Schrodinger: 100 Years Later
How wave mechanics meets an extremal problem in approximation theory
In 1926, Erwin Schrodinger proposed understanding motion through the
possible shapes of a wave. A hundred years later, the differential
operator of the spherical rotor appears in a study of the sharp constant
relating the norms of functions with a restricted spectrum. The
physicist asks which states a system permits. The mathematician asks
which shape produces the best possible inequality. Sometimes both
questions lead to the same spectral family.
This note brings together Schrodinger's second paper, Quantisation as an Eigenvalue Problem,
and the work of Andriy Bondarenko, Joaquim Ortega-Cerda, Danylo
Radchenko and Kristian Seip on the Hormander-Bernhardsson extremal
function. The modern preprint first appeared on 7 April 2025; the
version considered here is dated 23 January 2026 [2]. Schrodinger's paper ends with a different date: the manuscript was received by the journal on 23 February 1926 [1].
The comparison requires precision. In Schrodinger's paper we find the
free spherical rotor. In the modern problem we encounter a complex
perturbation of that rotor. The full perturbed operator has already been
studied in physics; what interests us here is its emergence from
extremality in analysis.
1. A paper that explains a way of seeing
The second paper occupies pages 489-527 of volume 79 of Annalen der Physik.
It both sets out a programme for a new mechanics and tests that
programme on concrete examples. It has three main parts: the
relationship between mechanics and optics; the passage from a
geometrical description to a wave description; and applications to the
oscillator and rotors [1].
The opening takes the reader back to Hamilton. The trajectories of a
mechanical system and the rays of geometrical optics obey related
variational principles. Yet a ray is an approximate description of
light. When diffraction matters, we need a wave, with its amplitude,
phase and spatial form. Schrodinger carries this question into
mechanics: might a trajectory likewise be an approximation to a fuller
wave description?
He does not conceal the fact that the familiar analogy does not yet
determine a unique wave equation. In particular, choosing a second-order
equation is motivated by simplicity and then tested on examples. This
is an important feature of the paper: a powerful idea comes with a clear
account of the choice being made.
The formulation of the problem itself begins to change. Instead of
searching for an individual path, one must study the collection of
admissible wave forms. The space on which those forms are defined
becomes part of the physical content.
2. The space of possible configurations
Schrodinger works in configuration space: a point in that space
specifies the complete configuration of the system. For a single body,
this may be ordinary three-dimensional space. For several bodies, we
need the coordinates of all of them. When constraints are present, the
configuration space may become a surface or another geometrical object.
Consider two different atoms joined by a bond of fixed length, and
for the moment disregard the motion of the molecule as a whole. Only the
direction of the bond changes. Its possible directions form the sphere
\(S^2\). This sphere describes the molecule's orientations; no material
spherical surface is needed.
Kinetic energy determines the geometry of configuration space. The
wave equation therefore contains the Laplacian associated with that
geometry. This is one of the paper's main lessons: the differential
operator expresses the structure of possible motion.
In modern notation, the free rotor has Hamiltonian
\[
\mathsf H_0=\frac{\hbar^2}{2I}(-\Delta_{S^2}),
\]
where \(I\) is the moment of inertia and \(\hbar\) is Planck's
constant divided by \(2\pi\). The prefactor sets the energy scale; the
Laplacian describes how the wave form changes between nearby
orientations.
3. From motion to form: three central examples
The wave packet. In the second part of the paper,
Schrodinger discusses how a superposition of waves forms a localised
group. At suitable scales, its motion approximates that of a classical
system. He distinguishes phase velocity from group velocity and
acknowledges the role of de Broglie's work. This account of the passage
to a classical description should not be read as a claim that an
arbitrary wave packet always retains its shape.
The oscillator. In the third part, Hermite functions
appear, along with energy levels now written as
\(E_k=\hbar\omega(k+\tfrac12)\). The ground-state energy is nonzero.
Schrodinger discusses the shapes of the eigenfunctions, their nodes, and
the interlacing of zeros of successive polynomials. This part is
especially familiar to a reader of approximation theory: well-known
orthogonal polynomials acquire a physical meaning.
The rotor. This example makes particularly clear why
the number of available directions cannot be reduced arbitrarily. With a
fixed axis, the configuration space is a circle and the energy levels
are proportional to \(k^2\). With a free axis, it is a sphere and the
levels are proportional to \(k(k+1)\). Even when an individual classical
motion looks simple, the wave problem must take account of the entire
space of permitted configurations.
Later, Schrodinger combines rotation and vibration in a diatomic
molecule. At the end of the paper, he turns to perturbation theory and
notes agreement between the first-order Stark effect and Epstein's
formula. Together, these examples demonstrate that the new programme
works, while preserving the distinction between exact solutions and
approximations [1].
4. The crucial passage: the free rotor and the form of the equation
For our comparison, the relevant passage is Section 3, item 3, "The rigid rotor with a free axis," on pages 520-522 of the original.
The main formulas are on page 521, equations (33)-(34'). Here
Schrodinger obtains the spherical wave equation and the spectrum
\(k(k+1)\) [1].
In modern notation, after dividing by the energy scale,
\[
-\Delta_{S^2}\psi=\lambda\psi,
\qquad
\lambda=\frac{2IE}{\hbar^2}.
\tag{1}
\]
Restrict attention to axisymmetric states: they depend on the polar
angle \(\theta\), but not on the azimuthal angle. Equation (1) then
becomes
\[
-\frac1{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}
\left(\sin\theta\frac{d\psi}{d\theta}\right)
=\lambda\psi.
\tag{2}
\]
With \(\xi=\cos\theta\) and \(g(\xi)=\psi(\theta)\), we obtain
\[
\boxed{
-\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right)
=\lambda g(\xi),\qquad -1<\xi<1.
}
\tag{3}
\]
It matters that we retain this divergence form: first a change in
\(g\), then the geometrical factor \(1-\xi^2\), then another
differentiation. This form explains both integration by parts and the
appearance of Legendre polynomials.
The factor vanishes at \(\xi=\pm1\), but these endpoints are the
poles of a sphere, not the walls of a container. The state must be
regular there; imposing zero values at both endpoints would define a
different problem. The regular solutions of (3) are Legendre
polynomials, with eigenvalues \(k(k+1)\).
At the end of this discussion, Schrodinger explicitly observes that
the level \(k=0\) corresponds to a nonzero constant function on the
sphere. Today we would describe the corresponding normalised state as
giving a uniform probability distribution over orientations. That is a
modern explanation; the probabilistic interpretation of the wave
function should not be attributed to this paper.
5. An equation arising from extremality
The modern problem concerns entire functions of exponential type at
most \(\pi\) that are integrable on the real axis. Subject to
\(f(0)=1\), one seeks to minimise \(\int_{\mathbb R}|f(t)|\,dt\).
Equivalently, one seeks the sharp constant \(\mathscr C\) in the
inequality \(|f(0)|\leq\mathscr C\|f\|_1\).
This comparison of norms belongs to the Akhiezer-Krein line of
extremal problems; the particular extremal function was studied by
Hormander and Bernhardsson. In [2], it is factorised as
\(\varphi(z)=\Phi(z)\Phi(-z)\), with alternating real zeros assigned to
the two factors. Theorem 1.1 gives a second-order equation for \(\Phi\).
We write it in the form
\[
z^2\Phi''+(2z-\alpha)\Phi'
+(b^2z^2-\lambda)\Phi=0,
\qquad
\alpha=\frac1{2\mathscr C},\quad b=\frac\pi2.
\tag{4}
\]
Here \(\Phi(0)=1\) and \(\lambda=-\alpha\Phi'(0)\); the latter
relation follows immediately by setting \(z=0\) in (4). Thus the
parameters of the equation are tied to the extremal function.
At first sight, (4) seems far removed from (3): its variable is
complex, and the coefficient of the highest derivative is \(z^2\).
However, in Section 4.2 the authors pass to a Fourier representation and
obtain a perturbed Legendre operator [2].
6. The exact comparison in the Fourier representation
To see how the transformation works, use the representation
\[
\Phi(z)=\int_{-1}^{1}g(\xi)e^{ibz\xi}\,d\xi.
\tag{5}
\]
Any normalising factor can be absorbed into \(g\). Differentiation
with respect to \(z\) becomes multiplication by \(ib\xi\).
Multiplication by \(z\) is transferred to differentiation with respect
to \(\xi\).
The pair of terms \(z^2\Phi''+2z\Phi'\) is especially significant:
together, they transform into a divergence-form operator. For regular
\(g\), the boundary term contains \(1-\xi^2\) and vanishes. The
resulting equation is
\[
\boxed{
-\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right)
-ia\xi g(\xi)=\lambda g(\xi),
\qquad a=\alpha b.
}
\tag{6}
\]
This is an exact transformation of the equation, with no limiting
procedure or asymptotic replacement. The representation and the operator
domain are justified in the spectral analysis of [2].
Compare the two forms. Equation (3) contains the free spherical
Laplacian. Equation (6) adds a linear imaginary potential. Since
\(\xi=\cos\theta\), that potential is proportional to the cosine of the
angle between an orientation and a chosen axis. For a real dipole in a
real field, the same angular dependence occurs with a real coefficient;
an imaginary coefficient takes the model into non-Hermitian quantum
mechanics.
The full operator (6) already appears in a 2013 paper by Katherine
Jones-Smith and Rudolf Kalveks. Their Hamiltonian
\(-\Delta_{S^2}+i\gamma\cos\theta\), restricted to the axisymmetric
sector, coincides with (6) when \(\gamma=-a\). The regularity conditions
at the poles also agree [3].
The zeros of the extremal function \(\varphi\) and its factor
\(\Phi\) must not, however, be identified with the zeros of the wave
function \(g\): these functions are related by Fourier transformation
and factorisation.
Reflection from north to south reverses the sign of \(\xi\), while
complex conjugation reverses the sign of \(i\). Together, the two
operations leave the operator invariant: this is the relevant \(PT\)
symmetry. It provides a framework for studying regions in which the
spectrum of a complex operator is real. Physicists vary the coupling
strength; the extremal problem ties the selected value to a sharp
constant.
7. The variational meaning: what connects the two problems
At the very beginning of his second paper, Schrodinger emphasises the
connection between the wave equation and a variational problem. Here,
the "principle of least action" should be understood as the principle of
stationary action: the first variation vanishes, although a minimum
need not exist.
The free spectral problem arises from stationarity of a quadratic
energy subject to a normalisation constraint. For (6), one can write the
complex quadratic functional
\[
\mathcal Q[g]=\frac12\int_{-1}^{1}
\left((1-\xi^2)(g')^2-ia\xi g^2-\lambda g^2\right)\,d\xi.
\tag{7}
\]
Integration by parts in the first variation of (7) gives (6). There
are no complex conjugates in this expression: the functional is complex,
and we are discussing stationarity rather than the minimum of a real
physical energy.
The original approximation problem uses a different functional: the
integral of the absolute value. For admissible real variations, its
first variation is determined by the sign of the extremal function. A
signature, orthogonality and nodes at which the sign changes arise
naturally here.
The common foundation is the compatibility of a function with all
permitted variations. A full explanation of the connection must
nevertheless trace how the condition of \(L^1\) extremality becomes a
spectral condition for the factor of half the exponential type. Merely
writing down the quadratic functional (7) does not accomplish this: it
does not yet explain why this particular extremal solution and this
particular parameter \(a\) are selected.
This distinction is especially important in the study of Favard's
problem on \(S^3\). The original operator acts on a three-dimensional
sphere, whereas the auxiliary rotor equation acts on \(S^2\).
Coincidence of the auxiliary operators does not replace a justification
of the spherical reduction or the sharpness of the constant. It gives us
a language in which to seek that justification.
For an accessible introduction to this sphere problem, its geometry,
harmonics, Green's function approach and signatures, see Yuriy Kryakin's
Favard on the Sphere \(S^3\). Part I: To Hear the Music of the Spheres.
That note introduces the question of estimating a function through its
Laplacian after the low harmonics have been removed, and outlines the
subsequent parts of the discussion.
8. What is worth remembering a hundred years later
Schrodinger's second paper leaves us with several guiding ideas that
are particularly close to our concerns. The geometry of configuration
space determines the operator. A wave form requires us to consider every
available direction. Regularity and global compatibility select the
eigenvalues. Orthogonal polynomials describe concrete states. A
variational principle connects form with equation. A simple model allows
a powerful idea to be tested and its limits to become visible.
For readers wishing to locate these passages in the original:
geometry and the optical analogy are in Section 1; wave groups and the
passage to the equation are in Section 2; the oscillator is discussed on
pages 514-519; the rotors on pages 519-522; and the diatomic molecule
and concluding remarks on perturbations on pages 522-527. These are the
journal's printed page numbers, not the page numbers of the PDF file.
A hundred years later, the paper retains its appeal through its way
of asking a question: first understand the space of possible states,
then find the equation and conditions that select compatible forms.
Approximation theory reaches a similar question through the demand for
the best possible inequality.
These general observations also apply to contemporary problems in
approximation theory. The geometry of the domain and the underlying
measure determine the operator, the moments and the admissible
variations. In sharp inequalities, best \(L^1\) approximation and
extremal problems for functions with a restricted spectrum, a signature
can certify optimality, while a spectral equation can help describe the
extremal form. The analogy becomes useful when we identify the actual
transformation, the boundary conditions and the criterion selecting the
solution. Those details allow ideas to move between problems and also
show where a proposed transfer still requires proof.
The meeting between mathematics and physics is particularly
convincing where an exact transformation can be displayed. The extremal
problem gives equation (4); its Fourier representation reveals operator
(6); and the free part of that operator is already present in
Schrodinger's treatment of the rotor. In this way, the history of an
idea acquires a verifiable mathematical content.
Sources
[1] E. Schrodinger. Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) [Quantisation as an Eigenvalue Problem (Second Communication)]. Annalen der Physik, 79 (1926), 489-527; volume 384 in the journal's continuous numbering. DOI: 10.1002/andp.19263840602. Original paper. The equations in this note are written in modern notation.
[2] A. Bondarenko, J. Ortega-Cerda, D. Radchenko, K. Seip. The Hormander-Bernhardsson extremal function. arXiv:2504.05205v2, 23 January 2026; first version, 7 April 2025. Theorem 1.1 and Section 4.2 are central to the comparison. Full text.
[3] K. Jones-Smith, R. Kalveks. Vector Models in PT Quantum Mechanics. arXiv:1304.5692, 2013. See Section 2, equations (5), (15), (17): a particle on a sphere and its axisymmetric sector.
[4] Y. Kryakin. Favard on the Sphere \(S^3\). Part I: To Hear the Music of the Spheres. An introduction to the spherical Favard problem and the accompanying series of notes.
Historical statements, the exact coincidence of operators, and
the open question of transferring variational conditions have different
statuses in this note. Its purpose is to make the connection
understandable and verifiable, while leaving room for further
investigation.
=========================================================
Historical note. An important precursor of the spherical model is the work of Carl M. Bender and R. J. Kalveks, Extending PT Symmetry from Heisenberg Algebra to E2 Algebra (2011; preprint 2010). They studied a quantum rotor on the circle with an imaginary cosine potential and explicitly proposed extensions to higher Euclidean algebras. Jones-Smith and Kalveks subsequently developed the spherical model in 2013. In the preface to his dissertation, Kalveks credits Bender with introducing him to PT-symmetric quantum mechanics and supervising his research, while tracing the proposal to investigate Euclidean algebras to discussions with Chris Isham.
======================================================
# Шрёдингер: 100 лет спустя
*Как волновая механика встречается с экстремальной задачей теории приближений*
В 1926 году Эрвин Шрёдингер предложил смотреть на движение через возможные формы волны. Сто лет спустя дифференциальный оператор сферического ротатора появляется в исследовании точной константы между нормами функций с ограниченным спектром. Физик спрашивает, какие состояния допускает система. Математик спрашивает, какая форма обеспечивает наилучшую оценку. Иногда оба вопроса приводят к одному спектральному семейству.
Повод для этой заметки - вторая статья Шрёдингера «Квантование как задача на собственные значения» и работа Андрия Бондаренко, Жоакима Ортеги-Серды, Даниила Радченко и Кристиана Сейпа об экстремальной функции Хёрмандера-Бернхардссона. Современный препринт впервые появился 7 апреля 2025 года; рассматриваемая версия датирована **23 января 2026 года** [2]. В конце статьи Шрёдингера стоит другая дата: рукопись получена редакцией **23 февраля 1926 года** [1].
Сопоставление требует точности. У Шрёдингера мы найдём свободный сферический ротатор. В современной задаче появляется его комплексное возмущение. Полный возмущённый оператор уже изучался в физике; интерес представляет его возникновение из экстремальности в анализе.
## 1. Статья, в которой объясняется способ видеть
Вторая статья занимает страницы 489-527 в 79-м томе *Annalen der Physik*. Это одновременно программа новой механики и проверка программы на конкретных примерах. Она состоит из трёх больших частей: связи механики с оптикой; перехода от геометрического описания к волновому; применения к осциллятору и ротаторам [1].
Начало возвращает читателя к Гамильтону. Траектории механической системы и лучи геометрической оптики подчиняются родственным вариационным принципам. Но луч - приближённое описание света. Когда существенна дифракция, нужна волна со своей амплитудой, фазой и пространственной формой. Шрёдингер переносит этот вопрос в механику: не является ли траектория таким же приближением к более полному волновому описанию?
Он не скрывает, что знакомая аналогия ещё не определяет единственного волнового уравнения. В частности, выбор уравнения второго порядка обосновывается стремлением к простоте и затем проверяется на примерах. Это важная черта работы: сильная идея сопровождается ясным указанием на сделанный выбор.
Здесь начинает меняться сама постановка задачи. Вместо поиска отдельного пути приходится изучать множество допустимых волновых форм. Пространство, на котором они определены, становится частью физического содержания.
## 2. Пространство возможных положений
Шрёдингер работает в конфигурационном пространстве: его точка задаёт полное положение системы. Для одного тела это может быть привычное трёхмерное пространство. Для нескольких тел нужны координаты всех тел. Для системы с ограничениями пространство может стать поверхностью или другой геометрической фигурой.
Возьмём два различных атома, соединённых связью постоянной длины, и пока забудем о перемещении молекулы как целого. Меняется только направление связи. Возможные направления образуют сферу $S^2$. Она описывает ориентации молекулы; поверхность материального шара здесь не требуется.
Кинетическая энергия задаёт геометрию конфигурационного пространства. Поэтому в волновом уравнении возникает лапласиан, соответствующий этой геометрии. Это один из главных уроков статьи: дифференциальный оператор выражает устройство возможного движения.
В современной записи свободный ротатор имеет гамильтониан
\[
\mathsf H_0=\frac{\hbar^2}{2I}(-\Delta_{S^2}),
\]
где $I$ - момент инерции, а $\hbar$ - постоянная Планка, делённая на $2\pi$. Множитель устанавливает масштаб энергии; лапласиан описывает изменение волновой формы между близкими ориентациями.
## 3. От движения к форме: три главных примера
**Волновой пакет.** Во второй части статьи Шрёдингер обсуждает, как суперпозиция волн образует локализованную группу. При подходящих масштабах её движение приближает движение классической системы. Он различает фазовую и групповую скорости и отмечает роль исследований де Бройля. Это объяснение перехода к классическому описанию не следует воспринимать как утверждение, что произвольный пакет всегда сохраняет свою форму.
**Осциллятор.** В третьей части появляются функции Эрмита и уровни, которые сегодня записывают как $E_k=\hbar\omega(k+\tfrac12)$. Нулевая энергия оказывается ненулевой. Шрёдингер обсуждает форму собственных функций, их узлы и разделение нулей соседних полиномов. Читателю теории приближений эта часть особенно близка: известные ортогональные полиномы приобретают физическое содержание.
**Ротатор.** Здесь особенно ясно видно, почему нельзя произвольно сокращать число доступных направлений. При закреплённой оси остаётся окружность и уровни, пропорциональные $k^2$. При свободной оси возникает сфера и уровни, пропорциональные $k(k+1)$. Даже если отдельное классическое движение выглядит простым, волновая задача должна учитывать всё пространство разрешённых положений.
Позднее Шрёдингер соединяет вращение и колебания двухатомной молекулы. В конце статьи он обращается к теории возмущений и отмечает согласие результата для эффекта Штарка первого порядка с формулой Эпштейна. Вместе эти примеры показывают работоспособность новой программы, сохраняя различие между точным решением и приближением [1].
## 4. Главное место: свободный ротатор и форма уравнения
Для нашего сопоставления нужно открыть **§ 3, пункт 3 «Жёсткий ротатор со свободной осью», страницы 520-522 оригинала**. Основные формулы находятся на странице 521, уравнения (33)-(34′). Здесь Шрёдингер получает сферическое волновое уравнение и спектр $k(k+1)$ [1].
В современных обозначениях после деления на масштаб энергии:
\[
-\Delta_{S^2}\psi=\lambda\psi,
\qquad
\lambda=\frac{2IE}{\hbar^2}.
\tag{1}
\]
Выберем осесимметричные состояния: они зависят от полярного угла $\theta$, но не от азимутального угла. Тогда (1) превращается в
\[
-\frac1{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}
\left(\sin\theta\frac{d\psi}{d\theta}\right)
=\lambda\psi.
\tag{2}
\]
После замены $\xi=\cos\theta$, $g(\xi)=\psi(\theta)$ получаем
\[
\boxed{
-\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right)
=\lambda g(\xi),\qquad -1<\xi<1.
}
\tag{3}
\]
Важно сохранить именно дивергентную форму: сначала изменение $g$, затем геометрический множитель $1-\xi^2$, затем ещё одно дифференцирование. Она объясняет и интегрирование по частям, и появление полиномов Лежандра.
Множитель исчезает при $\xi=\pm1$, но это полюса сферы, а не стенки сосуда. Требуется регулярность состояния; задавать нулевые значения на обоих концах было бы другой задачей. Регулярные решения (3) - полиномы Лежандра, а собственные значения равны $k(k+1)$.
В конце этого пункта Шрёдингер отдельно отмечает: уровню $k=0$ соответствует постоянная ненулевая функция на сфере. Сегодня мы описали бы такое нормированное состояние как равномерное распределение вероятностей по ориентациям. Это современное объяснение; закон вероятностной интерпретации волновой функции не следует приписывать данной статье.
## 5. Уравнение, пришедшее из экстремальности
Современная задача ставится для целых функций экспоненциального типа не выше $\pi$, интегрируемых на вещественной оси. При условии $f(0)=1$ нужно минимизировать $\int_{\mathbb R}|f(t)|\,dt$. Эквивалентно ищется точная константа $\mathscr C$ в оценке $|f(0)|\leq\mathscr C\|f\|_1$.
Это задача о соотношении норм, принадлежащая линии Ахиезера-Крейна; рассматриваемую экстремальную функцию изучали Хёрмандер и Бернхардссон. В работе [2] она факторизуется как $\varphi(z)=\Phi(z)\Phi(-z)$ с распределением чередующихся вещественных нулей между множителями. Теорема 1.1 даёт для $\Phi$ уравнение второго порядка.
Запишем его в форме
\[
z^2\Phi''+(2z-\alpha)\Phi'
+(b^2z^2-\lambda)\Phi=0,
\qquad
\alpha=\frac1{2\mathscr C},\quad b=\frac\pi2.
\tag{4}
\]
Здесь $\Phi(0)=1$ и $\lambda=-\alpha\Phi'(0)$; последняя связь сразу следует из (4) при $z=0$. Таким образом, параметры уравнения связаны с экстремальной функцией.
На первый взгляд (4) далеко от (3): переменная комплексная, а коэффициент при старшей производной равен $z^2$. Однако в § 4.2 авторы переходят к представлению Фурье и получают возмущённый оператор Лежандра [2].
## 6. Точное сопоставление в представлении Фурье
Чтобы увидеть механику перехода, используем запись
\[
\Phi(z)=\int_{-1}^{1}g(\xi)e^{ibz\xi}\,d\xi.
\tag{5}
\]
Нормировочный множитель можно включить в $g$. Дифференцирование по $z$ превращается в умножение на $ib\xi$. Умножение на $z$ переносится в дифференцирование по $\xi$.
Особенно существенна пара членов $z^2\Phi''+2z\Phi'$: вместе они переходят в дивергентный оператор. При регулярных $g$ граничный член содержит $1-\xi^2$ и исчезает. Получается
\[
\boxed{
-\frac{d}{d\xi}\left((1-\xi^2)g'(\xi)\right)
-ia\xi g(\xi)=\lambda g(\xi),
\qquad a=\alpha b.
}
\tag{6}
\]
Это точное преобразование уравнения, без предельного перехода или асимптотической замены. Представление и область определения оператора обосновываются в спектральном анализе [2].
Сравним формы. В (3) стоит свободный сферический лапласиан. В (6) к нему добавлен линейный мнимый потенциал. При $\xi=\cos\theta$ он пропорционален косинусу угла между ориентацией и выбранной осью. У реального диполя в реальном поле такая угловая зависимость возникает с вещественным коэффициентом; мнимый коэффициент переводит модель в неэрмитову квантовую механику.
Полный оператор (6) уже присутствует в работе Кэтрин Джонс-Смит и Рудольфа Кальвекса 2013 года. Их гамильтониан $-\Delta_{S^2}+i\gamma\cos\theta$ в осесимметричном секторе совпадает с (6) при $\gamma=-a$. Совпадают и условия регулярности в полюсах [3].
При этом нули экстремальной функции $\varphi$ и её множителя $\Phi$ нельзя отождествлять с нулями волновой функции $g$: эти функции связаны преобразованием Фурье и факторизацией.
Отражение север-юг меняет знак $\xi$, а комплексное сопряжение меняет знак $i$. Вместе эти операции сохраняют оператор: это соответствующая $PT$-симметрия. Она позволяет исследовать области вещественного спектра комплексного оператора. Физики варьируют силу воздействия; экстремальная задача связывает выбранное значение с точной константой.
## 7. Вариационный смысл: что объединяет две задачи
В самом начале второй статьи Шрёдингер подчёркивает связь волнового уравнения с вариационной задачей. Принцип «наименьшего действия» при этом следует понимать как принцип стационарного действия: первая вариация исчезает, хотя минимум может отсутствовать.
Свободная спектральная задача получается из стационарности квадратичной энергии при фиксированной нормировке. Для (6) можно записать комплексный квадратичный функционал
\[
\mathcal Q[g]=\frac12\int_{-1}^{1}
\left((1-\xi^2)(g')^2-ia\xi g^2-\lambda g^2\right)\,d\xi.
\tag{7}
\]
Интегрирование по частям в первой вариации (7) даёт (6). В этой записи нет комплексных сопряжений: функционал комплексный, и речь идёт о стационарности, а не о минимуме вещественной физической энергии.
У исходной задачи приближения функционал другой: интеграл абсолютной величины. Для вещественных допустимых вариаций его первая вариация определяется знаком экстремальной функции. Здесь естественно появляются сигнатура, ортогональность и узлы изменения знака.
Общая основа - согласованность функции со всеми разрешёнными изменениями. Но полноценное объяснение связи должно проследить, как условие $L^1$-экстремальности преобразуется в спектральное условие для половинного множителя. Одного наличия квадратичного функционала (7) для этого недостаточно: такой функционал ещё не объясняет выбор именно экстремального решения и параметра $a$.
В исследовании Фавара на $S^3$ это различие особенно важно. Исходный оператор действует на трёхмерной сфере, а вспомогательное уравнение ротатора - на $S^2$. Совпадение вспомогательного оператора не заменяет обоснования сферической редукции и точности константы. Оно даёт язык, в котором можно искать это обоснование.
## 8. Что стоит запомнить через сто лет
Вторая статья Шрёдингера оставляет несколько особенно близких нам ориентиров. Геометрия конфигурационного пространства определяет оператор. Волновая форма требует учитывать все доступные направления. Регулярность и глобальная согласованность выделяют собственные значения. Ортогональные полиномы описывают конкретные состояния. Вариационный принцип связывает форму с уравнением. Простая модель позволяет проверить сильную идею и увидеть границы её применимости.
Для читателя, который хочет найти эти места в оригинале: геометрия и оптическая аналогия находятся в § 1; волновые группы и переход к уравнению - в § 2; осциллятор - на страницах 514-519; ротаторы - на страницах 519-522; двухатомная молекула и заключительные замечания о возмущениях - на страницах 522-527. Здесь указана печатная пагинация журнала, а не номер страницы файла.
Через сто лет привлекательность работы сохраняется в её способе ставить вопрос: сначала понять пространство возможных состояний, затем найти уравнение и условия, которые выделяют согласованные формы. Теория приближений приходит к похожему вопросу через требование наилучшей оценки.
Их встреча становится особенно убедительной там, где можно показать точное преобразование. Из экстремальной задачи приходит уравнение (4); представление Фурье открывает в нём оператор (6); свободная часть этого оператора стоит в разделе о ротаторе у Шрёдингера. Так история идеи получает проверяемое математическое содержание.
### Источники
**[1]** E. Schrödinger. *Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung).* Annalen der Physik, 79 (1926), 489-527; в сквозной нумерации томов - 384. DOI: [10.1002/andp.19263840602](https://doi.org/10.1002/andp.19263840602). [Оригинал статьи](https://jeti.uni-freiburg.de/vorles_Theo_IV/schroedinger_II.pdf). Формулы в заметке приведены в современных обозначениях.
**[2]** A. Bondarenko, J. Ortega-Cerdà, D. Radchenko, K. Seip. *The Hörmander-Bernhardsson extremal function.* [arXiv:2504.05205v2](https://arxiv.org/abs/2504.05205v2), 23 января 2026; первая версия - 7 апреля 2025. Для сопоставления существенны теорема 1.1 и § 4.2. [Полный текст](https://arxiv.org/html/2504.05205v2).
**[3]** K. Jones-Smith, R. Kalveks. *Vector Models in PT Quantum Mechanics.* [arXiv:1304.5692](https://arxiv.org/abs/1304.5692), 2013. См. § 2, уравнения (5), (15), (17): частица на сфере и её осесимметричный сектор.
*Исторические формулировки, точное совпадение операторов и открытый вопрос о переносе вариационных условий имеют в этой заметке разный статус. Задача текста - сделать связь понятной и проверяемой, сохранив пространство для дальнейшего исследования.*
