(k+2)Y_k.
\]

Постоянные соответствуют степени нуль. Пространство всех гармоник степеней меньше \(n\) обозначим \(\Pi_{n-1}\). Условие \(f\perp\Pi_{n-1}\) означает, что \(\int fP\,d\sigma=0\) для каждого \(P\) из этого пространства. Мы исключаем не только постоянную составляющую, но и следующие низкие уровни — вплоть до степени \(n-1\).

Для начала рассматриваем гладкие функции. Ищем наименьший коэффициент \(B_{n,p}\), при котором

\[
\|f\|_p\le B_{n,p}\|Lf\|_p,
\qquad f\perp\Pi_{n-1},\quad n\ge1.
\]

Естественный масштаб — \(n^{-2}\): первый разрешённый собственный уровень равен \(n(n+2)\). В норме \(L^2\) ответ сразу даёт ортогональность гармоник: \(B_{n,2}=1/[n(n+2)]\). Но интегральная и равномерная нормы иначе чувствуют сосредоточение функции. Здесь одного собственного значения уже недостаточно.

Обратим оператор. Если \(h=Lf\), то \(h\) также ортогональна низким гармоникам. Функция восстанавливается по ядру Грина:

\[
f(x)=\int_{S^3}G(d(x,y))h(y)\,d\sigma(y),
\qquad
G(\theta)=\frac{(\pi-\theta)\cot\theta-1/2}{4\pi^2}.
\]

Здесь \(\theta\) — расстояние до полюса. Ядро имеет нулевое среднее и удовлетворяет \(LG=\delta_{\mathrm{pole}}-1/(2\pi^2)\). Возле полюса \(G(\theta)\sim1/(4\pi\theta)\); в антиподе особенность устранима. Это одновременно локальное обращение лапласиана и глобальная поправка на замкнутость сферы.

Ортогональность даёт свободу: из ядра можно вычитать полином низкой степени, не меняя восстановленную функцию. Так неравенство для дифференциального оператора превращается в задачу наилучшего приближения.

## Когда знак удостоверяет точность

Зафиксируем полюс. Усреднение по вращениям вокруг него не увеличивает ошибку приближения. Поэтому достаточно полиномов, зависящих только от \(x=\cos\theta\). Зональные гармоники выражаются через полиномы Чебышёва второго рода:

\[
U_k(\cos\theta)=\frac{\sin((k+1)\theta)}{\sin\theta}.
\]

Они порождают все алгебраические полиномы нужной степени. Радиальная мера равна \(4\pi\sin^2\theta\,d\theta\), а после замены переменной возникает вес \(w(x)=\sqrt{1-x^2}\). Обозначим \(g_0(x)=G(\arccos x)\). Искомое расстояние ядра имеет вид

\[
\boxed{\displaystyle
E_n=4\pi\inf_{\deg q<n}\int_{-1}^{1}|g_0(x)-q(x)|w(x)\,dx.}
\]

Это точная одномерная задача. Она даёт \(B_{n,p}\le E_n\) для всех \(1\le p\le\infty\). В равномерной норме будет равенство. Для исходной интегральной нормы равенство требует отдельного доказательства: оценка нормы ядра сама по себе его не устанавливает.

Почему решающим становится знак ошибки? Пусть \(s(x)\) принимает значения \(\pm1\) и ортогональна всем полиномам степени меньше \(n\) с весом \(w\). Тогда для любого допустимого \(q\)

\[
\int|g_0-q|w\,dx\ \ge\ \int(g_0-q)sw\,dx
=\int g_0sw\,dx.
\]

Если знак остатка совпал с \(s\), неравенство превращается в равенство. Сигнатура — это такой удостоверяющий знак. Она превращает найденное приближение в доказанно наилучшее.

Чтобы получить её, минимизируем \(\int|Q|w\,dx\) среди монических полиномов степени \(n\): старший коэффициент закреплён и равен единице. Вариации остальных коэффициентов показывают, что знак минимизатора \(Q_n\) ортогонален всем меньшим степеням. У него ровно \(n\) простых внутренних корней. Иначе полином по точкам смены знака нарушил бы эту ортогональность.

Остаётся проверить, что найденный знак подходит именно функции Грина. Если \(q_{n-1}\) интерполирует её в корнях \(Q_n\), то

\[
g_0(x)-q_{n-1}(x)=\frac{Q_n(x)}{4\pi^2}
\int_0^\infty\frac{\cosh\eta\,d\eta}
{(\cosh\eta-x)Q_n(\cosh\eta)}.
\]

При \(-1<x<1\) интеграл положителен. Следовательно, знак остатка действительно равен \(\operatorname{sign}Q_n\). Это важная удача: минимальный монический полином выбирает узлы, а положительный остаток переносит их в задачу Фавара.

Взяв \(h(y)=\operatorname{sign}Q_n(\cos d(x,y))\), получаем допустимую правую часть нормы единица и значение \(L^{-1}h(x)=E_n\). Тепловое сглаживание даёт тот же результат для гладкого класса. Поэтому \(B_{n,\infty}=E_n\).

## Почему Гегенбауэр — почти ответ

Первые степени позволяют проверить конструкцию без большой техники. При \(n=1\) симметрия даёт \(Q_1(x)=x\). Сигнатура положительна на одной полусфере и отрицательна на другой. Наилучший постоянный полином равен \(G(\pi/2)=-1/(8\pi^2)\); прямое интегрирование остатка даёт \(E_1=1/2\).

Следующий случай уже выявляет трудность. При \(n=2\) имеем \(Q_2(x)=x^2-a^2\). Момент нечётной степени исчезает по симметрии; постоянный момент требует, чтобы центральный интервал содержал половину веса. Поэтому

\[
a\sqrt{1-a^2}+\arcsin a=\frac\pi4,
\qquad a\approx0{,}4039727533.
\]

Очень близкий кандидат дают многочлены Гегенбауэра \(C_n^{(2)}\). Но у \(C_2^{(2)}(x)=12x^2-2\) корни равны \(\pm1/\sqrt6\approx\pm0{,}4082482905\). Подстановка показывает: постоянный момент его знака не равен нулю. Расхождение невелико, однако для точной экстремальности оно существенно.

Это различие имеет простую причину. Обычная ортогональность полинома — линейное условие на его значения. В нашей задаче ортогонален его **знак**. Замена значений знаками меняет уравнения для узлов. Близкое семейство ортогональных полиномов не обязано решать новую задачу.

При этом кандидат Гегенбауэра остаётся полезным. Интерполяция в его корнях имеет такой же положительный остаток и даёт конструктивную верхнюю оценку. Уже сравнительно грубый расчёт приводит к

\[
n(n+2)E_n<12,\qquad n\ge1.
\]

Тем самым неравенство Фавара получено для всех \(n\), с правильным порядком. Нижняя оценка \(B_{n,p}\ge1/[n(n+2)]\) следует из одной гармоники степени \(n\). Между этими границами остаётся вопрос о точном коэффициенте и о пределе \(n^2E_n\).

Для чётных степеней появляется ещё одна дверь. Если \(n=2m\), симметрия позволяет сложить две половины радиального интеграла и положить \(t=2\theta\). Вес превращается в \(1-\cos t\). Те же условия на знак возникают при минимизации

\[
\int_0^\pi|P(t)|\,dt,
\qquad \deg P\le m,\quad P(0)=1,
\]

где \(P\) — косинус-полином. Действительно, допустимая вариация, исчезающая в нуле, имеет вид \((1-\cos t)q(\cos t)\). Так сферические узлы встречаются с задачей о сравнении равномерной и интегральной норм.

Теперь вопрос поставлен точно: найти сигнатуру, описать её узлы при росте степени и вычислить функционал Грина на этом знаке.

S^3 Part IV Exstreme form

 # Как научились находить экстремальную форму

*Фавар на сфере S³. IV. Ахиезер—Крейн, Геронимус, Бабенко и современное решение*

Точная константа часто скрывает за собой функцию. Найти несколько её десятичных знаков бывает легче, чем понять форму этой функции: где находятся нули, почему знак меняется именно там и какое уравнение управляет всей картиной.

Для сферического Фавара это различие оказалось решающим. После обращения лапласиана задача сводится к приближению функции Грина в интегральной норме. А такое приближение требует правильного знака ошибки — сигнатуры. История поиска этого знака соединяет несколько традиций. Проследим идеи, которые нам нужны, сохраняя различие между общей схемой и конкретным решением.

## Нормовая задача и вопрос Бора

Равномерная норма измеряет наибольшую абсолютную величину функции; интегральная суммирует абсолютные величины. У полинома ограниченной степени высокий пик не может быть произвольно узким. Поэтому между этими нормами существует неравенство. Нас интересуют его наилучший коэффициент и полином, на котором он достигается.

Можно зафиксировать значение полинома в точке, например \(P(0)=1\), и минимизировать интегральную норму. Можно вместо значения задать коэффициент, производную или другой линейный функционал. Так возникает общий вопрос: насколько мала норма при заданном линейном условии?

В работе 1936 года и книге 1938 года Ахиезер и Крейн исследовали минимальные задачи с заданными начальными моментами. Их схема связывает такую задачу с двойственной: вместо минимизации интегральной нормы полинома ищется ограниченная функция с предписанными начальными коэффициентами Фурье. В экстремальном случае она пропорциональна знаку полинома.

Для тригонометрических полиномов эта теория, развитая Геронимусом, даёт конечномерный механизм вычисления: константа определяется уравнением для определителя. Это точное решение в неявной форме. Однако оно ещё не делает прозрачными поведение узлов при росте степени и форму предельной функции. Эти вопросы требуют дальнейшего анализа.

Другая линия начинается с неравенства Бора: функцию без низких частот можно оценить через её производную. Это тот же принцип, который лежит в центре теоремы Фавара. Отсутствие медленных колебаний позволяет обратить дифференцирование с контролем нормы.

В 1993 году Хёрмандер и Бернхардссон изучали двумерное расширение этого неравенства для оператора Коши—Римана. Мотивом были также оценки, связанные с малыми знаменателями. Усреднение по вращениям и двойственность привели их к нормовой задаче для целых функций с ограниченным спектром.

Они получили чрезвычайно точные численные границы. В нормировке экспоненциального типа \(\pi\) коэффициент сравнения значения в точке с интегральной нормой равен примерно \(0{,}540928822\). Но распознать экстремальную функцию по вычислениям не удалось. Поэтому важно различать достижения: численное значение уже было известно с большой точностью; аналитическое устройство экстремали оставалось предметом поиска.

## Бабенко: сначала найти сигнатуру

В методе Бабенко отправной объект — знак, ортогональный заданному пространству. Его перемены знака выбирают узлы. После этого разные задачи могут использовать найденную сигнатуру для вычисления своих функционалов.

Такой способ работы проявился в совместных исследованиях Бабенко и Крякина об интегральном приближении ступенчатых функций. Он оказался полезен и для сравнения равномерной и интегральной норм полиномов. Общность состоит в двойственности: правильный знак удостоверяет экстремальность.

Записка Бабенко от 2 июля 2019 года даёт подробный снимок поиска. Среди косинус-полиномов степени не выше \(m\) рассматривалась задача

\[
P(0)=1,\qquad
\int_0^\pi|P(t)|\,dt\longrightarrow\min.
\]

Вариации имеют вид \((1-\cos t)q(\cos t)\). Поэтому знак минимизатора должен быть ортогонален полиномам меньшей степени с весом \(1-\cos t\). Именно этот вес позднее возникает при свёртке чётной задачи на \(S^3\).

Представление Геронимуса разделяет чередующиеся узлы на две группы. Их произведения образуют половинные множители; связанный аналитический полином имеет корни внутри единичного круга. Геометрия действительных узлов переводится в язык комплексной фазы. Эта конструкция уже присутствует у Бабенко в 2019 году и не должна приписываться знакомству с современным решением.

В записке выписаны моментные уравнения, разобраны малые степени и проведены большие вычисления. Для одной точки смены знака задача сводится к знакомому уравнению \(\omega=\cos\omega\); узел равен \(\pi/2+\omega\). Сравнение приближённых моделей с искомыми узлами доведено до степени 5000.

При этом простая рекурсия привычных ортогональных полиномов не обнаружилась. Вычисления показали расхождение с такими рекурсиями. Предлагалась красивая модель предельного преобразования Фурье в виде дуги окружности, но её экстремальность оставалась гипотезой. Близость графиков и корней ещё не давала точного ответа.

Существенна роль Горбачева. Его работа 2005 года связала интегральную задачу Конягина (так он называл задачу Ахиезера-Крейна)  с константами сравнения норм. А в записке 2019 года приведён предложенный им план: построить интерполяционную формулу по экстремальным нулям и через значения производных прийти к дифференциальному уравнению.

Совместное направление Бабенко, Дейкаловой, Горбачева и Крякина документировано докладом 2021 года о точном неравенстве Джексона—Никольского. Перед нами продолжавшаяся работа над методом; записка 2019 года фиксирует достигнутый тогда этап, а не окончательное описание предельной экстремали.

## От узлов к уравнению

Современная работа Бондаренко, Ортеги-Серды, Радченко и Сейпа, опубликованная как препринт в 2025 году и уточнённая в версии января 2026 года, даёт аналитическое описание функции Хёрмандера—Бернхардссона. Две линии исследования встречаются в близкой конструкции.

Экстремаль \(\varphi\) имеет только вещественные нули \(\pm\tau_k\). Авторы распределяют их между множителями \(\Phi(z)\) и \(\Phi(-z)\), так что \(\varphi(z)=\Phi(z)\Phi(-z)\). Моментные условия дают дифференциальное уравнение второго порядка для \(\Phi\). Дополнительное функциональное соотношение выделяет нужное решение и помогает описать нули.

Вычислительная задача становится спектральной. В подходящем ортогональном базисе матрица трёхдиагональна: каждый коэффициент связан только с соседними. Но собственного значения недостаточно. Нужно ещё условие на собственный вектор, выбирающее экстремальную ветвь. Так определяются нормовая константа и параметр \(\lambda\), собственное значение вспомогательного оператора.

В нашем масштабе нули обозначаются \(u_k=\pi\tau_k\). Для сравнения вводятся точки равномерной сетки \(v_k=\pi(k+1/2)\). Параметр \(\lambda\) управляет первым отклонением настоящих узлов от этой сетки. Полная асимптотика позволяет превращать выражения по узлам в сходящиеся формулы.

Теперь введём обозначение, используемое в сферических главах. Пусть \(H\) — экстремальная целая функция типа единица, нормированная условием \(H(0)=1\). Интегрируемость и этот тип означают, что её частоты ограничены отрезком \([-1,1]\). Положим

\[
\boxed{\displaystyle
B=\frac12\int_{\mathbb R}|H(u)|\,du
\approx2{,}903887282752.}
\]

Это половина минимальной интегральной нормы. В нормировке современной статьи \(H(u)=\varphi(u/\pi)\) и \(B=\pi/(2\mathscr C)\), где \(\mathscr C\) — коэффициент оценки значения в точке. Число \(B\) не следует смешивать с константой сферического Фавара: задачи используют общую форму, но вычисляют разные величины.

Для нас главный вклад современного решения — переход от условий на знак к уравнению, которое определяет экстремаль и делает её вычислимой. Мы сознательно используем этот механизм. Язык сигнатур и разделения узлов, существенный в методе Бабенко, позволяет увидеть его связь с нашей задачей.

Так объясняется место этой истории в цикле о Фаваре. Нормовая задача выбирает знак. Затем требуется проверить, что функция Грина подчиняется ему, и вычислить соответствующий функционал. Следующая глава проведёт этот переход к \(S^3\). Одна и та же экстремальная форма получит другое математическое назначение.

---

*Источники.* Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн, **О двух minimum-проблемах, связанных с проблемами моментов** (1936); **О некоторых вопросах теории моментов** (1938). Я. Л. Геронимус, работы об экстремальных задачах (1937–1938). L. Hörmander, B. Bernhardsson, **An extension of Bohr’s inequality** (1993), с. 179–194. А. Г. Бабенко, черновик **Signum Function**, 2 июля 2019 года, §§3.1–3.6. Д. В. Горбачев, [**Интегральная задача Конягина и (C,L)-константы Никольского**](https://www.mathnet.ru/rus/timm191) (2005). [Доклад Бабенко с соавторами](https://kma.kmath.ru/Science/Conferences/SBS2021/SBS2021_report.pdf), школа С. Б. Стечкина, 2021, с. 15 отчёта. A. Bondarenko, J. Ortega-Cerdà, D. Radchenko, K. Seip, [**The Hörmander–Bernhardsson extremal function**](https://arxiv.org/abs/2504.05205v2).

S^3 Part V Bridge

 # Мост к целым функциям

*Фавар на сфере S³. V. Общая сигнатура и предельная константа*

На сфере узлы экстремального полинома расположены неравномерно. Однако, если увеличивать окрестность полюса вместе со степенью, их рисунок постепенно становится устойчивым. Возникает вопрос: какой математический объект хранит этот рисунок?

Ответ приходит из задачи о сравнении норм. Её экстремальная целая функция определяет предельные сферические узлы. Мы объясним этот переход и сформулируем результат; подробные оценки остаются как равлечение для желающих понять тонкости.

## От сферы к устойчивому профилю

Работаем на единичной сфере \(S^3\) в четырёхмерном пространстве. Положительный лапласиан обозначим через \(L=-\Delta_{S^3}\). Сферические гармоники степени \(k\) — аналоги синусов и косинусов — имеют собственные значения \(k(k+2)\). У функции \(f\) удалены гармоники степеней меньше \(n\); мы ищем оценку её нормы через норму \(Lf\).

Пусть \(E_n\) — наименьшая интегральная ошибка приближения функции Грина сферическими полиномами степени меньше \(n\). Это точный коэффициент Фавара в равномерной норме; для остальных норм — верхняя оценка.

Главная неизвестная — сигнатура, то есть знак ошибки наилучшего приближения. Она должна быть ортогональна всем низким гармоникам. Для функций, зависящих только от расстояния до полюса, условие становится одномерным: знак ортогонален полиномам степени меньше \(n\) с весом \(\sqrt{1-x^2}\), где \(x=\cos\theta\).

Ортогональность полинома Гегенбауэра не означает ортогональности его знака. Правильную сигнатуру выбирает минимизация интегральной нормы полинома с фиксированным старшим коэффициентом: первая вариация нормы даёт нужные условия.

При чётной степени \(n=2m\) симметрия позволяет сложить две половины сферы. После замены \(t=2\theta\) получаем эквивалентную нормовую задачу: среди косинус-полиномов \(P_m\) степени не выше \(m\) с условием \(P_m(0)=1\) минимизировать

\[
\ell_m=\int_0^\pi|P_m(t)|\,dt.
\]

Допустимые вариации имеют вид \((1-\cos t)q(\cos t)\); множитель \(1-\cos t\) возникает из сферической меры. Соответствие точное.

Увеличим полярную область, положив \(t=u/(m+1)\). Периодизация целой экстремали даёт верхнюю оценку норм полиномов. Обратно, компактность семейства и минимальность предельной нормы показывают: любой предельный профиль решает одну и ту же задачу. Единственность её решения определяет предел всей последовательности.

Так мы приходим к целой функции \(H\) с \(H(0)=1\), минимизирующей интеграл \(\int_{\mathbb R}|H(u)|\,du\) среди целых функций экспоненциального типа не выше единицы. Тип ограничивает скорость роста при комплексном аргументе; для интегрируемых функций это равносильно ограничению частот отрезком \([-1,1]\). В результате

\[
P_m\!\left(\frac{u}{m+1}\right)\longrightarrow H(u),
\qquad (m+1)\ell_m\longrightarrow B.
\]

## Что даёт современная работа

Функция \(H\) оказывается масштабированной экстремалью Хёрмандера—Бернхардссона. Её современное описание принадлежит Бондаренко, Ортеге-Серде, Радченко и Сейпу. Авторы рассматривают тип \(\pi\): их функцию обозначим через \(\varphi\), а нормовую константу — через \(\mathscr C\). Она удовлетворяет точному неравенству \(|h(0)|\le\mathscr C\|h\|_1\).

Наши нормировки связаны просто: \(H(u)=\varphi(u/\pi)\). Поэтому

\[
B=\frac12\int_{\mathbb R}|H(u)|\,du
=\frac{\pi}{2\mathscr C}\approx2{,}903887.
\]

Современная работа определяет экстремаль через дифференциальное уравнение для множителя, содержащего чередующиеся нули. Спектральная задача и дополнительное условие позволяют вычислять параметры; подробная асимптотика описывает отклонение узлов от равномерной сетки.

Этот язык близок методу Геронимуса—Пехерсторфера -- Бабенко: сначала сигнатура, затем разделение чередующихся узлов и аналитические множители. В черновике Бабенко 2019 года такое разделение уже присутствует. Современное решение добавляет эффективный дифференциальный и спектральный механизм. Именно его мы используем, а не приписываем ему происхождение всей конструкции.

Почему нормовая сигнатура (для C-L задачи)  годится для Фавара? На конечной сфере интерполяционный остаток функции Грина равен экстремальному полиному, умноженному на положительный интеграл. Его знак поэтому совпадает с нормовой сигнатурой. В пределе сохраняется тот же механизм: по \(H\) строится низкочастотная часть фундаментального решения, а остаток имеет знак \(H\).

Есть важная техническая граница. Сходимость первых узлов ещё не разрешает переходить к пределу в интеграле по всей сфере. В доказательстве строится интегрируемая мажоранта, контролирующая и полюс, и дальнюю область. Здесь полиномы Гегенбауэра вновь полезны: они дают простой вспомогательный остаток, хотя сами не выбирают точные узлы.

Обозначим положительные нули \(\varphi\) через \(\tau_k\). В современной работе возникает ряд

\[
L_-(s)=\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^k}{\tau_k^s}.
\]

Первоначально его можно определить при \(\operatorname{Re}s>1\), затем продолжить аналитически на всю комплексную плоскость. Для нашей задачи появляется значение при \(s=-2\). Подставлять его непосредственно в ряд нельзя: члены тогда даже не стремятся к нулю. Нужно вычесть известные ведущие члены асимптотики узлов; оставшаяся сумма сходится абсолютно. Аналитическое продолжение фиксирует вклад вычтенной части.

Таким образом, точная запись числа опирается на точно определённую функцию и её узлы. Она остаётся точной и без выражения через привычные элементарные константы.

## Константа возвращается на сферу

Сферическая часть рабочего доказательства приводит к формуле

\[
\boxed{\displaystyle
\lim_{n\to\infty}n^2E_n=F_{1,3}
=-\pi^2L_-(-2)\approx2{,}85099942.}
\]

Современная статья предоставляет целую экстремаль и продолжение ряда. Отождествление этого значения с константой сферического Фавара требует описанных переходов; оно относится к нашему рабочему выводу.

То же число имеет положительную интегральную запись:

\[
F_{1,3}=\frac B\pi\int_0^\infty\frac{du}{H(iu)}.
\]

Вещественные нули описывают чередование знаков; при мнимом аргументе произведение по этим нулям становится положительным. Поэтому интегральная формула удобна для оценок. Её самостоятельный вывод непосредственно из круговых полиномов обсуждается в заключительной главе.

Мост позволяет получить и оценку для каждой степени. Зональную функцию \(f\) продолжаем чётно и периодически, затем в трёхмерном евклидовом пространстве рассматриваем радиальную функцию \(v(r)=f(r)\sin r/r\). Сферическая гармоника степени \(k\) превращается в частоту радиуса \(k+1\). Прямое дифференцирование даёт

\[
-\Delta_{\mathbb R^3}v(r)
=\frac{\sin r}{r}(L+1)f(r).
\]

Евклидов остаток обращения имеет интегральную норму \(F_{1,3}/a^2\) при частотном масштабе \(a\). Отсюда следует \(E_n\le F_{1,3}/((n+1)^2-F_{1,3})\). Отдельная аналитическая оценка \(F_{1,3}<3\) позволяет упростить знаменатель до \(n^2\). Получаем

\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_p\le\frac{F_{1,3}}{n^2}\|Lf\|_p,
\qquad n\ge1,\quad1\le p\le\infty,}
\]

для функций без гармоник степеней меньше \(n\), сначала гладких. Здесь общий коэффициент не зависит от степени; точная асимптотика показывает, что в равномерной норме уменьшить его нельзя. Точность в интегральной норме остаётся отдельным вопросом.

Формула продолжает знакомую линию: на окружности возникает \(\pi^2/8\), в разобранной нами задаче на \(S^2\) — \(\tfrac74\zeta(3)\), на \(S^3\) — ряд по экстремальным нулям. Геометрия сетки усложняется, а принцип Фавара сохраняется: сначала найти правильный знак, затем вычислить на нём действие обратного оператора.

Нужно еще проверить нормировки и вспомогательные оценки. Однако устройство результата уже можно объяснить: нормовая задача выбирает предельную форму, функция Грина превращает её в константу Фавара. Следующий вопрос — как пройти этот путь непосредственно на сфере. Ему посвящена заключительная глава.

S^3 VI Final

 # Когда две константы встречаются на сфере

*Фавар на сфере S³. VI. Прямой путь и заключительный аккорд*

У двух задач могут быть разные вопросы и один ответ в виде функции. Одна задача спрашивает: какой полином имеет наименьшую интегральную норму при заданной нормировке? Другая: насколько велика функция, если известна величина её лапласиана и удалены низкие гармоники? В нашем случае эти вопросы встречаются на трёхмерной сфере. Их связывает общий рисунок перемен знака — сигнатура.

В этой заключительной заметке мы опишем встречу, не воспроизводя матричных вычислений. Все обозначения введём заново: её можно читать отдельно от остальных частей цикла.

## Один знак для двух задач

Сфера \(S^3\) — множество единичных векторов в четырёхмерном пространстве. На ней действует положительный оператор \(L=-\Delta_{S^3}\). Его собственные функции, сферические гармоники, играют роль синусов и косинусов. Гармонике степени \(k\) соответствует собственное значение \(k(k+2)\).

Пусть у функции \(f\) отсутствуют гармоники степеней \(0,\ldots,n-1\). Неравенство Фавара связывает норму \(f\) с нормой \(Lf\). Естественный масштаб коэффициента — \(n^{-2}\): лапласиан усиливает высокие частоты примерно в квадрат их номера. Но спектр сам по себе не определяет точный коэффициент в равномерной или интегральной норме.

Обращение лапласиана задаётся функцией Грина. Обозначим через \(E_n\) наименьшую интегральную ошибку её приближения сферическими полиномами степени меньше \(n\). Именно это число даёт оценку Фавара; в равномерной норме оно является точной нормой обратного оператора на пространстве без низких гармоник.

Чтобы найти наилучшее приближение, нужно определить знак его ошибки. Для зональных функций, зависящих только от расстояния до полюса, возникает одномерный вес \(\sqrt{1-x^2}\), где \(x\) — косинус этого расстояния. Искомый знак должен быть ортогонален всем полиномам степени меньше \(n\).

Такой знак выбирает другая, нормовая задача: среди полиномов степени \(n\) с фиксированным старшим коэффициентом найти полином наименьшей взвешенной интегральной нормы. Если изменить его на полином меньшей степени, первая вариация нормы должна исчезнуть. Это и даёт нужную ортогональность знака.

Теперь интерполируем функцию Грина в найденных корнях. Особое интегральное представление её остатка показывает, что остаток имеет тот же знак. Поэтому нормовая задача действительно выбирает сигнатуру для Фавара. Здесь находится содержательная связь: совпадение проверяется свойством конкретного ядра.

При чётной степени \(n=2m\) симметрия позволяет перейти к углу \(t=2\theta\). Сферическая задача становится круговой: найти косинус-полином \(P_m\) степени не выше \(m\), для которого \(P_m(0)=1\) и

\[
\ell_m=\int_0^\pi |P_m(t)|\,dt
\quad\text{минимально}.
\]

Это конечномерная нормовая задача типа Ахиезера—Крейна. Нормировка в точке появляется после преобразования; подменять ею исходную сферическую нормировку без учёта веса нельзя.

## Остаться на сфере и увидеть предел

Прямой путь начинается с этих конечных полиномов. Их узлы разделяются на две чередующиеся группы; каждой группе соответствует свой множитель. Моментные условия превращаются в дифференциальное тождество, затем — в уравнение для множителя. В подходящем базисе получается трёхдиагональная матрица.

Матрица ещё не решает задачу целиком. Нужно выбрать собственную ветвь и проверить дополнительное фазовое условие. Они выделяют именно экстремальный полином. Поэтому мы можем вычислять узлы, даже не имея для них простой явной формулы.

Здесь существенна генеалогия идей. Схема Ахиезера—Крейна связывает минимизацию нормы с двойственным функционалом. Представления Геронимуса и метод Бабенко дают язык чередующихся узлов и половинных множителей; эта конструкция уже есть в записке Бабенко 2019 года. Современная работа Бондаренко, Ортеги-Серды, Радченко и Сейпа о функции Хёрмандера—Бернхардссона подсказала дифференциальный и спектральный механизм: от моментных условий к уравнению и дополнительному условию на решение.

В прямом сферическом выводе мы используем эти идеи, но не переносим готовую теорему о нормовой экстремали с прямой. Конечные полиномы строятся на окружности, возникающей из сферы. Логическая самостоятельность вывода вполне совместима с благодарностью за подсказавшие его методы.

Чтобы увидеть устойчивый рисунок возле полюса, увеличим его окрестность в \(m+1\) раз. В рабочем доказательстве получены пределы

\[
B=\lim_{m\to\infty}(m+1)\ell_m,
\qquad
H(u)=\lim_{m\to\infty}P_m\!\left(\frac{u}{m+1}\right).
\]

\(H\) — предельный профиль экстремальных полиномов, нормированный условием \(H(0)=1\). Его вещественные нули описывают узлы; на мнимой оси он положителен. Причина проста: вещественные корни при мнимом аргументе дают положительные множители в произведении.

Вместо трудной знакопеременной суммы по узлам появляется точная положительная формула:

\[
E_{2m}=\frac{\ell_m}{4\pi}
\int_0^\infty\frac{d\eta}{P_m(i\eta)}.
\]

Она позволяет контролировать весь интеграл одной оценкой, не отслеживая каждый дальний корень. После изменения масштаба получаем главный результат:

\[
\boxed{\displaystyle
\lim_{n\to\infty}n^2E_n=F_{1,3}
=\frac{B}{\pi}\int_0^\infty\frac{du}{H(iu)}.}
\]

Нечётные степени включаются посредством монотонности ошибок приближения. Численно \(B\approx2{,}903887\), а \(F_{1,3}\approx2{,}850999\). Это два функционала одной экстремали: её нормовый масштаб и её действие на ядро Грина.

## Простая оценка и открытый финал

Точная экстремаль сложна, однако её рост на мнимой оси допускает сравнение с простым полиномом Фейера. В пределе оно принимает вид

\[
H(iu)\ge
\left(\frac{\sinh(u/2)}{u/2}\right)^2.
\]

Обратный интеграл для правой части равен \(\pi^2/3\). Конечная версия сравнения даёт явное неравенство Фавара для всех степеней:

\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_p\le\frac{\pi^2}{3n^2}\,\|Lf\|_p,
\qquad n\ge1,\quad1\le p\le\infty,}
\]

если у \(f\) отсутствуют гармоники степеней меньше \(n\). Достаточно сначала рассматривать гладкие функции; дальнейшее расширение относится к соответствующей области определения лапласиана.

Коэффициент \(\pi^2/3\approx3{,}289868\) примерно на 15,4 процента выше предельного \(F_{1,3}\). Оценка проста, имеет правильный порядок и охватывает все степени. Она выражает тот же принцип Фавара, что и классическая оценка на окружности: удаление медленных колебаний позволяет восстановить функцию по производной с малым коэффициентом. На сфере роль второй производной играет лапласиан.

Полином Фейера здесь особенно уместен. Он не является искомой экстремалью: для точной сигнатуры нужно чередование знаков. Но его простой положительный профиль даёт контроль сложной экстремали. Знакомый объект остаётся полезным и там, где он перестаёт быть точным ответом.

Что ещё требуется? Прямой круговой вывод пока не доказывает оценку \(E_n\le F_{1,3}/n^2\) при каждой конечной степени. Из точной асимптотики такое утверждение автоматически не следует. Нужно сравнить конечные интегралы с предельным — либо получить явно указанную небольшую поправку.

Есть и различие метрик. Для ошибки ядра и равномерной нормы коэффициент \(F_{1,3}\) асимптотически точен: любой общий коэффициент при \(n^{-2}\) не может быть меньше него. В интегральной норме получена верхняя оценка; совпадение с точной ограниченной операторной нормой требует отдельного доказательства. Запись предельного числа через регуляризованный ряд по узлам также нуждается в самостоятельном обосновании.
 

 Доказательную часть следует проверить целиком: согласовать нормировки и развернуть вспомогательные оценки. Эта глава объясняет устройство рабочего результата, а подробную проверку оставляет вашей модели.

И всё же место встречи уже видно. Задача Ахиезера—Крейна выбирает форму; задача Фавара измеряет действие лапласиана на этой форме. Между ними стоит одна сигнатура. В этом и состоит заключительный аккорд: два разных вопроса становятся понятнее, когда удаётся расслышать их общий рисунок.

---

*Об источниках метода.* А. Г. Бабенко, **Signum Function**, записка от 2 июля 2019 года, §§3.1–3.2; L. Hörmander, B. Bernhardsson, **An extension of Bohr’s inequality** (1993); A. Bondarenko, J. Ortega-Cerdà, D. Radchenko, K. Seip, **The Hörmander–Bernhardsson extremal function**, [arXiv:2504.05205v2](https://arxiv.org/abs/2504.05205v2). Современная статья служит источником метода, а сферические формулы относятся к нашему рабочему выводу.

Майкл Харрис негодует

 

На философской конференции под названием «Математическое доказательство в эпоху ИИ», в которой я сейчас участвую, промелькнуло предположение, что OpenAI опубликовала свои «722 рукописи, сгруппированные в 372 семейства» прямо накануне конференции именно для того, чтобы посеять сумятицу в умах собравшихся философов и математиков. Впрочем, от этой гипотезы быстро отказались. Тем не менее, как нетрудно догадаться, избежать обсуждения содержимого репозитория на GitHub и его «влияния на использование искусственного интеллекта в математических исследованиях» (если цитировать подзаголовок конференции) было невозможно. Здесь все быстро сошлись во мнении со сдержанной оценкой из статьи в The New York Times: хотя в OpenAI и заявили, что «опирались на рекомендации [Консультативной группы по математике и искусственному интеллекту] и публичные отзывы при принятии решений о публикации этих результатов»,

OpenAI… судя по всему, гораздо меньше заинтересована в ключевой рекомендации консультативного совета — о том, что ИИ-компаниям следует прекратить тестирование своих проприетарных моделей на сложных математических задачах. «Мы хотим заявить с самого начала и со всей определенностью: мы не одобряем подобную практику», — написал совет 29 сентября.

Это лишь очередной эпизод в длинной череде недомолвок и нарушенных обещаний, начиная с самого названия компании, из-за которых имя OpenAI стало синонимом лицемерия.

Наблюдая за тем, как OpenAI разграбляет общее достояние математического сообщества, находясь на норвежском побережье, трудно не вспомнить набеги викингов на Линдисфарн и другие точки на побережьях Британии и Франции. Следующую фразу из препринта на arXiv можно было бы повторить десятки, если не сотни раз:

Этот результат также содержится в статье… опубликованной OpenAI 6 октября 2026 года, в которой стратегия доказательства и конкретные обозначения идентичны предварительной версии настоящей статьи, загруженной в ChatGPT 8 сентября 2026 года.

Моя собственная статья, написанная совместно с Чуботару, была использована в публикации, где заявлялось доказательство усиления нашего основного результата — а также основного результата совместной работы с Гайцгори и Лаффоргом, о котором объявлялось в докладе Сэма Раскина на Международном конгрессе математиков (ICM). Работа Раскина даже не была процитирована, а наша с Чуботару статья упоминалась в версии с arXiv. Все, что читателям нужно знать об этом: мы с Чуботару выложили наш препринт на arXiv под некоммерческой лицензией Creative Commons, как и авторы по меньшей мере 88 других статей, процитированных в репозитории OpenAI. Поскольку эти работы использовались для обучения коммерческих моделей OpenAI и цитировались в этом массовом сбросе статей, послужившем фоном для продолжающейся маркетинговой кампании OpenAI, я утверждаю, что компания нарушила наши авторские права.

Но это далеко не самый вопиющий проступок OpenAI. Две короткие реплики, только что опубликованные на сайте Proofs and Prompts, точно указывают на характер деструктивного влияния OpenAI на мировую математику:

Я не желаю участвовать в том, что в ряде случаев сводится к бесплатной рекламе и бесплатному рецензированию для OpenAI, способствуя распространению ложного нарратива о том, что эта компания якобы активно сотрудничает с математическим сообществом. Вторая причина заключается в том, что, организуясь подобным образом и в таких масштабах, мы негласно принимаем новое разделение труда: процесс производства доказательств может полностью оторваться от какого-либо понимания этих доказательств, а само это обесчеловеченное производство всё сильнее привязывается к гонке вычислительных мощностей.

(Александр Мартен)

Они могут попросту публиковать пачки статей объемом более 100 страниц, заявляя, что решили ту или иную задачу, причем зачастую с избыточными аргументами, невнятной логической структурой, множеством тупиковых ходов и странной или тревожной терминологией — иными словами, слоп [низкопробный мусорный контент]. А от нас ждут, что мы будем всё это разбирать, проверять, вычищать, упрощать и объяснять, что там вообще происходит.

Нам это обходится колоссальными затратами времени и сил, в то время как они могут просто двигаться дальше и своим слоп-бульдозером укатывать следующую гипотезу. И, разумеется, все лавры достанутся им. В каком-то смысле мы добровольно приближаем собственный конец.

Я считаю, что парадигма должна измениться. Мы должны предъявлять к математическим заявлениям, сгенерированным ИИ, те же стандарты строгости, ясности и изложения, которых мы требуем от статей, написанных людьми. Хотите одобрения математического сообщества? Знак признания? Тогда дайте нам то, что действительно можно прочесть и проверить. Если нет — мы должны это просто игнорировать.

Иными словами, я не считаю, что мы как сообщество должны тратить свое время на уборку за ними, лишь бы увеличивать чьи-то коммерческие доходы.

(Энрико Фатигенти)

Другими словами, OpenAI ожидает, что математическое сообщество отложит свои собственные приоритеты и посвятит время и силы проверке и разъяснению 722 статей OpenAI, тем самым низводя математиков по отношению к бигтеху до роли «механических турков» — сценарий, который я предсказывал чуть больше года назад.

Даже простое чтение статей OpenAI по моей специальности в поисках полезных новых идей, без каких-либо обязательств по доработке их аргументов или исправлению ошибок, означало бы согласие «занять отведенное мне место механического турка», как я писал в прошлом году. Оплата подобных услуг не сделала бы это более приемлемым — скорее наоборот. Как я написал вчера в ответ на вопрос журналиста:

Математик, который повел бы себя подобным образом [то есть как OpenAI], стал бы персоной нон грата в сообществе. Так почему уважающие себя специалисты должны помогать им оттачивать результаты или вообще хоть как-то ассоциироваться с ними?

С другой стороны, стратегия простого игнорирования этих статей, предложенная Энрико Фатигенти, не может быть жизнеспособным решением на индивидуальном уровне. Многие отклики, опубликованные на Proofs and Prompts и других площадках, призывают к коллективному ответу. Сможет ли математическое сообщество сплотиться ради такого ответа и какую форму он примет — покажет время.

=================================

Гнев Майкла понятен. Но что он может сделать? запретить???  - запретить делать математику? или запретить ее читать? или не обращать внимание? - ну так он повторяет путь скандального Крамника, чемпиона - когда он не смог играть с детьми он объявил их читерами и кое-кто погиб. Сделал дело - гуляй смело. вот принцип для тех кому за 50. От почитаемых Бурбаков, между прочим.