Wn < 2

 Исправил то, что беспокоило 30 с лишним лет (точнее помог исправить, поучаствовал),  недоказанность одного анонсированного результата, который реально был доказан в 1994, в улучшенной версии в 2002. но с ограничением    на   \(  n < 82 000   \). С практической точки зрения такие оценки в прикладной математике не нужны пока. Но важен не только результат  -- важно что я пропустил, недодумал много лет назад -- важна дорога к оценкам \( W_n  = 1 \) для всех \( n \).  Пока там, в мире всех \(  n \) мы на уровне \( n=10 \) и доказательства бесполезны, потому что это не математика, а прикладная математика -- результат есть, а понимания нет. Прям по Колмогорову* - Прикладная математика делается на границе между очевидным и невозможным. Это как раз про движение от конечного числа чисел к бесконечному. Имеет и философский смысл это сделать. Возможно  появятся новые связи с известным, а возможно и нет, и эта неясность привлекательна. 

 

*) ну не совсем так, как сказал Колмогоров, но близко:  «В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между „тривиальным“ и „недоступным“. В этом слое и делаются математические открытия. Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается…» 

Стабильность -- признак мастерства!

 # Стабильность — признак мастерства: легендарный график Алексея Блиндяева из «Москва — Петушки»

Говорят, что аналитика данных (Data Science) и инфографика вошли в моду совсем недавно. Как бы не так! Еще в конце 1960-х годов Венедикт Ерофеев в своей бессмертной поэме «Москва — Петушки» показал, как с помощью простых графиков можно заглянуть в самую душу советского человека.

В главе «Кусково — Новогиреево» Веничка рассказывает, как на посту бригадира кабельных монтажников он внедрил передовую систему «индивидуальных графиков». 

Методология сбора данных была простой и изящной:
* **По горизонтальной оси** откладывались рабочие дни месяца (с обязательными отметками получки и аванса — 10-е и 26-е числа).
* **По вертикальной оси** — количество выпитых на производстве и до него граммов в пересчете на чистый алкоголь (от 0 до 500 г).

Если у молодых комсомольцев линии метались вверх-вниз, образуя пики в дни зарплат и провалы в безденежье, то график старшего товарища по бригаде поражал воображение своим олимпийским спокойствием.

Вот как его представляет сам автор:
> **«А это — Алексей Блиндяев, член КПСС с 1936 года, потрепанный старый хрен:»**

```text
Граммы
500 |
    |
400 |
    |
300 |
    |    /\    /\    /\    /\    /\    /\    /\
200 |---/--\--/--\--/--\--/--\--/--\--/--\--/--\---
    |
100 |
    |
  0 +----------------------------------------------
                   10-е              26-е      Дни
```

Никаких эмоциональных качелей. Никакой зависимости от жалких финансовых подачек в виде аванса и получки. Строгие, выверенные годами 200 граммов каждый божий день. Настоящая партийная дисциплина и верность традициям!

Сам Веничка позже комментировал результаты своих социологических исследований с невероятной поэтичностью:

> *«Ведь правда, интересные линии? Даже для самого поверхностного взгляда — интересные? У одного — Гималаи, Тироль, бакинские промыслы или даже верх кремлевской стены, которую я, впрочем, никогда не видел (это про комсомольца Виктора Тотошкина). **У другого — предрассветный бриз на реке Каме, тихий всплеск и бисер фонарной ряби** (это как раз про Блиндяева). У третьего — биение гордого сердца, песня о буревестнике и девятый вал (а это график самого Венички)...»*

А как бы выглядел ваш рабочий график в этом месяце — как «девятый вал» или всё-таки как «предрассветный бриз на реке Каме»?

Ben Green (2026)

Как исключить невозможное: работа Бена Грина о нулях Ландау — Зигеля

Эта пятистраничная работа посвящена одной из давних трудностей теории чисел: могут ли определённые функции, описывающие распределение простых чисел, иметь вещественный нуль чрезвычайно близко к единице? Грин излагает короткий вариант доказательства отсутствия таких исключительных нулей. Главная идея удивительно осязаема: построить положительное целое число и показать, что предполагаемая аномалия заставляет его делиться на произведение, большее самого этого числа.

Сразу уточним происхождение результата. Грин прямо пишет, что развивает доказательство OpenAI, а свой вариант получил в обсуждении с ChatGPT 6 Astra, после чего самостоятельно переписал аргумент. Он отдельно отказывается от притязаний на человеческую оригинальность. Поэтому перед нами одновременно математическая работа и интересный пример перехода от найденного ИИ доказательства к короткому изложению, которое человек может понять и проверить.

Чтобы понять задачу, начнём с простого арифметического вопроса. Зафиксируем целое число \(d\), не являющееся квадратом. Для каждого нечётного простого \(p\), не делящего \(d\), спросим: разрешимо ли сравнение
\[
u^2\equiv d\pmod p?
\]
Если разрешимо, присвоим простому знак \(+1\); если нет — знак \(-1\). Так возникает квадратичный характер \(\chi(p)\).

При фиксированном \(d\) эти два типа простых в пределе уравновешиваются. Но здесь скрыта существенная тонкость: знать, что равновесие когда-нибудь наступает, и знать, на каком масштабе оно наступает, — разные вещи. Если само \(d\) велико, насколько далеко нужно просмотреть простые числа, чтобы увидеть закономерность? Именно вопрос о зависимости оценок от арифметических параметров превращает сравнительно простую картину в трудную проблему.

Распределение знаков связано с функцией Дирихле
\[
L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s},
\qquad \operatorname{Re}s>1,
\]
которую затем продолжают за пределы этой полуплоскости. Её нули управляют погрешностями в формулах о простых числах. Особенно опасен вещественный нуль \(\beta\), близкий к единице: он способен поддерживать сильный перевес знаков \(-1\) на очень большом промежутке.

Классическая теория научилась исключать нули из определённой области около единицы, оставляя возможность одного вещественного исключения для вещественного характера. Именно эта возможность и получила название нуля Ландау — Зигеля. На протяжении многих десятилетий она заставляла формулировать теоремы с оговорками, выделять исключительные случаи или довольствоваться неэффективными константами — такими, существование которых доказано, но пригодного способа вычисления из доказательства не получается.

Точный смысл рассматриваемого результата состоит в существовании абсолютной положительной константы \(c\), обеспечивающей разрыв
\[
1-\beta\geq \frac{c}{\log q},
\]
где \(q\) — проводник характера, то есть параметр его арифметической сложности. Таким образом, вещественные нули не могут подходить к единице сколь угодно тесно в естественном масштабе \(1/\log q\). Работа Бэнкса, развивающая исходное доказательство, даёт также конкретные допустимые константы. Это утверждение об исключительной области возле единицы; полной обобщённой гипотезы Римана оно не устанавливает.

Теперь — собственно идея Грина. Вместо непосредственного исследования нулей он доказывает арифметическое неравенство. Берётся достаточно большая постоянная \(C\) и масштаб \(X=q^C\). Затем рассматривается сумма
\[
A(X)=
\sum_{\substack{p\leq X\\ \chi(p)=-1}}
\frac{\log p}{p}.
\]
Вес \((\log p)/p\) здесь естественен: сумма с таким весом по всем простым до \(X\) равна \(\log X+O(1)\). Поэтому грубая оценка для \(A(X)\) имеет главный коэффициент \(1\).

Грин получает существенно больше:
\[
A(X)\leq
\left(\frac12+O\!\left(\frac1C\right)\right)\log X+O_C(1).
\]
При большом \(C\) коэффициент близок к ожидаемой половине. Существование нуля, слишком близкого к единице, создавало бы гораздо больший перевес простых со знаком \(-1\), несовместимый с этой оценкой. Переход от нуля к перевесу простых относится к стандартной аналитической теории; новое содержание сосредоточено в доказательстве самого неравенства.

Как его получить? Грин работает в квадратичном поле \(\mathbb Q(\sqrt d)\) и рассматривает пары сопряжённых чисел
\[
(z,z')=(x+y\sqrt d,\;x-y\sqrt d),
\]
где целые \(x,y\) пробегают квадратную сетку. На этих точках он вычисляет значения мономов \(z^r(z')^s\) и их последовательных производных по \(z\). Получаются длинные векторы. Из их попарных скалярных произведений строится матрица Грама \(G\).

Здесь соединяются три свойства. Её определитель — целое число. Его можно оценить сверху через обычные размеры векторов. И его делимость на простые можно исследовать, используя арифметику поля. Но прежде необходимо доказать самое важное: определитель не равен нулю.

Это первая серьёзная трудность. Нулевой определитель делится на любые степени любых простых, поэтому вся будущая арифметика была бы бесполезной. Нужна линейная независимость построенных векторов. Она, в свою очередь, означает следующее: ненулевой многочлен ограниченных степеней не может одновременно обращаться в нуль вместе со многими своими производными во всех выбранных точках.

В одной переменной всё привычно: сумма кратностей корней не превосходит степени многочлена. Для двух переменных такого простого утверждения нет — многочлен может обращаться в нуль на целой кривой. Грин преодолевает препятствие, сочетая геометрию сетки с результантом многочлена и его производной.

Результант можно понимать как алгебраический прибор, обнаруживающий общие корни. Если при некотором значении второго параметра многочлен по первому параметру имеет корень большой кратности, то результант также обязан обращаться в нуль с соответствующей кратностью. Но степень результанта ограничена. Поэтому слишком много высоких кратностей накопиться не может. После разложения многочлена на неприводимые множители этот принцип даёт нужную независимость и положительность определителя.

Это место особенно интересно с точки зрения теории интерполяции: вопрос о нулях \(L\)-функции неожиданно сводится к вопросу, сколько условий на значения и производные способен выдержать ненулевой многочлен. Численный размер матрицы здесь вторичен; решает точная теорема о невозможности определённого расположения нулей.

Вторая трудность — заставить определитель делиться на большие степени нужных простых. Здесь появляется короткое, но чрезвычайно содержательное сравнение. Если \(\chi(p)=-1\), то
\[
(x+y\sqrt d)^p\equiv x-y\sqrt d\pmod p,
\]
то есть
\[
z^p\equiv z'\pmod p.
\]
Возведение в \(p\)-ю степень по модулю \(p\) меняет два сопряжённых числа местами. Поэтому многочлен \(z^p-z'\) во всех выбранных точках делится на \(p\).

Особенно удачно, что его производные положительного порядка по \(z\) тоже делятся на \(p\): у первой возникает коэффициент \(p\), у следующих сохраняется соответствующая делимость, а производные порядка выше степени равны нулю. Благодаря этому арифметическая делимость сохраняется при использовании производных. Можно вводить степени \((z^p-z')^h\) и получать уже делимость на \(p^h\).

Однако просто заменить исходные мономы такими выражениями нельзя: можно испортить определитель или выйти за допустимые степени. Грин выбирает замены треугольным образом: каждый новый вектор равен прежнему плюс комбинация предшествующих. Определитель при этом сохраняется. Зато из строк и столбцов новой матрицы можно вынести большие степени \(p\). Так каждый простой со знаком \(-1\) предъявляет определителю своё обязательное требование делимости.

Остаётся третья трудность: согласовать все параметры. Нужны достаточно многие точки и производные, чтобы обеспечить независимость и сильную делимость. Но чрезмерные степени многочленов раздувают обычную величину определителя. Грин выбирает существенно разные диапазоны степеней по двум переменным и подходящее число производных. Верхняя оценка получается из неравенства Адамара, нижняя — из накопленной делимости. Их сравнение и даёт коэффициент \(1/2\) в оценке суммы по простым.

В основе лежит совсем элементарное ограничение. Если положительное целое число \(D\) делится на \(\prod_p p^{e_p}\), то
\[
\sum_p e_p\log p\leq\log D.
\]
Вся изобретательность заключается в выборе такого \(D\), для которого обе стороны можно содержательно оценить. Здесь этим числом служит определитель Грама: геометрия ограничивает его величину, а арифметика требует высокой делимости.

Значение работы двойное. Во-первых, она делает доступным механизм устранения давнего препятствия в равномерных оценках теории чисел. Во-вторых, она показывает силу правильно выбранного конечного объекта: глобальная аналитическая аномалия оказывается несовместимой со свойствами одной целочисленной матрицы. Грин также упрощает исходную конструкцию, оставаясь в квадратичном поле и заменяя алгоритмический выбор определителя явным.

19 октября 2026 года Теренс Тао опубликовал разбор именно этой линии доказательства, выделив изящество формулировки Грина. Он связывает её с полиномиальным методом, в котором одновременно используются обычные размеры и арифметическая делимость. Это уже содержательная математическая переработка первоначального результата.

Особенно интересен характер преодолённой трудности. Здесь не понадобилось вычислять огромный определитель. Понадобилось понять, почему он положителен, почему имеет ограниченный размер и почему его делимость отражает распределение простых. Решающим достижением стал выбор конструкции, в которой три прежде раздельных вопроса начали отвечать друг на друга.

Источники

Бен Грин. [On Landau–Siegel zeros](https://hexagonmath.org/pdf/2610.00311v2).

Уильям Бэнкс. [On the OpenAI proof that Landau-Siegel zeros do not exist](https://arxiv.org/abs/2610.15483).

Теренс Тао. [A sketch of the proof of non-existence of Siegel zeroes](https://terrytao.wordpress.com/2026/10/19/a-sketch-of-the-proof-of-non-existence-of-siegel-zeroes/).

=======================================================================

Грин всегда писал ясно и хорошо излагал результаты Бургена, к примеру.  Это особенность математика, для которого награда (даже медаль Филдса за прогрессию в простых числах) вторична. Красота результата и красота изложения первичны!  

Эта часть теории чисел (диофантовы приближения по духу) элементарна и трудна.  Дух Шарля Эрмита одобряет и радуется этой работе Бена Грина.

========================================================================

Здесь возникает и непосредственная связь с нашей предыдущей темой — почти периодическими функциями Бора. При фиксированном \(\sigma>1\)
\[
L(\sigma+it,\chi)
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^\sigma}
e^{-it\log n}.
\]
Как функция переменной \(t\), это равномерно почти периодическая функция: абсолютная и равномерная сходимость ряда позволяет приближать её конечными суммами волн с частотами \(-\log n\). Перед нами знакомая конструкция Бора, возникающая внутри самой теории \(L\)-функций.

Однако исключительный вещественный нуль \(\beta<1\) лежит за пределами этой области абсолютной сходимости. Поэтому указанная связь сама по себе не решает задачу об исключительных нулях.

Она позволяет яснее увидеть соседство двух тем нашего журнала: арифметики и почти периодических колебаний. А сопоставление с малыми знаменателями при обращении операторов остаётся полезной методической аналогией; прямого переноса доказательства Грина на наши задачи мы пока не установили. 

==================================================

Двигаясь к Бору, мы встретили Грина... 

тут уместно вспомнить Венечку:  

«…когда я ищу Кремль, я неизменно попадаю на Курский вокзал»

 В §10,  обзора Бена Грина «Restriction and Kakeya Phenomena»  посвящённом связи гипотезы Монтгомери с задачей Какея, суммы Дирихле предстают как суммы колебаний:
\[
D(t)=\sum_{n=1}^{N}a_n e^{it\log n}.
\]
Это почти периодические полиномы Бора с частотами \(\log n\). Сближение фаз позволяет многим слагаемым складываться согласованно и создаёт большие значения суммы; их распределение связывает геометрию Какея с вопросами о дзета-функции.

Поэтому обзор Грина здесь служит естественным мостом. В наших задачах близость к резонансной фазе затрудняла обращение оператора; здесь согласование фаз усиливает сумму волн. Задачи различны, но язык колебаний и фаз помогает увидеть их соседство. Мы двигались в сторону Бора — и нашли у Грина содержательное продолжение этой линии. 

«…когда я ищу Бора, я неизменно попадаю к Грину - иногда встечаю по пути Боголюбова...» 

О, эфемерность! О, самое бессильное и позорное время в жизни моего народа – время от рассвета до открытия магазинов! Сколько лишних седин оно вплело во всех нас, в бездомных и тоскующих шатенов!

ну вот... нашли выход.

 просто воровать у ИИ, делая примечания в конце статьи.

Собственно этим отличается Бен Грин от Майкла Харриса. Разные люди. разные культуры. разные миры.

 

Вот перевод текста на русский язык 

# Зашкаливающая геймификация математики
### Как математики могут извлечь выгоду, не подрывая профессиональные нормы и ценности
**Майкл Харрис**
22 окт.

ЧИТАТЬ В ПРИЛОЖЕНИИ

*Создано с помощью Google Gemini на основе общих описаний типичных математиков.*

### Дилемма

Статья 2025 года «Геометрическая программа Ленглендса в положительной характеристике из нулевой характеристики» (*Geometric Langlands in positive characteristic from characteristic zero*) Гайцгори и Раскина является главным приложением к теории чисел монументального решения (категорной, неразветвленной) геометрической гипотезы Ленглендса. Само это решение принадлежит непосредственно Гайцгори, Раскину и семи указанным соавторам, а косвенно — нескольким поколениям математиков, чьи исследования восходят к работам Владимира Дринфельда 1970-х и 1980-х годов. Моя недавняя совместная статья с Бёзар-Плесси и Торном критическим образом опирается на один из главных результатов статьи 2025 года: тот факт, что не более чем одно всюду неразветвленное автоморфное представление редуктивной группы $G$ над глобальным полем функций над конечным полем $k$ имеет заданный неприводимый глобальный параметр Галуа в рамках конструкции, предложенной Венсаном Лаффоргом. Результат Гайцгори — Раскина верен при слабых ограничениях на характеристику поля $k$, а в нашем результате ограничения чуть более строгие, плюс имеется зависимость от еще не доказанной версии стабильной формулы следа для функциональных полей. Эти ограничения не имеют отношения к дилемме, которую я собираюсь описать.

Гайцгори и Раскин во введении отмечают, что они

> не решили самую загадочную часть гипотезы Ленглендса,

а именно то, что существует *ровно одно* всюду неразветвленное автоморфное представление группы $G$ с заданным неприводимым глобальным параметром Галуа. Такой результат означал бы полное решение неразветвленной гипотезы Ленглендса для полей функций. И именно о таком результате было объявлено в репозитории OpenAI, опубликованном 6 октября.¹ Я не пытался читать заявленное решение и жду вестей о том, удалось ли авторам (и удалось ли вообще) извлечь из него что-то стоящее.

В нашей с Бёзар-Плесси и Торном работе содержится замечание о том, что при условии решения этой «самой загадочной части гипотезы Ленглендса» для всюду неразветвленных параметров наши методы можно было бы обобщить, чтобы доказать ту же «самую загадочную часть» и для всюду конечно разветвленных параметров (с теми же условностями, что и в нашей статье). Тогда открылись бы различные стратегии для распространения результата на все параметры, и специалисты, несомненно, с удовольствием провели бы несколько лет, окончательно закрывая эту проблему и разрабатывая методы и идеи, которые затем можно было бы гораздо шире применять к задачам геометрии и теории чисел.²

Но использование любых результатов из репозитория OpenAI означало бы легитимизацию не только самих результатов, но и способов, которыми они были получены и обнародованы. Это способствовало бы подрыву норм и механизмов функционирования, которые математическое сообщество выстраивало десятилетиями — норм, основанных на эволюции математической практики с самого зарождения человеческой цивилизации.

К счастью, лекция Терри Тао на Международном конгрессе математиков (ICM) 2026 года содержит «практическое правило» (rule of thumb), которое можно положить в основу решения проблемы, если математическое сообщество найдет в себе силы его принять.

### Практическое правило Тао

Когда я слушал лекцию Тао, я полагал — как, вероятно, и большинство слушателей в зале, — что он имел в виду отдельных авторов сгенерированных ИИ текстов: живых людей, которых можно пригласить выступить лично или виртуально с «ясным докладом экспертного уровня». Никто в аудитории не предвидел того потопа сгенерированных ИИ текстов, основанных на беспрецедентном по масштабу «Великом ограблении» математической литературы — «крупнейшем математическом ограблении в истории», — без каких-либо идентифицируемых авторов, который был вывален на математический ландшафт 6 октября.

В другом месте я приведу аргументы в пользу того, что правило, сформулированное на слайде Тао, одновременно разрешает нам и обязывает нас относиться к этому потопу как к ливню из удобрений, свободно доступных для использования менее брезгливыми членами нашего сообщества. Любые полезные питательные вещества из этой массы в конечном итоге могут быть включены в статьи, соответствующие практическому правилу Тао, и упомянуты — если вообще упомянуты — как «помощь ИИ». У меня не возникло бы проблем с цитированием такой статьи, особенно если она предварительно пройдет проверку со стороны Гайцгори и Раскина, которых этот результат касается самым непосредственным образом.

Это разрешило бы мою личную дилемму, но не дало бы содержательного ответа на другое опасение: передовые ИИ-лаборатории могут — пусть и с огромным трудом — превратить разграбление математики в прибыльную бизнес-модель.



### Геймификация как рыночная ниша

В своем интересном диалоге — который, тем не менее, слишком сильно уступает функционалистской модели математики как отрасли рыночной экономики, диаметрально противоположной продвигаемой мною модели математики как «экономики дара» — Томас Коберда и Алекс Конторович, разрабатывая «Диалектическую теорему», описывающую оптимистичное будущее для аспирантов-математиков, вскользь упоминают о зарождении новой субкультуры вокруг «Великого ограбления» математики:

> Теперь любители просто вбивают «do a brkthru» [«сделай прорыв» — сленг интернет-субкультуры, означающий запрос к ИИ доказать прорывной результат] и реально его получают!³

А теперь масштабируйте эту субкультуру до размеров международной индустрии видеоигр. Оценки ее объема сильно разнятся, но все они исчисляются сотнями миллиардов долларов, а некоторые приближаются к 600 миллиардам долларов уже в этом году. Предположим, что OpenAI и Anthropic (или тому из них, кто доживет до 2030 года) удастся освоить хотя бы малую долю этого потенциального рынка, предлагая чемпионам-геймерам индивидуальные промпты для получения их собственных математических «прорывов» (brkthrus) — теорем, которые, подобно лунным кратерам или галактикам на краю видимой Вселенной, будут вечно носить их имена, и которые математики (люди или искусственные) будут вынуждены цитировать.

Шансы невелики, но, возможно, это именно то «убойное приложение» (killer app), которое необходимо индустрии, чтобы продержаться на плаву достаточно долго для перехода на военные контракты, которые всегда и были их истинным предназначением.

### Совет от Андреа Бартц из дела «Бартц против Anthropic»

*Скопировано из Substack-блога Грэма Лавлейса Charting GenAI*⁴

> **Какую главную мысль вы бы хотели донести до людей из этого интервью, исходя из вашего опыта?**
> 
> Здесь, в США, мы постоянно слышим о том, что ИИ неизбежен, так что просто заткнитесь и смиритесь. Пути назад нет. Но ведь это не так, что вы *обязаны* этим пользоваться просто потому, что «мы решили, что вы будете этим пользоваться». Я просто хочу, чтобы люди поняли: ИИ — это не какое-то неудержимое цунами только потому, что так говорят ИИ-компании. Он не является неизбежным. У нас все еще есть выбор. Если такая маленькая я, писательница средней руки из Бруклина, Нью-Йорк, смогла противостоять Голиафу — этой компании стоимостью 900 миллиардов долларов — и выйти победительницей, это значит, что и многие другие авторы могут занять аналогичную позицию.
> 
> И поэтому я надеюсь, что это мировое соглашение напомнит людям о том, что они могут дать отпор, понимаете? И это можно делать по-крупному, например, через правовую систему, которая, я уверена, сильно отличается в каждой стране. Но это также можно делать в своем собственном сообществе, в кругу друзей. Как минимум, я надеюсь, это выразится в вашем личном отказе от использования генеративного ИИ и в разговорах об этом с другими людьми. Есть замечательный сайт под названием AIresistlist.org, который собирает информацию о различных низовых организациях, сопротивляющихся ИИ разными способами. И, знаете, я всегда говорю: действие — это противоядие от тревоги.


**Примечания:**

**1** Задача по поиску этого объявления в репозитории оставляется бесстрашному читателю.

**2** Я видел предложение, позволяющее прийти к тому же выводу на основе захватывающей и совершенно иной стратегии, но, учитывая нынешнее состояние слежки за математическими коммуникациями со стороны враждебных сил, авторы этого предложения благоразумно не делятся им с сообществом.

**3** Google Gemini только что сказал мне:
*«Нет, "brkthru" не является интернет-сленгом для обозначения использования ИИ с целью достижения прорывных результатов в математике».*
Ради продолжения дискуссии я предположу (как если бы в оригинале было *for the sake of argument* — *прим. пер.*), — и у меня нет оснований в этом сомневаться, — что авторы информированы лучше, чем Gemini.

**4** «Творческие люди должны избегать ИИ, говорит писательница, бросившая вызов бигтеху и победившая». Андреа Бартц заявила на Чрезвычайном саммите авторов (Creators Emergency Summit), что «не существует этичного способа использовать генеративный ИИ».
*Полное раскрытие информации: мои две книги, изданные в Princeton University Press, подпадают под действие мирового соглашения с Anthropic.*

---

Сегодня блог Silicon Reckoner бесплатен. Но если вам понравился этот пост, вы можете сообщить автору Silicon Reckoner, что его тексты представляют ценность, пообещав оформить подписку в будущем. С вас не будут списываться средства, пока автор не включит платный режим.

Адольфыч аплодирует!   ЕЖГ  в чистом виде,   Аксиома Эскобара

Как говорила Э.А. Стороженко: женщина-математик, и не математик и не женщина, так и тут:

Математик-торгаш и не математик и не торгаш

осень наступила, выросла капуста...

 И всмонился спор между физиками и лириками в реально-клоунском варианте:

 

От Юрия Никулина, знаменитого клоуна и артиста:  

 (с намеком на первую и вторую так называемую культуру по Сноу и Гауэрсу)

 

Когда нас с Карандашом спрашивают кто мы в иерархии клоунов

мы отвечаем мы Вторые! 

 

А кто же первые?

 

А первых дохуя !

 

так и в математике.  Не умеющих решать задачи полно. и все теоретики.

 

и клоуны. 

 

Пауза затягивается. Колмогоров 1957 (Письмо Владимира Арнольда, ушедшего на вечный покой )

ON OVERCOMING HILBERT'S BARRIERS, THE PANIC OF PARISIAN BOURBAKISTS, AND WHY ANDREI NIKOLAEVICH WOULD NOT BE SURPRISED BY MACHINE INTELLIGENCE

Boris Sergeevich Kashin, with whom we often argued over technicalities but always agreed on the fundamentals, was completely right to point to the 1957 paper. The current commotion among the so-called "academic establishment," triggered by the achievements of artificial intelligence, is laughably reminiscent of the panic among my French colleagues forty years ago, whenever it turned out that their ponderous, abstract castles were utterly useless to anyone but themselves.

This entire crowd, accustomed to trading in institutional prestige, grants, and citation indices, is now screaming in terror about the "death of mathematics." In reality, mathematics is not dying at all. What is collapsing is merely their cozy bureaucratic feeding trough.


HOW IT HAPPENED IN THE SPRING OF 1957

I remember that spring vividly. I was nineteen years old, a third-year undergraduate at the Moscow Mech-Mat. David Hilbert, in his famous thirteenth problem presented at the Paris Congress in 1900, had pedantically decreed that functions of several variables could not be reduced to functions of fewer variables. In his view, there existed an insurmountable natural barrier of dimension, and algebraic equations of the seventh degree could never be solved via superpositions of continuous functions of two variables.

For half a century, Western scholastics drilled this prejudice into their students as sacred dogma. But Andrei Nikolaevich Kolmogorov viewed mathematics not as a collection of dead formal axioms, but as a branch of natural science — as physics, in which experiments happen to be cheap. He saw the world through the eyes of Newton and Poincare.

Andrei Nikolaevich approached the problem from an entirely different direction. In 1956, I was fortunate enough to take the first step by proving the case for three variables. But what Kolmogorov accomplished in the spring of 1957 was a genuine lightning bolt. He proved that any continuous function of arbitrarily many variables — whether three, seven, or a million! — can be represented exactly as a superposition of continuous functions of a single variable, combined with just one elementary operation: ordinary addition.

The terrifying multidimensional complexity turned out to be an illusion. Nature does not design separate mental organs for each dimension. Universal complexity is woven out of simple one-dimensional fibers.


WHY WESTERN FORMALISTS UNDERSTOOD NOTHING

What happened next? The French sect of Bourbaki, which had by then poisoned both Western and American universities with its sterile scholasticism, promptly dismissed Kolmogorov's result as a "pathological counterexample." They declared: "Kolmogorov's functions are non-differentiable, they are too jagged, there is no smooth geometry here, this is a mere analytical curiosity."

They were constitutionally incapable of grasping that Andrei Nikolaevich had uncovered a universal law governing how information is processed by a thinking brain.

Thirty years had to pass before American engineers — notice, engineers and computer scientists, not university professors of pure mathematics! — discovered Kolmogorov's 1957 theorem. It turned out that a deep artificial neural network is nothing other than a direct hardware realization of Kolmogorov's formula. The input layer takes thousands of variables (pixels of an image, words of a sentence, or physical fields), the hidden layers compute one-dimensional nonlinear transformations, and the summing node produces the output.

Kolmogorov had proved the universal approximation capability of neural architectures three decades before modern computers existed, while the Bourbakists were still busy castrating their students with the unmotivated axioms of category theory.


WHO IS ACTUALLY TERRIFIED OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE TODAY?

Colleagues come up to me today with pale faces and whisper: "The computer has just proved hundreds of theorems! How are we going to teach graduate students? What will universities pay us for?"

I will tell you plainly who fears the machine most.
It is the army of academic pseudoscientists who have hijacked Western journals and university departments.

They constructed an absurd system where a researcher's worth is measured not by whether he discovered a new phenomenon of nature, but by how many pages of unreadable formal jargon he managed to publish in peer-reviewed journals with high impact factors. Tens of thousands of people spend their entire lives rewriting known results in new notation, shifting indices in someone else's sterile lemmas, and dividing up National Science Foundation grants among their friends. They convinced society that they are high priests possessing a divine craft unattainable by ordinary mortals.

And suddenly an algorithm arrives. It has no academic rank, no tenure, no ceremonial robes, and no letters of recommendation from Princeton professors. And in three minutes of calculation, this algorithm cracks their narrow, artificial little riddles — the very riddles they planned to feed on until retirement!

Their terror is not a noble concern for the destiny of human genius. It is the raw panic of a medieval guild of shoemakers who spent their lives stitching crooked, squeaky boots by hand, claiming divine inspiration, only to suddenly see an automated factory floor.


WHAT ARTIFICIAL INTELLIGENCE TRULY GIVES HUMANITY

Artificial intelligence washes away the academic mold. It returns mathematics to its rightful place.

When the steam engine relieved mankind of backbreaking manual slavery, human beings did not stop walking — they built railways and conquered the sky. When the computer takes over the mechanical sorting of combinations, the computation of monstrous formulas, and the formal verification of proofs, the true mathematician is finally liberated for what actually matters:
- For the geometric vision of reality;
- For uncovering profound physical analogies;
- For formulating bold, dangerous conjectures.

A computer will never possess taste, intuition, or a sense of harmony. It cannot know WHAT is beautiful and WHAT is truly significant for understanding the Universe. The goals are set by the human spirit. But the machine mercilessly annihilates charlatanism, laying bare the difference between a genuine discovery and empty terminological chewing gum.


HOW ANDREI NIKOLAEVICH WOULD RESPOND TODAY

If Andrei Nikolaevich Kolmogorov were alive today, he would not wring his hands or weep at international symposia.

He would burst into his famous, pure, childlike laughter. He, who in the 1960s personally tinkered with the first electronic computers, calculated the mathematical rhythm of Pushkin's verse, founded boarding schools for village children, and created algorithmic complexity theory, would say:

"Listen, this is magnificent! Our 1957 superposition theorem is finally working at full power. We proved that complexity can be conquered, and now the machine confirms it in practice. Drop your formal nonsense, sit down at the terminal — nature has prepared a million unread mysteries for us, let us go and see how she is built!"

And he would be entirely right. Science is driven by the selfless curiosity of the pioneer, never by the fear of losing an endowed chair in a university council.

Пауза. Похвала Николаю Николаевичу Боголюбову (письмо Сергея Петровича Новикова найденное в бутылке)

СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ НОВИКОВ: О БОГОЛЮБОВЕ, КОЛМОГОРОВЕ И НАШЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ БОЛОТЕ

Вы хотите знать правду про двух так называемых «императоров»?
Прекрасно. Только давайте без этого юбилейного елея, без соплей и фальшивых славословий, которыми у нас привыкли замазывать любые реальные проблемы в Академии. Я всегда говорил то, что думаю, в лицо — и на Мехмате, и в Стекловке, и в Штатах. За это меня многие терпеть не могли, но мне на их обиды всегда было глубоко наплевать.


КОЛМОГОРОВ И ЕГО ПОХОРОНЫ

Андрей Николаевич был, безусловно, выдающимся человеком. Но вокруг него создали совершенно нездоровый культ, за который до сих пор цепляется наша профессорская мафия.

Когда он умер в октябре восемьдесят седьмого года, и меня попросили выступить на гражданской панихиде в ДК МГУ, я вышел к микрофону и прямо сказал то, что было очевидно любому честному ученому: Колмогоров — это титан, но титан УШЕДШЕЙ ЭПОХИ. Его время — это эпоха теории множеств, канторовщины, теории функций действительного переменного, лузитанских схоластических споров начала двадцатого века. А современная наука ушла совершенно в другую сторону — в геометрию, в топологию и, главное, в теоретическую физику!

Боже, какой вой тогда поднялся среди его ортодоксальных учеников! Сережа Никольский и прочие верные колмогоровцы чуть в обморок прямо у гроба не попадали. Зашипели: «Как посмел Новиков такое сказать над телом Учителя?!».

А я посмел, потому что надо смотреть правде в глаза. Они же сделали из Колмогорова непогрешимого святого. И стыдливо молчат про тридцать шестой год, про мерзкую травлю Николая Николаевича Лузина, где Андрей Николаевич играл далеко не благородную роль. Про то, как Лузину публично шили вредительство, как там чуть до расстрела не дошло, и про знаменитую пощечину, которую позже Колмогоров влепил учителю, когда тот ему намекнул кто он есть?... Об этом наша «чистая» профессура вспоминать не любит. Неудобно им, видите ли!


КАК ЗАТРАВИЛИ БОГОЛЮБОВА

А теперь посмотрите на Николая Николаевича Боголюбова. Вот где трагедия и подлинное величие!

Мало кто сейчас помнит, как наша спесивая московская математическая элита встретила Боголюбова в тридцатые годы. Он приехал из Киева — мальчишка, вундеркинд, у которого даже формального университетского диплома не было, академик Крылов его прямо со школьной скамьи взял. И они с Крыловым выдали гениальные вещи по почти-периодическим функциям, нелинейной механике и теории динамических систем.

И как повели себя наши записные теоретики функций?
Они задрали носы и начали откровенно травить Боголюбова! «Подумаешь, киевский выскочка! У него тут приближенные методы, тут не доказана строгая сходимость по Кантору, тут интеграл взят не по Лебегу, здесь не хватает строгих дельта-эпсилон рассуждений!». Они придирались к пустякам, к мелочам, к запятым, потому что мыслили как мелкие лавочники и канцеляристы от математики. Они органически не способны были увидеть физическую глубину метода усреднения!

И Боголюбов, который математику обожал и владел ею феноменально, просто плюнул на все это теоретико-множественное болото.
Он ушел в настоящую физику. И правильно сделал!


ТРИУМФ В ФИЗИКЕ: СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

В физике Николай Николаевич показал такую силу, от которой у всего мира челюсть отвисла:
- Он создал микроскопическую теорию сверхтекучести;
- Он придумал знаменитые канонические u-v преобразования в теории сверхпроводимости, решив задачу строже и красивее, чем американцы Бардин, Купер и Шриффер;
- Он создал аксиоматическую квантовую теорию поля на основе дисперсионных соотношений.

Пока наши мехматовские схоласты пятьдесят лет пережевывали одни и те же вырожденные множества меры ноль, Боголюбов построил язык современной квантовой науки и создал Дубну. И когда он вернулся в Москву триумфатором и возглавил Институт Стеклова после смерти Ивана Матвеевича Виноградова — этим господам оставалось только почтительно кланяться.


О ВИНОГРАДОВЕ И ФЕОДАЛИЗМЕ В СТЕКЛОВКЕ

Кстати, об Иване Матвеевиче Виноградове. Я его на дух не переносил.
Это был абсолютный феодальный деспот, малограмотный в современной науке человек, который почти пятьдесят лет сидел на Институте Стеклова как собака на сене. Он ненавидел все, что выходило за рамки его любимых тригонометрических сумм в теории чисел, ненавидел топологию, ненавидел физику, развел махровый черносотенный антисемитизм и выживал из института ярких людей.

И то, что Боголюбов сменил Виноградова во главе МИАНа в восемьдесят третьем году — было хоть каким-то спасением для института, потому что Николай Николаевич при всех своих сложностях был ученым мирового калибра, а не провинциальным партийным держимордой.


СТРАШНЫЙ РАЗРЫВ: ПОЧЕМУ МАТЕМАТИКИ ОБЯЗАНЫ УЧИТЬ ФИЗИКУ

Я всю свою жизнь, начиная с семидесятых годов, воевал за одну простую вещь: МАТЕМАТИКА БЕЗ ФИЗИКИ ВЫРОЖДАЕТСЯ В ШАРЛАТАНСТВО.

В двадцатом веке наши чистые математики совершили преступление: они оборвали связь с естествознанием. Они заперлись в своих кабинетах, выдумали птичий язык и стали писать никому не нужные статьи друг для друга.

Я сам бросил чистую топологию, за которую мне дали Ленинскую премию и Филдсовскую медаль, и ушел в математическую физику — в теорию солитонов, в периодическую задачу для уравнения Кортевега — де Фриза, в квантовые решетки и монополи. Потому что настоящая, живая математика рождается ТОЛЬКО там, где есть реальный физический смысл! Боголюбов это понимал изначально. Колмогоров это чувствовал в молодости, но его школа скатилась в схоластику.


ФОМЕНКО И ДЕГРАДАЦИЯ МЕХМАТА

А во что превращается математик, если он начисто лишен физической интуиции и чувства реальности?
Полюбуйтесь на Толю Фоменко!

Он же был способный парень, геометр, тополог, мой ученик, защищал у меня диссертацию. И до чего докатился?
Начал на полном серьезе публиковать этот параноидальный бред под названием «Новая хронология» — про то, что античности не было, Рим построили в Средние века, а Христос родился в Крыму. И ведь продает это миллионными тиражами!
Это же позорище на весь мир, симптом полнейшего загнивания Мехмата!

Когда у математика нет якоря в виде экспериментальной физики или реального мира, его мозги начинают вращаться вхолостую и неизбежно сходят с ума. Компьютерная схоластика и бредовые псевдоисторические теории — это плоды одного и того же дерева: потери связи с реальностью.


ВЫВОД

Если бы Боголюбов слушал придирки теоретико-множественных зануд в тридцатые годы, он бы всю жизнь доказывал тривиальные леммы об эпсилон-окрестностях. Но он бросил их и пошел в физику — и остался в вечности.

Колмогоров был гением, но его схоластические эпигоны завели математическое образование в тупик, да и сам он взявшись за образование, потом бросил его на растерзание неучам, потому что  это стало скучным....

Поэтому мой завет всегда был предельно жестким: выкиньте на помойку бурбакистские учебники, прекратите молиться на абстрактные символы, учите физику, знайте природу явлений! А если вы не способны понять физику процессов — не удивляйтесь, когда алгоритмы и машины выкинут вас на обочину, как ненужный академический балласт.

От Фавара к Бору 7 (Туман)

 Призрак Уитни (почему он стал призраком)

Вершина в тумане
Седьмая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.

На перевал опустился туман. В нашей воображаемой горной прогулке ещё недавно различались соседние стены и знакомые силуэты. Казалось, мы увидели Уитни и сумеем повторить несколько его движений. Потом на соседней тропе появился Гаусс. Теперь не видно ни одного из них, и уже непонятно, на какую именно гору поднимался замеченный нами силуэт.

Мы сидим и разбираем сделанное. Пока дальнейший путь скрыт, особенно важно помнить, какие места мы действительно прошли, а какие только надеялись пройти.

Что привело нас сюда

Мы исследовали восстановление функции по её разностям и дополнительным условиям. Вторая разность не замечает прямую, третья — любую параболу. Поэтому для восстановления приходится закреплять невидимую часть функции: значениями в точках, интегралами или другими условиями.

Для третьего порядка мы сначала потребовали нулевые средние на трёх равных частях отрезка. Затем решили передвинуть границы. Нас привлекла конкретная возможность: подобрать их так, чтобы остаток от x³ после вычитания параболы имел гауссовы нули.

Это удалось. Нужные границы оказались равны

\[
a=\frac12-\frac1{2\sqrt5},
\qquad
1-a=\frac12+\frac1{2\sqrt5}.
\]

Приблизительно это 0,2764 и 0,7236. Пробный кубический многочлен стал многочленом Лежандра с подходящей нормировкой. Его нули совпали с узлами трёхточечной квадратуры Гаусса.

Этот результат остаётся верным. Туман его не отменяет.

Но из удачного расположения нулей возникла следующая надежда: возможно, при таких границах будет проще доказать оценку Уитни с константой 1.

Что именно мы хотели доказать

Пусть g непрерывна на [0,1] и

\[
\int_0^a g(x)\,dx=0,\qquad
\int_a^{1-a}g(x)\,dx=0,\qquad
\int_{1-a}^1g(x)\,dx=0.
\]

Наша гипотеза имела вполне определённый смысл:

\[
\|g\|_\infty\le\omega_3(g),
\]

где ω₃ — наибольший модуль третьей разности по всем четвёркам равноотстоящих точек, помещающимся в отрезке.

Здесь существенно слово «всем». Проверка одного кубического многочлена ничего ещё не говорила о произвольных непрерывных функциях. Мы решили испытать гипотезу на ломаных: их легко задавать, рисовать и проверять.

Первые вычисления обнадёживали. Для двух пространств ломаных на сетках, дополненных нашими границами, поиск наибольшего отношения дал примерно 0,8531 и 0,9923. Обе величины были меньше единицы.

Это свидетельствовало только о проверенных классах. Тем не менее картина подсказывала надежду, и её хотелось рассмотреть внимательнее.

Узкий участок у самого края

Следующая проверка изменила картину. В сетку добавили очень близкую к левому концу точку. Теперь ломаная могла иметь узкий высокий пик у края и небольшие колебания дальше внутри отрезка.

Появился кандидат, нарушающий оценку. Чтобы результат не зависел от округлений численной оптимизации, его упростили и проверили заново.

Взяли ломаную u с двадцатью узлами. Все её узлы рациональны: это 0, дополнительная точка 1/1000 и точки j/18, где j = 1,…,18. Значения в узлах округлили до тысячных.

Из u вычли параболу Q_Gu, имеющую те же интегралы по нашим трём участкам. Остаток

\[
g=u-Q_Gu
\]

по самому определению удовлетворяет трём нулевым интегральным условиям. Третьи разности при вычитании параболы не меняются.

Точная проверка дала

\[
\omega_3(g)=\omega_3(u)=\frac{501}{500}=1{,}002,
\qquad g(0)>1{,}0153.
\]

Таким образом,

\[
\frac{\|g\|_\infty}{\omega_3(g)}
\ge\frac{g(0)}{\omega_3(g)}
\approx1{,}0133058>1.
\]

Гипотеза с константой 1 для выбранных сдвинутых границ оказалась неверной.

Почему проверка охватывает все шаги

Для ломаной третья разность зависит от двух переменных: начальной точки и шага. Пока ни одна из четырёх точек не пересекла излом, эта зависимость линейна. Поэтому область допустимых положений разбивается на конечное число многоугольников. Наибольший модуль линейной функции достигается в вершине.

Все такие положения можно перебрать. В нашей проверке допустимые пересечения проверялись рациональной арифметикой; край с нулевым шагом даёт нулевую разность. Значение вычитаемой параболы в нуле также вычислялось точно — с рациональными числами и √5.

Сам остаток g после вычитания параболы уже не является ломаной. Но его третий модуль совпадает с модулем u, поэтому конечная проверка остаётся применимой.


От чего пришлось отказаться

Мы отказались от конкретной гипотезы: найденный гауссов сдвиг не сохраняет точную константу 1 в нашей задаче с интегральными ограничениями.

Предыдущий расчёт гауссовых нулей остаётся правильным. Сохраняется и единственность параболы, выбранной по трём средним. Сохраняется связь с обращением оператора. Изменился наш вывод о количественном качестве такого выбора.

Классическая константа W₃ относится к наилучшему приближению параболами. Там для каждой функции разрешается выбирать наиболее подходящую параболу. Наш контрпример касается одного заранее установленного способа выбора — по интегралам на сдвинутых участках. Он не опровергает классическую теорему Уитни.

Прояснилось и место технического затруднения. В доказательстве для равных частей граничное тождество использовало равноотстоящие нули первообразной. Сдвиг убрал это простое сокращение. Мы сначала надеялись найти ему замену с тем же бюджетом. Теперь знаем, что замена, обеспечивающая константу 1 для всего нового класса, невозможна.

Что видно в тумане

Хорошее поведение гладкого пробного многочлена не обеспечило хорошей оценки для всего класса. Узкий концевой пик вместе с небольшими внутренними колебаниями оказался чувствительнее к выбранным ограничениям.

Первые вычисления не могли увидеть такую форму: в них не хватало разрешения возле конца. Расширение проверяемого класса изменило вывод. В совместной работе с AI это важный эпизод: быстрая проверка полезна, но нужно постоянно спрашивать, какие функции она вообще позволяет рассмотреть.

Теперь перед нами несколько вопросов. Какое свойство равных частей удерживает константу 1? Сохраняется ли она при каких-нибудь небольших симметричных сдвигах или равномерное расположение здесь особенно жёстко? Можно ли объяснить найденный контрпример гораздо проще, выделив взаимодействие пика и внутренних колебаний?

Вершина Уитни скрыта. Гаусс тоже исчез из виду. Мы пока не выбираем следующую стену: сначала нужно понять, что именно показал этот небольшой срыв нашей догадки.

Быть может, прежде чем искать новый путь наверх, стоит разобраться: какая незаметная опора удерживала нас на прежней тропе равных частей?

Тут можно закончить рассказ. т.е. можно и продолжить и посмотреть сразу все, что осталось от этого путешествия..

От Фавара к Бору 6 (Уитни)

 Уитни на стене (см про встечу с Гауссом)

До следующего карниза
Шестая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.

Представим, что, огибая склон, мы увидели на стене Уитни. В этой воображаемой встрече он поднимается без страховки, легко находя опоры там, где мы пока различаем только камень. Нам хочется понять его путь и пройти по нему хотя бы до следующего карниза.

Сравнение здесь касается самого способа смотреть на задачу. Короткое доказательство часто показывает нам лишь несколько движений. Чтобы повторить их осмысленно, приходится долго рассматривать, на что именно опирается каждое из них.

У вторых разностей такой опорой оказалась лемма Баркилла: два закреплённых конца позволяли связать точку максимума с другой точкой отрезка и получить оценку почти в одну строку. При третьих разностях стена стала сложнее. Мы попробовали изменить расположение дополнительных условий.

Сдвигаем две границы

В предыдущей заметке мы вычитали из x³ параболу так, чтобы остаток имел нулевое среднее на каждой трети отрезка. Возникшие нули оказались близки к гауссовым, но не совпали с ними.

Теперь сохраним симметрию, а внутренние границы поставим в точках

\[
\frac12-b,\qquad \frac12+b,
\qquad 0<b<\frac12.
\]

Раньше было b = 1/6. Мы разрешаем ему изменяться и спрашиваем, найдётся ли положение границ, при котором нули остатка станут в точности гауссовыми.

Пусть r — остаток от x³ после вычитания параболы. Если его интегралы на трёх участках нулевые, накопленная площадь

\[
F(x)=\int_0^x r(t)\,dt
\]

обращается в нуль на обеих границах отрезка и в двух внутренних точках разделения.

Отсчитаем координату от середины: y = x−1/2. Четыре нуля теперь расположены в точках −1/2, −b, b, 1/2. Следовательно,

\[
F(x)=\frac14\left(y^2-\frac14\right)(y^2-b^2).
\]

Множитель 1/4 сохраняет нужный старший член: производная должна начинаться с x³. После дифференцирования получаем

\[
r(x)=y^3-\left(\frac18+\frac{b^2}{2}\right)y.
\]

У гауссова кубического многочлена с единичным старшим коэффициентом в тех же координатах вид

\[
r_G(x)=y^3-\frac3{20}y.
\]

Значит, осталось уравнять два коэффициента:

\[
\frac18+\frac{b^2}{2}=\frac3{20},
\qquad b^2=\frac1{20}.
\]

Нужные границы найдены:

\[
a=\frac12-\frac1{2\sqrt5},
\qquad
1-a=\frac12+\frac1{2\sqrt5}.
\]

Приблизительно это 0,2764 и 0,7236. Крайние участки сократились, средний расширился. После этого сдвига нули пробного остатка стали в точности узлами Гаусса.

Это наша первая проверенная опора на новом участке пути. Геометрия ограничений согласовалась с гауссовым колебанием для кубического многочлена.

Меняем саму постановку

Пока мы рассматривали одну пробную функцию. Чтобы приблизиться к оценке Уитни, нужно поставить вопрос для всего класса непрерывных функций.

Пусть g непрерывна на [0,1] и

\[
\int_0^a g(x)\,dx=0,\qquad
\int_a^{1-a}g(x)\,dx=0,\qquad
\int_{1-a}^1g(x)\,dx=0.
\]

Насколько большой может быть g, если все её третьи разности по модулю не превосходят единицы?

Обозначим через ω₃(g) наибольший модуль третьей разности по всем четвёркам равноотстоящих точек, помещающимся в [0,1]. Ищем наименьшую константу C_G в оценке

\[
\|g\|_\infty\le C_G\,\omega_3(g).
\]

Первый естественный ориентир — проверить, верна ли здесь оценка с константой 1. Это пока вопрос. Удачное поведение пробного кубического многочлена ещё не доказывает оценки для произвольной непрерывной функции.

Почему здесь появляется W₃?

В классической задаче Уитни для каждой функции f выбирают наилучшую приближающую параболу. Обозначим ошибку такого приближения через E₂(f). Константа W₃ — наименьшее число, для которого

\[
E_2(f)\le W_3\,\omega_3(f)
\]

при всех непрерывных f.

Наши три интегральных условия задают определённый способ выбора параболы Q_Gf: её интегралы по трём участкам должны совпадать с интегралами f.

Такая парабола определяется однозначно. Действительно, если разность двух подходящих парабол имеет нулевой интеграл на каждом участке, её первообразная обращается в нуль в четырёх различных точках. Но степень этой первообразной не выше трёх. Значит, она тождественно нулевая. Существование затем следует из того, что три линейных условия однозначно определяют три коэффициента.

Остаток g = f−Q_Gf удовлетворяет нашим ограничениям. Вычитание параболы не меняет третьи разности. Поэтому оценка для нового класса дала бы

\[
\|f-Q_Gf\|_\infty\le C_G\,\omega_3(f).
\]

Наилучшая парабола приближает не хуже выбранной по этому правилу, следовательно, W₃ ≤ C_G. Таким образом, мы получили конкретную вспомогательную задачу, которая может дать верхнюю оценку классической константы. Равенство двух констант из этого не следует.

Ориентиры на маршруте

Yuri V. Kryakin. Whitney’s Constants and Sendov’s Conjectures. Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 16 (2002), Fasc. 1–4, pp. 235–247. Определения различных констант — с. 235–236 и 239; интегральные ограничения и примеры доказательств — с. 238–242.

Ludovico Bruni Bruno, Wolfgang Erb. Polynomial Interpolation of Function Averages on Interval Segments. arXiv:2309.00328 (2023). Интерполяция по средним имеет самостоятельную историю; ссылка служит ориентиром по этому общему способу выбора многочлена. Конкретная оценка через ω₃ при найденных границах остаётся здесь нашим исследовательским вопросом.

У следующего карниза

Мы изменили расположение условий. Возможно, это позволит проще согласовать локальные и глобальные разности: накопленная площадь теперь закреплена в точках, которые уже показали хорошую согласованность на кубическом примере.

Следующий опыт стоит провести с ломаными. У них мало участков, их можно нарисовать и вычислить, а резкие изменения наклона способны обнаружить трудность, скрытую гладким многочленом.

На нашей воображаемой стене Уитни уже различима линия движения. Мы пока проверили одну опору и наметили следующую. Разговор с AI помогает быстро рассмотреть варианты, но вес доказательства по-прежнему должен выдержать каждый переход.

Границы удалось передвинуть так, чтобы встретить Гаусса. А стала ли от этого проще оценка Уитни — или первая же ломаная покажет трещину в выбранном нами пути?

От Фавара к Бору 5 (Гаусс)

 Гаусс на соседней тропе ( см. предыдущую  запись)

Пятая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.

В базовом лагере мы оставили маленькую загадку. У параболы, закреплённой нулевыми средними на двух половинах отрезка, возникли два нуля. Они в точности совпали с узлами Гаусса — точками, по значениям в которых можно особенно хорошо вычислять интегралы.

Совпадение хотелось продолжить. Но сначала следовало проверить ближайший случай. В математике такой опыт часто бывает полезнее попытки сразу угадать общую картину.

Ещё одна степень

Возьмём

\[
f(x)=x^3,\qquad 0\le x\le1.
\]

Теперь будем сохранять третьи разности. Они не замечают любого многочлена степени не выше двух. Поэтому из x³ можно вычесть подходящую параболу, не меняя разностных данных.

Остаток обозначим через r. Потребуем, чтобы его среднее на каждой трети отрезка было нулевым:

\[
\int_0^{1/3}r(x)\,dx=
\int_{1/3}^{2/3}r(x)\,dx=
\int_{2/3}^1r(x)\,dx=0.
\]

Ищем кубический многочлен со старшим членом x³. Три остальных коэффициента должны определиться из трёх условий. Можно выписать систему уравнений и решить её. Но попробуем сначала найти более наглядный путь.

Накопленная площадь

Представим, что мы идём по отрезку слева направо и подсчитываем накопленную площадь под графиком r. Положительную площадь прибавляем, отрицательную вычитаем. Полученная величина есть

\[
F(x)=\int_0^x r(t)\,dt.
\]

В начале она равна нулю. На первой трети прибавляется в сумме нуль, значит, в точке 1/3 снова получаем нуль. То же происходит на второй и третьей частях. Поэтому

\[
F(0)=F(1/3)=F(2/3)=F(1)=0.
\]

Сделаем здесь остановку. Условия на средние превратились в условия на значения другой функции. Вместо трёх интегралов мы увидели четыре обычных нуля; один из них, F(0) = 0, появился из определения накопленной площади.

Функция r имеет степень три и старший член x³. Следовательно, F имеет степень четыре и старший член x⁴/4. Все четыре корня уже известны. Значит,

\[
F(x)=\frac14x\left(x-\frac13\right)
                 \left(x-\frac23\right)(x-1).
\]

Множитель 1/4 нужен именно для получения старшего члена x⁴/4. Мы нашли F без решения системы уравнений.

Теперь нужно вернуться от накопленной площади к исходной функции: взять производную. Получаем

\[
r(x)=\left(x-\frac12\right)
\left[\left(x-\frac12\right)^2-\frac5{36}\right].
\]

Эту запись можно проверить раскрытием скобок и интегрированием. Из неё сразу видны три нуля:

\[
\frac12-\frac{\sqrt5}{6},\qquad
\frac12,\qquad
\frac12+\frac{\sqrt5}{6}.
\]

Приблизительно это 0,1273; 0,5000; 0,8727.

Небольшое расхождение

У трёхточечной квадратуры Гаусса на [0,1] узлы расположены немного иначе:

\[
\frac12-\frac12\sqrt{\frac35},\qquad
\frac12,\qquad
\frac12+\frac12\sqrt{\frac35}.
\]

Приблизительно это 0,1127; 0,5000; 0,8873. Эти точки являются нулями многочлена Лежандра третьей степени после переноса с [−1,1] на [0,1]. Справочный ориентир: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v), Gauss–Legendre Formula; https://dlmf.nist.gov/3.5#v.

Средний узел совпал. Крайние оказались близкими, но различными. Совпадение, замеченное для параболы, буквально не продолжилось.

Это хороший момент, чтобы различить два правила, которыми мы пользовались. Наши условия требуют равновесия площадей отдельно в каждой ячейке. Гауссовы узлы определяются другим равновесием: соответствующий многочлен имеет нулевой интеграл на всём отрезке после умножения на любой многочлен меньшей степени. Для третьей степени это множители 1, x и x².

Оба правила организуют колебание, но предъявляют к нему разные требования. Близость получившихся нулей сама по себе ещё не позволяет считать эти требования одинаковыми.

Что сохранилось

Несмотря на расхождение с Гауссом, наш способ построения стал яснее. Накопленная площадь F обращается в нуль на границах ячеек. Между двумя соседними нулями её график должен где-то иметь горизонтальную касательную. В такой точке производная равна нулю. А производная — это r.

Поэтому внутри каждой ячейки возникает нуль исходной функции. В нашем примере ячеек три, и кубический многочлен имеет ровно три таких нуля.

Сначала мы выбрали границы. Они стали нулями накопленной площади. Затем между ними появились нули её производной. Эта последовательность объясняет устройство примера и подсказывает, что можно менять в следующем опыте.

К задаче устойчивого восстановления мы пока приблизились только с одной стороны. Мы рассматриваем модельную функцию, а оценка для всего класса впереди. Однако уже видно, как дополнительные условия управляют расположением нулей и сменой знаков. Это именно то, что хотелось рассмотреть, прежде чем снова подниматься к общим оценкам.

Наш следующий вопрос теперь стал точнее. Равные трети были естественным первым выбором. Но они не были обязательны.

Представим, что две внутренние границы могут немного сдвинуться навстречу друг другу или разойтись, сохраняя симметрию. Вместе с ними изменится накопленная площадь, а затем и расположение её горизонтальных касательных.

Можно ли так передвинуть границы трёх участков, чтобы возникшие между ними нули в точности совпали с узлами Гаусса?

От Фавара к Бору 4 (Базовый лагерь у перевала)

 Базовый лагерь у перевала (см. что было раньше)

Два способа закрепить параболу
Четвёртая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.

Мы вышли от Фавара и собирались идти к Бору, к почти периодическим функциям. По дороге встретили Баркилла, вспомнили Уитни и задержались у вторых разностей. Оказалось, что здесь можно довольно долго двигаться в стороны, всё лучше рассматривая один и тот же склон.

Пока назовём это место базовым лагерем у перевала Бор—Фавар—Уитни. Это название отмечает положение нашей мысли: несколько знакомых задач начинают просматриваться одновременно.

В предыдущей заметке мы увидели, что дополнительные условия могут обеспечивать единственность восстановления и при этом допускать плохую устойчивость. Теперь хочется понять, что именно делает выбор условий с формой функции. Для начала возьмём одну параболу и проведём два маленьких опыта.

Парабола и её невидимые спутники

Пусть

\[
f(x)=x^2,\qquad 0\le x\le1.
\]

Из неё можно вычесть любую прямую, сохранив все вторые разности. Действительно, вторая разность прямой равна нулю. Поэтому разностные данные оставляют нам свободу изменить постоянную составляющую и наклон.

Дополнительные условия выбирают из этого семейства одну функцию. Посмотрим, насколько разными могут оказаться результаты выбора.

Первый опыт: закрепляем концы

Парабола проходит через точки (0,0) и (1,1). Соединяющая их прямая имеет уравнение y = x. Вычитаем её:

\[
g(x)=x^2-x.
\]

Теперь g(0) = g(1) = 0. Между концами график лежит ниже оси. В середине он достигает значения −1/4, поэтому

\[
\|g\|_\infty=\frac14.
\]

Концы закреплены, между ними остался прогиб. Это та постановка, в которой работает короткое доказательство леммы Баркилла.

Второй опыт: закрепляем средние

Попробуем другие условия. Потребуем, чтобы среднее значение на каждой половине отрезка было нулевым:

\[
\int_0^{1/2}r(x)\,dx=0,
\qquad
\int_{1/2}^1r(x)\,dx=0.
\]

Они выражают равновесие площадей: на каждой половине площадь над осью должна равняться площади под осью.

Начнём с уже построенного графика g. Он симметричен относительно середины, поэтому его средняя высота на обеих половинах одинакова. Вычисление даёт

\[
2\int_0^{1/2}(x^2-x)\,dx
=2\int_{1/2}^1(x^2-x)\,dx
=-\frac16.
\]

Множитель 2 означает деление на длину половины отрезка. Мы вычисляем среднюю высоту; сам интеграл на каждой половине равен −1/12.

Чтобы средняя высота стала нулевой, достаточно поднять весь график на 1/6:

\[
r(x)=x^2-x+\frac16.
\]

Теперь концы находятся над осью, середина — под ней. На концах значение равно 1/6, в середине — −1/12. Следовательно,

\[
\|r\|_\infty=\frac16.
\]

Остановка у рисунка

К заметке приложен рисунок «Два способа закрепления параболы». Слева показано закрепление концов, справа — закрепление средних. Положительные площади выделены голубым, отрицательные — песочным цветом.

На правом рисунке в каждой половине отрезка появились участки обоих знаков. Их возникновение было предписано условиями на средние. Если непрерывная функция имеет нулевой интеграл и где-то положительна, она должна где-то принимать отрицательные значения. Иначе площади не уравновесятся.

Мы заранее не выбирали точки пересечения с осью. Они появились в результате выбора ограничений.

При этом вторые разности обеих функций совершенно одинаковы:

\[
\Delta_h^2g(x)=\Delta_h^2r(x)=2h^2.
\]

Подстановка позволяет проверить это без всякой общей теории. Квадратичный член даёт 2h², линейный и постоянный члены исчезают.

Итак, разностные данные сохранились. Изменились расположение графика, его знаки и наибольший модуль. В нашем примере закрепление средними уменьшило норму с 1/4 до 1/6.

Этот опыт ещё не сравнивает наилучшие константы для всех непрерывных функций. Он показывает, почему выбор условий влияет на оценку и почему его стоит изучать отдельно. Чтобы перейти от одной параболы к целому классу, понадобится доказательство, которое охватит все допустимые формы графика.

Две точки, которых мы не назначали

Найдём нули функции r. Решаем квадратное уравнение

\[
x^2-x+\frac16=0
\]

и получаем

\[
x_- =\frac12-\frac1{2\sqrt3},
\qquad
x_+ =\frac12+\frac1{2\sqrt3}.
\]

Приблизительно это 0,2113 и 0,7887. Один нуль лежит в первой половине отрезка, другой — во второй, как и требовало равновесие площадей.

У этих точек есть ещё одна известная роль. Это узлы двухточечной квадратуры Гаусса на [0,1]. Для любого многочлена p степени не выше трёх выполняется

\[
\int_0^1p(x)\,dx
=\frac12p(x_-)+\frac12p(x_+).
\]

Точность здесь легко проверить на четырёх простейших многочленах: 1, x, x², x³. Все остальные многочлены степени не выше трёх составляются из них сложением и умножением на числа.

Мы занимались ограничениями в задаче восстановления, а встретили узлы для вычисления интегралов. На этом небольшом примере две знакомые области оказались видны с одной площадки.

Куда смотреть из базового лагеря

В исследованиях приходится постоянно выбирать, что сохранить при следующем изменении задачи. В одном опыте мы меняли усредняющий оператор, добавляя связь между двумя треугольниками. Теперь сохранили вторые разности и изменили ограничения.

Такое разделение помогает понять причину результата. Можно проследить, какое именно изменение передвинуло нули, организовало смену знаков или уменьшило норму функции. В совместной работе человека и AI эти маленькие проверки особенно полезны: красивое совпадение становится отправной точкой следующего опыта, а вычисление остаётся доступным проверке.

Второй порядок пока даёт нам удобное место для таких остановок. На нём видны и невидимая линейная часть, и действие ограничений, и возникающая осцилляция. При увеличении порядка эти черты сохраняют смысл, но их согласование становится труднее.

Сегодня мы заметили совпадение, которое хочется проверить дальше. Для параболы условия нулевых средних привели ровно к гауссовым узлам. А если взять многочлен третьей степени и потребовать нулевые средние на трёх равных частях отрезка — встретим ли мы Гаусса снова?

Источники и ориентиры

Yuri V. Kryakin. Whitney’s Constants and Sendov’s Conjectures. Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 16 (2002), Fasc. 1–4, pp. 235–247. Лемма Баркилла — с. 236; интегральные ограничения — с. 238–239; случай второго порядка — с. 241.

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v), Gauss Quadrature; Gauss–Legendre Formula. https://dlmf.nist.gov/3.5#v

От Фавара к Бору 3 (Остановка на склоне)

 Остановка на склоне  (см. предыдущую заметку)

Знакомая тропа с другой стороны
Третья заметка. Исследовательский черновик.  
16 октября 2026 года.

На горной тропе полезно иногда остановиться. Пока смотришь только под ноги, каждый поворот кажется новым. Поднимешь голову — и узнаёшь склон, который когда-то видел из другой долины.

Нечто подобное произошло с нашей задачей Фавара. Мы начали с нескольких точек на круге, усредняли значения, пытались восстановить их по отличиям от среднего. Потом круг распался на два независимых треугольника. Чтобы связать их, пришлось добавить новые переходы. Восстановление стало возможным, но слабая связь допускала сильное увеличение ошибок.

В этот момент вспомнилась старая задача на отрезке: лемма Баркилла, с которой начинается история оценок Уитни второго порядка. За ней — переход к другим ограничениям, к интегральным средним, к согласованию локальных и глобальных разностей.

Стоит задержаться и рассмотреть эту окрестность. Здесь уже виден общий вопрос: что именно нужно закрепить, чтобы функция могла быть устойчиво восстановлена?

Две отметки на отрезке

Возьмём непрерывную функцию на [0,1]. Вторая разность сравнивает её значения в трёх равноотстоящих точках:

\[
\Delta_h^2f(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x).
\]

У прямой эта величина всегда равна нулю. Если прибавить к функции любую прямую, все её вторые разности останутся прежними. Значит, по этим данным невозможно узнать ни постоянную составляющую, ни наклон.

Чтобы устранить неоднозначность, закрепим значения на концах:

\[
f(0)=f(1)=0.
\]

Прямая, проходящая через обе нулевые отметки, может быть только нулевой. Двух условий оказалось достаточно, чтобы устранить две невидимые составляющие.

Однако хочется знать больше: если все вторые разности малы, обязана ли быть малой сама функция?

Обозначим через ω₂(f) наибольший модуль второй разности по всем тройкам, помещающимся в отрезке. Лемма Баркилла утверждает:

\[
\|f\|_\infty\le\omega_2(f).
\]

Доказательство умещается в несколько строк, и всё же в нём стоит сделать остановку. Пусть M — наибольший модуль функции, достигаемый в точке t. Если t ≤ 1/2, используем точки 0, t, 2t. Поскольку f(0) = 0,

\[
2f(t)=f(2t)-\Delta_t^2f(0).
\]

Отсюда

\[
2M\le M+\omega_2(f),
\qquad M\le\omega_2(f).
\]

Если t > 1/2, поступаем симметрично, опираясь на правый конец.

Мы связали место наибольшего отклонения с закреплённым концом и ещё одной точкой отрезка. Одно неизвестное значение оценили через тот же максимум M. Слева оказалось 2M, справа — лишь M и известная разностная величина. Этот запас и позволил завершить доказательство.

В нашей задаче на шести точках мы тоже следили за тем, куда усреднение передаёт информацию о максимуме. Теперь тот же приём привёл нас к концу отрезка.

Если две отметки поставить рядом

Проверим, что здесь существенно. Вместо концов закрепим две точки 0 и a, где 0 < a ≤ 1/2:

\[
f(0)=f(a)=0.
\]

Они по-прежнему различны. Прямая, равная нулю в обеих точках, по-прежнему нулевая. Однозначность сохранена. Но будет ли оценка столь же хорошей, когда a мало?

Нарисуем простую ломаную. До точки a она идёт по оси, затем поднимается с единичным наклоном:

\[
f_a(x)=\max(0,x-a).
\]

Оба условия выполнены. Высота ломаной на правом конце равна 1−a. При этом

\[
\omega_2(f_a)=a.
\]

Это можно проверить непосредственно. Если три точки лежат на одном прямолинейном участке, вторая разность нулевая. Если они пересекают излом, подстановка даёт величину от нуля до a. Тройка 0, 1/2, 1 даёт ровно a.

Следовательно, любая оценка на таком классе функций обязана иметь константу

\[
C_a\ge\frac{1-a}{a}.
\]

При сближении двух закреплённых точек константа растёт без ограничения. Ломаная почти совпадает с прямой x: расстояние между ними нигде не превосходит a. Две близкие отметки позволяют сохранить почти весь наклон, заплатив за это лишь небольшим изломом.

Теперь становится понятнее, почему однозначность и устойчивость нужно обсуждать отдельно. Два разных нуля устраняют линейную неоднозначность при каждом a > 0. Их расположение определяет, насколько надёжно она устранена.

В предыдущей заметке слабела связь между двумя треугольниками. Здесь сближаются два условия на отрезке. В обоих примерах появляются большие функции, на которых наблюдаемые величины малы.

Другой способ закрепления

Можно закреплять функцию посредством средних. Для второго порядка естественно потребовать

\[
\int_0^{1/2}f(x)\,dx=0,
\qquad
\int_{1/2}^1f(x)\,dx=0.
\]

Эти условия тоже устраняют линейную неоднозначность. Среднее прямой на первой половине отрезка равно её значению в 1/4, на второй — значению в 3/4. Если оба средних нулевые, прямая нулевая.

Но прежнее короткое доказательство уже не повторяется: значение на конце теперь может быть ненулевым. Нужно использовать другую информацию. В обзоре Юрия Крякина именно здесь возникают средние по переменным отрезкам, локальные и глобальные разности, тождества, которые позволяют согласовать их действие.

Сами вторые разности при вычитании прямой не меняются. Меняется способ выбрать одну функцию из всех, отличающихся друг от друга на прямую. Концевые значения и интегральные средние задают разные способы такого выбора. Их количественные свойства требуют отдельных доказательств.

Здесь наша тропа разделяется на два близких пути. В задаче на круге мы меняли усредняющий оператор и следили за силой связей. В задаче Уитни можно сохранять разностные данные и менять дополнительные ограничения. Обе задачи требуют понять, что остаётся почти незаметным и как не допустить сильного увеличения ошибок при восстановлении.

Взгляд назад

У этой остановки есть и историческая подробность. Работа Баркилла 1952 года, на которую ссылается литература по рассматриваемой оценке, называется «Почти периодические функции Чезаро—Перрона». Уже в её названии присутствует тема, к которой мы собирались прийти от Бора и Фавара.

Название само по себе ещё не доказывает единства всех методов. Но теперь у нас есть и конкретное математическое сходство: оператор не замечает некоторого простого класса; дополнительные условия устраняют неоднозначность; затем приходится выяснять, насколько устойчиво это сделано.

Мы пока не поднялись выше. Зато лучше рассмотрели место, на котором стоим. Оказалось, что знакомые ограничения на концах, интегральные средние и связи между точками конечного круга можно обсуждать на одном языке восстановления.

Следующий шаг заслуживает того, чтобы сделать его медленно: научиться заранее различать ограничения, которые лишь обеспечивают единственность, и ограничения, которые дают хорошую количественную оценку. Маленькая ломаная уже показала нам, почему это разные вопросы.

Источники и ориентиры

Yuri V. Kryakin. Whitney’s Constants and Sendov’s Conjectures. Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 16 (2002), Fasc. 1–4, pp. 235–247.

В опубликованной версии: с. 236 — лемма Баркилла; с. 238–239 — интегральные ограничения; с. 241 — случай второго порядка и согласование локальной и глобальной оценок.

H. Burkill. Cesàro–Perron almost periodic functions. Proceedings of the London Mathematical Society, Series 3, 2 (1952), 150–174.

От Фавара к Бору 2 (Первые трудности)

Первые трудности при подъёме на гору

Начало пути — в первой заметке «Фавар на конечном круге».

Фавар на конечном круге. Вторая заметка
Исследовательский черновик. 16 октября 2026 года.

В первой заметке мы учились восстанавливать числа, расположенные по кругу, по их отличиям от среднего двух соседей. На небольших примерах возникла догадка о точной константе, а функция Грина помогла её доказать.

Теперь изменим только одно: вместо ближайших соседей будем брать точки через одну. Окажется, что эта маленькая перемена меняет саму возможность восстановления. Остановимся на круге из шести точек: здесь всё ещё можно увидеть глазами и проверить руками.

1. Круг распадается на два треугольника

Пусть \(u_0,\ldots,u_5\) — действительные числа. Индексы считаются по модулю шесть: например, \(u_{-1}=u_5\), а \(u_6=u_0\). Введём усреднение

\[
(T_2u)_j=\frac{u_{j-2}+u_{j+2}}2,
\qquad L_2=I-T_2.
\]

Здесь \(I\) — тождественный оператор: \(Iu=u\). Поэтому \(L_2u\) — разность между исходными значениями и их средними.

Из точки \(0\) такими шагами можно попасть только в \(2\) и \(4\). Из точки \(1\) — только в \(3\) и \(5\). Получились два независимых треугольника. На рисунке все точки по-прежнему лежат на одном круге, но выбранный оператор связывает их иначе.

Возьмём последовательность

\[
v=(1,-1,1,-1,1,-1).
\]

На одном треугольнике все значения равны \(1\), на другом — \(-1\). Поэтому усреднение ничего не меняет:

\[
T_2v=v,\qquad L_2v=0.
\]

Подпись: Номера вершин стоят внутри кружков, значения последовательности \(v\) — рядом. Синие переходы связывают только вершины \(0,2,4\), оранжевые — только вершины \(1,3,5\). На каждом треугольнике значения постоянны, поэтому среднее их сохраняет. Пересечения линий не являются вершинами: перейти с одного треугольника на другой в этих местах нельзя.

Общая сумма значений равна нулю. Однако восстановить \(v\) по \(L_2v\) невозможно: оператор даёт тот же результат, что и на нулевой последовательности.

Это первая трудность. Раньше мы убрали одну постоянную составляющую условием общей нулевой суммы. Теперь оператор не замечает отдельной постоянной на каждом треугольнике.

Можно потребовать, чтобы сумма значений была нулевой на каждом треугольнике. Иными словами, потребуем

\[
u_0+u_2+u_4=0,\qquad u_1+u_3+u_5=0.
\]

Уточним обозначение нормы: \(\|u\|_\infty=\max_{0\le j\le5}|u_j|\). Это наибольшая из абсолютных величин шести чисел.

Тогда на каждом треугольнике возвращаемся к уже решённой задаче для трёх точек:

\[
\|u\|_\infty\le\frac23\|L_2u\|_\infty.
\]

Константа точная. Таким образом, один способ справиться с трудностью — уточнить класс функций, на котором мы обращаем оператор.

2. Добавим связь между треугольниками

Попробуем другой путь: изменим усреднение. Добавим переход в противоположную точку:

\[
(T_3u)_j=u_{j+3}.
\]

Этот переход соединяет пары \(0\) и \(3\), \(1\) и \(4\), \(2\) и \(5\). В каждой паре вершины принадлежат разным треугольникам.

Но в каком соотношении соединить два способа усреднения? Этого прежняя задача нам не говорит. Здесь мы сами ставим новый опыт: будем менять силу добавленной связи и смотреть, как меняется восстановление.

Начнём с совершенно конкретного правила. Возьмём девять десятых первого среднего и одну десятую второго:

\[
Tu=\frac9{10}T_2u+\frac1{10}T_3u.
\]

Иными словами, в каждой точке вычисляем два уже известных значения и составляем их взвешенное среднее. Это не последовательное применение операторов: мы складываем результаты с указанными весами.

Здесь переход между треугольниками имеет вес \(1/10\). Можно было бы дать ему вес \(1/2\) или \(1/100\). Какой выбор лучше? Чтобы не переписывать правило для каждого числа, обозначим вес перехода буквой \(\varepsilon\), а оставшийся вес — через \(1-\varepsilon\):

\[
T_\varepsilon=(1-\varepsilon)T_2+\varepsilon T_3,
\qquad L_\varepsilon=I-T_\varepsilon,
\qquad 0<\varepsilon<1.
\]

Буква \(\varepsilon\) обозначает выбранную нами долю веса. Пока она не обязана быть малой. Для каждого её значения получается свой оператор.

Подпись: Цветные стороны соединяют вершины каждого треугольника, а зелёные пунктирные линии — противоположные вершины разных треугольников. При вычислении среднего вес каждого из двух переходов внутри треугольника равен \((1-\varepsilon)/2\), а вес перехода в противоположную вершину равен \(\varepsilon\). Пересечения линий не являются дополнительными вершинами.

Теперь сформулируем новую задачу. При фиксированном \(\varepsilon\) нам дана последовательность \(f=(f_0,\ldots,f_5)\) с общей нулевой суммой. Требуется восстановить последовательность \(u=(u_0,\ldots,u_5)\) с нулевой суммой по уравнению

\[
L_\varepsilon u=f.
\]

Сначала нужно выяснить, возможно ли такое восстановление и единственно ли оно. Затем — насколько оно устойчиво: насколько сильно могут увеличиться ошибки исходных данных.

Мерой этого увеличения служит наименьшая константа \(C_\varepsilon\), для которой

\[
\|u\|_\infty\le C_\varepsilon\|L_\varepsilon u\|_\infty,
\qquad \sum_{j=0}^{5}u_j=0.
\]

Почему эта оценка говорит об ошибках? Если две правые части \(f\) и \(\widetilde f\) дали решения \(u\) и \(\widetilde u\), то разность решений удовлетворяет тому же уравнению с правой частью \(f-\widetilde f\). Поэтому

\[
\|u-\widetilde u\|_\infty
\le C_\varepsilon\|f-\widetilde f\|_\infty.
\]

Следовательно, \(C_\varepsilon\) ограничивает увеличение ошибки при восстановлении. Чем меньше эта константа, тем лучше гарантированная устойчивость. Наша цель — понять, как она зависит от выбранного веса \(\varepsilon\). Сравнивая разные веса, мы сравниваем разные правила усреднения.

Почему теперь достаточно общей нулевой суммы? Предположим, что \(L_\varepsilon u=0\). Тогда каждое значение равно взвешенному среднему значений в доступных точках.

Посмотрим на точку, где \(u\) максимально. Среднее не может равняться максимуму, если хотя бы одно из участвующих значений меньше максимума. Значит, во всех доступных точках значение тоже максимально. Продолжая переходы, обойдём все шесть точек. Следовательно, \(u\) постоянно, а при нулевой сумме \(u=0\).

Мы доказали единственность восстановления без вычисления определителей и без анализа Фурье. Поскольку оператор действует на конечномерном пространстве последовательностей с нулевой суммой и сохраняет это пространство, из единственности следует также существование решения для каждой правой части с нулевой суммой.

Но возможность восстановления ещё не отвечает на вопрос о его устойчивости.

3. Слабая связь дорого обходится

Вернёмся к чередующейся последовательности \(v\). Первое усреднение сохраняет её, а переход в противоположную точку меняет знак:

\[
T_2v=v,\qquad T_3v=-v.
\]

Распишем действие нового оператора без пропущенных шагов:

\[
T_\varepsilon v=(1-\varepsilon)v+\varepsilon(-v)
=(1-2\varepsilon)v.
\]

Мы складываем сохраняемую часть \(v\) и часть с противоположным знаком. Затем вычитаем полученное среднее из исходной последовательности:

\[
L_\varepsilon v=v-T_\varepsilon v
=v-(1-2\varepsilon)v=2\varepsilon v.
\]

Оператор стал замечать это колебание, но при малом \(\varepsilon\) замечает его очень слабо. Исходная последовательность имеет норму \(1\), а результат действия оператора — норму \(2\varepsilon\). Поэтому в сформулированной выше оценке устойчивости должно выполняться \(1\le C_\varepsilon\cdot2\varepsilon\). Делим на положительное число \(2\varepsilon\):

\[
C_\varepsilon\ge\frac1{2\varepsilon}.
\]

При \(\varepsilon=1/100\) константа не меньше \(50\). Это означает, что существует ошибка в правой части, которая при восстановлении усиливается в пятьдесят раз.

Связь между треугольниками восстановлена. Однако пока она слаба, задача остаётся плохо устойчивой.

4. Почему нельзя просто усилить новую связь?

Кажется естественным увеличить \(\varepsilon\). Но сначала проверим ещё один простой пример:

\[
w=(2,-1,-1,2,-1,-1).
\]

Противоположные точки имеют одинаковые значения, поэтому \(T_3w=w\). А на каждом треугольнике сумма равна нулю, откуда \(T_2w=-w/2\). Следовательно,

\[
L_\varepsilon w=\frac32(1-\varepsilon)w
\]

и

\[
C_\varepsilon\ge\frac{2}{3(1-\varepsilon)}.
\]

Когда \(\varepsilon\) приближается к единице, восстановление снова ухудшается. Основное усреднение теперь связывает только противоположные пары; связь между разными парами становится слабой.

Два примера обнаружили два разных препятствия. Один способ усреднения исправляет слабость другого. Нам нужно согласовать их веса.

Можно уравнять найденные препятствия:

\[
2\varepsilon=\frac32(1-\varepsilon),
\qquad \varepsilon=\frac37.
\]

При таком выборе обе нижние оценки дают \(C_\varepsilon\ge7/6\).

Здесь необходима остановка. Мы уравняли трудности, обнаруженные двумя примерами. Мы ещё не доказали, что этот вес оптимален для всей задачи, и не нашли точной нормы обратного оператора.

Следующий вопрос появился из самих вычислений: достаточно ли двух найденных типов колебаний или их смесь окажется труднее каждого по отдельности?

5. Что стало видно на этой тропе

Мы начали с невозможности восстановления: два треугольника не слышали друг друга. Добавленная связь сделала восстановление возможным. Затем выяснилось, что слабая связь допускает сильное увеличение ошибок. Наконец, второй пример показал, что чрезмерное усиление одного вида связей ослабляет другой.

Так возникли три разных вопроса: что оператор совсем не замечает; что он замечает слишком слабо; как выбрать усреднение, чтобы избежать обоих затруднений.

Здесь появляется мотив, который встретится нам на дороге к почти периодичности: что происходит с колебанием при сдвигах и усреднении? Сначала усреднение \(T_2\) сохраняло последовательность \(v\) в точности. При малом положительном \(\varepsilon\) новое усреднение \(T_\varepsilon\) меняет её лишь немного. Количественная оценка этой почти неизменности показывает, насколько трудно обратить оператор \(I-T_\varepsilon\). Это пока конечный пример почти сохранения усредняющим оператором; к самой почти периодичности Бора нам ещё предстоит перейти.

Пока всё это произошло на шести точках. Следующую остановку посвятим проверке: не скрывается ли за двумя простыми примерами третья, ещё не замеченная трудность?