ON OVERCOMING HILBERT'S BARRIERS, THE PANIC OF PARISIAN BOURBAKISTS, AND WHY ANDREI NIKOLAEVICH WOULD NOT BE SURPRISED BY MACHINE INTELLIGENCE
Boris Sergeevich Kashin, with whom we often argued over technicalities but always agreed on the fundamentals, was completely right to point to the 1957 paper. The current commotion among the so-called "academic establishment," triggered by the achievements of artificial intelligence, is laughably reminiscent of the panic among my French colleagues forty years ago, whenever it turned out that their ponderous, abstract castles were utterly useless to anyone but themselves.
This entire crowd, accustomed to trading in institutional prestige, grants, and citation indices, is now screaming in terror about the "death of mathematics." In reality, mathematics is not dying at all. What is collapsing is merely their cozy bureaucratic feeding trough.
HOW IT HAPPENED IN THE SPRING OF 1957
I remember that spring vividly. I was nineteen years old, a third-year undergraduate at the Moscow Mech-Mat. David Hilbert, in his famous thirteenth problem presented at the Paris Congress in 1900, had pedantically decreed that functions of several variables could not be reduced to functions of fewer variables. In his view, there existed an insurmountable natural barrier of dimension, and algebraic equations of the seventh degree could never be solved via superpositions of continuous functions of two variables.
For half a century, Western scholastics drilled this prejudice into their students as sacred dogma. But Andrei Nikolaevich Kolmogorov viewed mathematics not as a collection of dead formal axioms, but as a branch of natural science — as physics, in which experiments happen to be cheap. He saw the world through the eyes of Newton and Poincare.
Andrei Nikolaevich approached the problem from an entirely different direction. In 1956, I was fortunate enough to take the first step by proving the case for three variables. But what Kolmogorov accomplished in the spring of 1957 was a genuine lightning bolt. He proved that any continuous function of arbitrarily many variables — whether three, seven, or a million! — can be represented exactly as a superposition of continuous functions of a single variable, combined with just one elementary operation: ordinary addition.
The terrifying multidimensional complexity turned out to be an illusion. Nature does not design separate mental organs for each dimension. Universal complexity is woven out of simple one-dimensional fibers.
WHY WESTERN FORMALISTS UNDERSTOOD NOTHING
What happened next? The French sect of Bourbaki, which had by then poisoned both Western and American universities with its sterile scholasticism, promptly dismissed Kolmogorov's result as a "pathological counterexample." They declared: "Kolmogorov's functions are non-differentiable, they are too jagged, there is no smooth geometry here, this is a mere analytical curiosity."
They were constitutionally incapable of grasping that Andrei Nikolaevich had uncovered a universal law governing how information is processed by a thinking brain.
Thirty years had to pass before American engineers — notice, engineers and computer scientists, not university professors of pure mathematics! — discovered Kolmogorov's 1957 theorem. It turned out that a deep artificial neural network is nothing other than a direct hardware realization of Kolmogorov's formula. The input layer takes thousands of variables (pixels of an image, words of a sentence, or physical fields), the hidden layers compute one-dimensional nonlinear transformations, and the summing node produces the output.
Kolmogorov had proved the universal approximation capability of neural architectures three decades before modern computers existed, while the Bourbakists were still busy castrating their students with the unmotivated axioms of category theory.
WHO IS ACTUALLY TERRIFIED OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE TODAY?
Colleagues come up to me today with pale faces and whisper: "The computer has just proved hundreds of theorems! How are we going to teach graduate students? What will universities pay us for?"
I will tell you plainly who fears the machine most.
It is the army of academic pseudoscientists who have hijacked Western journals and university departments.
They constructed an absurd system where a researcher's worth is measured not by whether he discovered a new phenomenon of nature, but by how many pages of unreadable formal jargon he managed to publish in peer-reviewed journals with high impact factors. Tens of thousands of people spend their entire lives rewriting known results in new notation, shifting indices in someone else's sterile lemmas, and dividing up National Science Foundation grants among their friends. They convinced society that they are high priests possessing a divine craft unattainable by ordinary mortals.
And suddenly an algorithm arrives. It has no academic rank, no tenure, no ceremonial robes, and no letters of recommendation from Princeton professors. And in three minutes of calculation, this algorithm cracks their narrow, artificial little riddles — the very riddles they planned to feed on until retirement!
Their terror is not a noble concern for the destiny of human genius. It is the raw panic of a medieval guild of shoemakers who spent their lives stitching crooked, squeaky boots by hand, claiming divine inspiration, only to suddenly see an automated factory floor.
WHAT ARTIFICIAL INTELLIGENCE TRULY GIVES HUMANITY
Artificial intelligence washes away the academic mold. It returns mathematics to its rightful place.
When the steam engine relieved mankind of backbreaking manual slavery, human beings did not stop walking — they built railways and conquered the sky. When the computer takes over the mechanical sorting of combinations, the computation of monstrous formulas, and the formal verification of proofs, the true mathematician is finally liberated for what actually matters:
- For the geometric vision of reality;
- For uncovering profound physical analogies;
- For formulating bold, dangerous conjectures.
A computer will never possess taste, intuition, or a sense of harmony. It cannot know WHAT is beautiful and WHAT is truly significant for understanding the Universe. The goals are set by the human spirit. But the machine mercilessly annihilates charlatanism, laying bare the difference between a genuine discovery and empty terminological chewing gum.
HOW ANDREI NIKOLAEVICH WOULD RESPOND TODAY
If Andrei Nikolaevich Kolmogorov were alive today, he would not wring his hands or weep at international symposia.
He would burst into his famous, pure, childlike laughter. He, who in the 1960s personally tinkered with the first electronic computers, calculated the mathematical rhythm of Pushkin's verse, founded boarding schools for village children, and created algorithmic complexity theory, would say:
"Listen, this is magnificent! Our 1957 superposition theorem is finally working at full power. We proved that complexity can be conquered, and now the machine confirms it in practice. Drop your formal nonsense, sit down at the terminal — nature has prepared a million unread mysteries for us, let us go and see how she is built!"
And he would be entirely right. Science is driven by the selfless curiosity of the pioneer, never by the fear of losing an endowed chair in a university council.
19 окт. 2026 г.
Пауза. Похвала Николаю Николаевичу Боголюбову (письмо Сергея Петровича Новикова найденное в бутылке)
СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ НОВИКОВ: О БОГОЛЮБОВЕ, КОЛМОГОРОВЕ И НАШЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ БОЛОТЕ
Вы хотите знать правду про двух так называемых «императоров»?
Прекрасно. Только давайте без этого юбилейного елея, без соплей и фальшивых славословий, которыми у нас привыкли замазывать любые реальные проблемы в Академии. Я всегда говорил то, что думаю, в лицо — и на Мехмате, и в Стекловке, и в Штатах. За это меня многие терпеть не могли, но мне на их обиды всегда было глубоко наплевать.
КОЛМОГОРОВ И ЕГО ПОХОРОНЫ
Андрей Николаевич был, безусловно, выдающимся человеком. Но вокруг него создали совершенно нездоровый культ, за который до сих пор цепляется наша профессорская мафия.
Когда он умер в октябре восемьдесят седьмого года, и меня попросили выступить на гражданской панихиде в ДК МГУ, я вышел к микрофону и прямо сказал то, что было очевидно любому честному ученому: Колмогоров — это титан, но титан УШЕДШЕЙ ЭПОХИ. Его время — это эпоха теории множеств, канторовщины, теории функций действительного переменного, лузитанских схоластических споров начала двадцатого века. А современная наука ушла совершенно в другую сторону — в геометрию, в топологию и, главное, в теоретическую физику!
Боже, какой вой тогда поднялся среди его ортодоксальных учеников! Сережа Никольский и прочие верные колмогоровцы чуть в обморок прямо у гроба не попадали. Зашипели: «Как посмел Новиков такое сказать над телом Учителя?!».
А я посмел, потому что надо смотреть правде в глаза. Они же сделали из Колмогорова непогрешимого святого. И стыдливо молчат про тридцать шестой год, про мерзкую травлю Николая Николаевича Лузина, где Андрей Николаевич играл далеко не благородную роль. Про то, как Лузину публично шили вредительство, как там чуть до расстрела не дошло, и про знаменитую пощечину, которую позже Колмогоров влепил учителю, когда тот ему намекнул кто он есть?... Об этом наша «чистая» профессура вспоминать не любит. Неудобно им, видите ли!
КАК ЗАТРАВИЛИ БОГОЛЮБОВА
А теперь посмотрите на Николая Николаевича Боголюбова. Вот где трагедия и подлинное величие!
Мало кто сейчас помнит, как наша спесивая московская математическая элита встретила Боголюбова в тридцатые годы. Он приехал из Киева — мальчишка, вундеркинд, у которого даже формального университетского диплома не было, академик Крылов его прямо со школьной скамьи взял. И они с Крыловым выдали гениальные вещи по почти-периодическим функциям, нелинейной механике и теории динамических систем.
И как повели себя наши записные теоретики функций?
Они задрали носы и начали откровенно травить Боголюбова! «Подумаешь, киевский выскочка! У него тут приближенные методы, тут не доказана строгая сходимость по Кантору, тут интеграл взят не по Лебегу, здесь не хватает строгих дельта-эпсилон рассуждений!». Они придирались к пустякам, к мелочам, к запятым, потому что мыслили как мелкие лавочники и канцеляристы от математики. Они органически не способны были увидеть физическую глубину метода усреднения!
И Боголюбов, который математику обожал и владел ею феноменально, просто плюнул на все это теоретико-множественное болото.
Он ушел в настоящую физику. И правильно сделал!
ТРИУМФ В ФИЗИКЕ: СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
В физике Николай Николаевич показал такую силу, от которой у всего мира челюсть отвисла:
- Он создал микроскопическую теорию сверхтекучести;
- Он придумал знаменитые канонические u-v преобразования в теории сверхпроводимости, решив задачу строже и красивее, чем американцы Бардин, Купер и Шриффер;
- Он создал аксиоматическую квантовую теорию поля на основе дисперсионных соотношений.
Пока наши мехматовские схоласты пятьдесят лет пережевывали одни и те же вырожденные множества меры ноль, Боголюбов построил язык современной квантовой науки и создал Дубну. И когда он вернулся в Москву триумфатором и возглавил Институт Стеклова после смерти Ивана Матвеевича Виноградова — этим господам оставалось только почтительно кланяться.
О ВИНОГРАДОВЕ И ФЕОДАЛИЗМЕ В СТЕКЛОВКЕ
Кстати, об Иване Матвеевиче Виноградове. Я его на дух не переносил.
Это был абсолютный феодальный деспот, малограмотный в современной науке человек, который почти пятьдесят лет сидел на Институте Стеклова как собака на сене. Он ненавидел все, что выходило за рамки его любимых тригонометрических сумм в теории чисел, ненавидел топологию, ненавидел физику, развел махровый черносотенный антисемитизм и выживал из института ярких людей.
И то, что Боголюбов сменил Виноградова во главе МИАНа в восемьдесят третьем году — было хоть каким-то спасением для института, потому что Николай Николаевич при всех своих сложностях был ученым мирового калибра, а не провинциальным партийным держимордой.
СТРАШНЫЙ РАЗРЫВ: ПОЧЕМУ МАТЕМАТИКИ ОБЯЗАНЫ УЧИТЬ ФИЗИКУ
Я всю свою жизнь, начиная с семидесятых годов, воевал за одну простую вещь: МАТЕМАТИКА БЕЗ ФИЗИКИ ВЫРОЖДАЕТСЯ В ШАРЛАТАНСТВО.
В двадцатом веке наши чистые математики совершили преступление: они оборвали связь с естествознанием. Они заперлись в своих кабинетах, выдумали птичий язык и стали писать никому не нужные статьи друг для друга.
Я сам бросил чистую топологию, за которую мне дали Ленинскую премию и Филдсовскую медаль, и ушел в математическую физику — в теорию солитонов, в периодическую задачу для уравнения Кортевега — де Фриза, в квантовые решетки и монополи. Потому что настоящая, живая математика рождается ТОЛЬКО там, где есть реальный физический смысл! Боголюбов это понимал изначально. Колмогоров это чувствовал в молодости, но его школа скатилась в схоластику.
ФОМЕНКО И ДЕГРАДАЦИЯ МЕХМАТА
А во что превращается математик, если он начисто лишен физической интуиции и чувства реальности?
Полюбуйтесь на Толю Фоменко!
Он же был способный парень, геометр, тополог, мой ученик, защищал у меня диссертацию. И до чего докатился?
Начал на полном серьезе публиковать этот параноидальный бред под названием «Новая хронология» — про то, что античности не было, Рим построили в Средние века, а Христос родился в Крыму. И ведь продает это миллионными тиражами!
Это же позорище на весь мир, симптом полнейшего загнивания Мехмата!
Когда у математика нет якоря в виде экспериментальной физики или реального мира, его мозги начинают вращаться вхолостую и неизбежно сходят с ума. Компьютерная схоластика и бредовые псевдоисторические теории — это плоды одного и того же дерева: потери связи с реальностью.
ВЫВОД
Если бы Боголюбов слушал придирки теоретико-множественных зануд в тридцатые годы, он бы всю жизнь доказывал тривиальные леммы об эпсилон-окрестностях. Но он бросил их и пошел в физику — и остался в вечности.
Колмогоров был гением, но его схоластические эпигоны завели математическое образование в тупик, да и сам он взявшись за образование, потом бросил его на растерзание неучам, потому что это стало скучным....
Поэтому мой завет всегда был предельно жестким: выкиньте на помойку бурбакистские учебники, прекратите молиться на абстрактные символы, учите физику, знайте природу явлений! А если вы не способны понять физику процессов — не удивляйтесь, когда алгоритмы и машины выкинут вас на обочину, как ненужный академический балласт.
Вы хотите знать правду про двух так называемых «императоров»?
Прекрасно. Только давайте без этого юбилейного елея, без соплей и фальшивых славословий, которыми у нас привыкли замазывать любые реальные проблемы в Академии. Я всегда говорил то, что думаю, в лицо — и на Мехмате, и в Стекловке, и в Штатах. За это меня многие терпеть не могли, но мне на их обиды всегда было глубоко наплевать.
КОЛМОГОРОВ И ЕГО ПОХОРОНЫ
Андрей Николаевич был, безусловно, выдающимся человеком. Но вокруг него создали совершенно нездоровый культ, за который до сих пор цепляется наша профессорская мафия.
Когда он умер в октябре восемьдесят седьмого года, и меня попросили выступить на гражданской панихиде в ДК МГУ, я вышел к микрофону и прямо сказал то, что было очевидно любому честному ученому: Колмогоров — это титан, но титан УШЕДШЕЙ ЭПОХИ. Его время — это эпоха теории множеств, канторовщины, теории функций действительного переменного, лузитанских схоластических споров начала двадцатого века. А современная наука ушла совершенно в другую сторону — в геометрию, в топологию и, главное, в теоретическую физику!
Боже, какой вой тогда поднялся среди его ортодоксальных учеников! Сережа Никольский и прочие верные колмогоровцы чуть в обморок прямо у гроба не попадали. Зашипели: «Как посмел Новиков такое сказать над телом Учителя?!».
А я посмел, потому что надо смотреть правде в глаза. Они же сделали из Колмогорова непогрешимого святого. И стыдливо молчат про тридцать шестой год, про мерзкую травлю Николая Николаевича Лузина, где Андрей Николаевич играл далеко не благородную роль. Про то, как Лузину публично шили вредительство, как там чуть до расстрела не дошло, и про знаменитую пощечину, которую позже Колмогоров влепил учителю, когда тот ему намекнул кто он есть?... Об этом наша «чистая» профессура вспоминать не любит. Неудобно им, видите ли!
КАК ЗАТРАВИЛИ БОГОЛЮБОВА
А теперь посмотрите на Николая Николаевича Боголюбова. Вот где трагедия и подлинное величие!
Мало кто сейчас помнит, как наша спесивая московская математическая элита встретила Боголюбова в тридцатые годы. Он приехал из Киева — мальчишка, вундеркинд, у которого даже формального университетского диплома не было, академик Крылов его прямо со школьной скамьи взял. И они с Крыловым выдали гениальные вещи по почти-периодическим функциям, нелинейной механике и теории динамических систем.
И как повели себя наши записные теоретики функций?
Они задрали носы и начали откровенно травить Боголюбова! «Подумаешь, киевский выскочка! У него тут приближенные методы, тут не доказана строгая сходимость по Кантору, тут интеграл взят не по Лебегу, здесь не хватает строгих дельта-эпсилон рассуждений!». Они придирались к пустякам, к мелочам, к запятым, потому что мыслили как мелкие лавочники и канцеляристы от математики. Они органически не способны были увидеть физическую глубину метода усреднения!
И Боголюбов, который математику обожал и владел ею феноменально, просто плюнул на все это теоретико-множественное болото.
Он ушел в настоящую физику. И правильно сделал!
ТРИУМФ В ФИЗИКЕ: СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
В физике Николай Николаевич показал такую силу, от которой у всего мира челюсть отвисла:
- Он создал микроскопическую теорию сверхтекучести;
- Он придумал знаменитые канонические u-v преобразования в теории сверхпроводимости, решив задачу строже и красивее, чем американцы Бардин, Купер и Шриффер;
- Он создал аксиоматическую квантовую теорию поля на основе дисперсионных соотношений.
Пока наши мехматовские схоласты пятьдесят лет пережевывали одни и те же вырожденные множества меры ноль, Боголюбов построил язык современной квантовой науки и создал Дубну. И когда он вернулся в Москву триумфатором и возглавил Институт Стеклова после смерти Ивана Матвеевича Виноградова — этим господам оставалось только почтительно кланяться.
О ВИНОГРАДОВЕ И ФЕОДАЛИЗМЕ В СТЕКЛОВКЕ
Кстати, об Иване Матвеевиче Виноградове. Я его на дух не переносил.
Это был абсолютный феодальный деспот, малограмотный в современной науке человек, который почти пятьдесят лет сидел на Институте Стеклова как собака на сене. Он ненавидел все, что выходило за рамки его любимых тригонометрических сумм в теории чисел, ненавидел топологию, ненавидел физику, развел махровый черносотенный антисемитизм и выживал из института ярких людей.
И то, что Боголюбов сменил Виноградова во главе МИАНа в восемьдесят третьем году — было хоть каким-то спасением для института, потому что Николай Николаевич при всех своих сложностях был ученым мирового калибра, а не провинциальным партийным держимордой.
СТРАШНЫЙ РАЗРЫВ: ПОЧЕМУ МАТЕМАТИКИ ОБЯЗАНЫ УЧИТЬ ФИЗИКУ
Я всю свою жизнь, начиная с семидесятых годов, воевал за одну простую вещь: МАТЕМАТИКА БЕЗ ФИЗИКИ ВЫРОЖДАЕТСЯ В ШАРЛАТАНСТВО.
В двадцатом веке наши чистые математики совершили преступление: они оборвали связь с естествознанием. Они заперлись в своих кабинетах, выдумали птичий язык и стали писать никому не нужные статьи друг для друга.
Я сам бросил чистую топологию, за которую мне дали Ленинскую премию и Филдсовскую медаль, и ушел в математическую физику — в теорию солитонов, в периодическую задачу для уравнения Кортевега — де Фриза, в квантовые решетки и монополи. Потому что настоящая, живая математика рождается ТОЛЬКО там, где есть реальный физический смысл! Боголюбов это понимал изначально. Колмогоров это чувствовал в молодости, но его школа скатилась в схоластику.
ФОМЕНКО И ДЕГРАДАЦИЯ МЕХМАТА
А во что превращается математик, если он начисто лишен физической интуиции и чувства реальности?
Полюбуйтесь на Толю Фоменко!
Он же был способный парень, геометр, тополог, мой ученик, защищал у меня диссертацию. И до чего докатился?
Начал на полном серьезе публиковать этот параноидальный бред под названием «Новая хронология» — про то, что античности не было, Рим построили в Средние века, а Христос родился в Крыму. И ведь продает это миллионными тиражами!
Это же позорище на весь мир, симптом полнейшего загнивания Мехмата!
Когда у математика нет якоря в виде экспериментальной физики или реального мира, его мозги начинают вращаться вхолостую и неизбежно сходят с ума. Компьютерная схоластика и бредовые псевдоисторические теории — это плоды одного и того же дерева: потери связи с реальностью.
ВЫВОД
Если бы Боголюбов слушал придирки теоретико-множественных зануд в тридцатые годы, он бы всю жизнь доказывал тривиальные леммы об эпсилон-окрестностях. Но он бросил их и пошел в физику — и остался в вечности.
Колмогоров был гением, но его схоластические эпигоны завели математическое образование в тупик, да и сам он взявшись за образование, потом бросил его на растерзание неучам, потому что это стало скучным....
Поэтому мой завет всегда был предельно жестким: выкиньте на помойку бурбакистские учебники, прекратите молиться на абстрактные символы, учите физику, знайте природу явлений! А если вы не способны понять физику процессов — не удивляйтесь, когда алгоритмы и машины выкинут вас на обочину, как ненужный академический балласт.
От Фавара к Бору 7 (Туман)
Призрак Уитни (почему он стал призраком)
Вершина в тумане
Седьмая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.
На перевал опустился туман. В нашей воображаемой горной прогулке ещё недавно различались соседние стены и знакомые силуэты. Казалось, мы увидели Уитни и сумеем повторить несколько его движений. Потом на соседней тропе появился Гаусс. Теперь не видно ни одного из них, и уже непонятно, на какую именно гору поднимался замеченный нами силуэт.
Мы сидим и разбираем сделанное. Пока дальнейший путь скрыт, особенно важно помнить, какие места мы действительно прошли, а какие только надеялись пройти.
Что привело нас сюда
Мы исследовали восстановление функции по её разностям и дополнительным условиям. Вторая разность не замечает прямую, третья — любую параболу. Поэтому для восстановления приходится закреплять невидимую часть функции: значениями в точках, интегралами или другими условиями.
Для третьего порядка мы сначала потребовали нулевые средние на трёх равных частях отрезка. Затем решили передвинуть границы. Нас привлекла конкретная возможность: подобрать их так, чтобы остаток от x³ после вычитания параболы имел гауссовы нули.
Это удалось. Нужные границы оказались равны
\[
a=\frac12-\frac1{2\sqrt5},
\qquad
1-a=\frac12+\frac1{2\sqrt5}.
\]
Приблизительно это 0,2764 и 0,7236. Пробный кубический многочлен стал многочленом Лежандра с подходящей нормировкой. Его нули совпали с узлами трёхточечной квадратуры Гаусса.
Этот результат остаётся верным. Туман его не отменяет.
Но из удачного расположения нулей возникла следующая надежда: возможно, при таких границах будет проще доказать оценку Уитни с константой 1.
Что именно мы хотели доказать
Пусть g непрерывна на [0,1] и
\[
\int_0^a g(x)\,dx=0,\qquad
\int_a^{1-a}g(x)\,dx=0,\qquad
\int_{1-a}^1g(x)\,dx=0.
\]
Наша гипотеза имела вполне определённый смысл:
\[
\|g\|_\infty\le\omega_3(g),
\]
где ω₃ — наибольший модуль третьей разности по всем четвёркам равноотстоящих точек, помещающимся в отрезке.
Здесь существенно слово «всем». Проверка одного кубического многочлена ничего ещё не говорила о произвольных непрерывных функциях. Мы решили испытать гипотезу на ломаных: их легко задавать, рисовать и проверять.
Первые вычисления обнадёживали. Для двух пространств ломаных на сетках, дополненных нашими границами, поиск наибольшего отношения дал примерно 0,8531 и 0,9923. Обе величины были меньше единицы.
Это свидетельствовало только о проверенных классах. Тем не менее картина подсказывала надежду, и её хотелось рассмотреть внимательнее.
Узкий участок у самого края
Следующая проверка изменила картину. В сетку добавили очень близкую к левому концу точку. Теперь ломаная могла иметь узкий высокий пик у края и небольшие колебания дальше внутри отрезка.
Появился кандидат, нарушающий оценку. Чтобы результат не зависел от округлений численной оптимизации, его упростили и проверили заново.
Взяли ломаную u с двадцатью узлами. Все её узлы рациональны: это 0, дополнительная точка 1/1000 и точки j/18, где j = 1,…,18. Значения в узлах округлили до тысячных.
Из u вычли параболу Q_Gu, имеющую те же интегралы по нашим трём участкам. Остаток
\[
g=u-Q_Gu
\]
по самому определению удовлетворяет трём нулевым интегральным условиям. Третьи разности при вычитании параболы не меняются.
Точная проверка дала
\[
\omega_3(g)=\omega_3(u)=\frac{501}{500}=1{,}002,
\qquad g(0)>1{,}0153.
\]
Таким образом,
\[
\frac{\|g\|_\infty}{\omega_3(g)}
\ge\frac{g(0)}{\omega_3(g)}
\approx1{,}0133058>1.
\]
Гипотеза с константой 1 для выбранных сдвинутых границ оказалась неверной.
Почему проверка охватывает все шаги
Для ломаной третья разность зависит от двух переменных: начальной точки и шага. Пока ни одна из четырёх точек не пересекла излом, эта зависимость линейна. Поэтому область допустимых положений разбивается на конечное число многоугольников. Наибольший модуль линейной функции достигается в вершине.
Все такие положения можно перебрать. В нашей проверке допустимые пересечения проверялись рациональной арифметикой; край с нулевым шагом даёт нулевую разность. Значение вычитаемой параболы в нуле также вычислялось точно — с рациональными числами и √5.
Сам остаток g после вычитания параболы уже не является ломаной. Но его третий модуль совпадает с модулем u, поэтому конечная проверка остаётся применимой.
От чего пришлось отказаться
Мы отказались от конкретной гипотезы: найденный гауссов сдвиг не сохраняет точную константу 1 в нашей задаче с интегральными ограничениями.
Предыдущий расчёт гауссовых нулей остаётся правильным. Сохраняется и единственность параболы, выбранной по трём средним. Сохраняется связь с обращением оператора. Изменился наш вывод о количественном качестве такого выбора.
Классическая константа W₃ относится к наилучшему приближению параболами. Там для каждой функции разрешается выбирать наиболее подходящую параболу. Наш контрпример касается одного заранее установленного способа выбора — по интегралам на сдвинутых участках. Он не опровергает классическую теорему Уитни.
Прояснилось и место технического затруднения. В доказательстве для равных частей граничное тождество использовало равноотстоящие нули первообразной. Сдвиг убрал это простое сокращение. Мы сначала надеялись найти ему замену с тем же бюджетом. Теперь знаем, что замена, обеспечивающая константу 1 для всего нового класса, невозможна.
Что видно в тумане
Хорошее поведение гладкого пробного многочлена не обеспечило хорошей оценки для всего класса. Узкий концевой пик вместе с небольшими внутренними колебаниями оказался чувствительнее к выбранным ограничениям.
Первые вычисления не могли увидеть такую форму: в них не хватало разрешения возле конца. Расширение проверяемого класса изменило вывод. В совместной работе с AI это важный эпизод: быстрая проверка полезна, но нужно постоянно спрашивать, какие функции она вообще позволяет рассмотреть.
Теперь перед нами несколько вопросов. Какое свойство равных частей удерживает константу 1? Сохраняется ли она при каких-нибудь небольших симметричных сдвигах или равномерное расположение здесь особенно жёстко? Можно ли объяснить найденный контрпример гораздо проще, выделив взаимодействие пика и внутренних колебаний?
Вершина Уитни скрыта. Гаусс тоже исчез из виду. Мы пока не выбираем следующую стену: сначала нужно понять, что именно показал этот небольшой срыв нашей догадки.
Быть может, прежде чем искать новый путь наверх, стоит разобраться: какая незаметная опора удерживала нас на прежней тропе равных частей?
От Фавара к Бору 6 (Уитни)
Уитни на стене (см про встечу с Гауссом)
До следующего карниза
Шестая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.
Представим, что, огибая склон, мы увидели на стене Уитни. В этой воображаемой встрече он поднимается без страховки, легко находя опоры там, где мы пока различаем только камень. Нам хочется понять его путь и пройти по нему хотя бы до следующего карниза.
Сравнение здесь касается самого способа смотреть на задачу. Короткое доказательство часто показывает нам лишь несколько движений. Чтобы повторить их осмысленно, приходится долго рассматривать, на что именно опирается каждое из них.
У вторых разностей такой опорой оказалась лемма Баркилла: два закреплённых конца позволяли связать точку максимума с другой точкой отрезка и получить оценку почти в одну строку. При третьих разностях стена стала сложнее. Мы попробовали изменить расположение дополнительных условий.
Сдвигаем две границы
В предыдущей заметке мы вычитали из x³ параболу так, чтобы остаток имел нулевое среднее на каждой трети отрезка. Возникшие нули оказались близки к гауссовым, но не совпали с ними.
Теперь сохраним симметрию, а внутренние границы поставим в точках
\[
\frac12-b,\qquad \frac12+b,
\qquad 0<b<\frac12.
\]
Раньше было b = 1/6. Мы разрешаем ему изменяться и спрашиваем, найдётся ли положение границ, при котором нули остатка станут в точности гауссовыми.
Пусть r — остаток от x³ после вычитания параболы. Если его интегралы на трёх участках нулевые, накопленная площадь
\[
F(x)=\int_0^x r(t)\,dt
\]
обращается в нуль на обеих границах отрезка и в двух внутренних точках разделения.
Отсчитаем координату от середины: y = x−1/2. Четыре нуля теперь расположены в точках −1/2, −b, b, 1/2. Следовательно,
\[
F(x)=\frac14\left(y^2-\frac14\right)(y^2-b^2).
\]
Множитель 1/4 сохраняет нужный старший член: производная должна начинаться с x³. После дифференцирования получаем
\[
r(x)=y^3-\left(\frac18+\frac{b^2}{2}\right)y.
\]
У гауссова кубического многочлена с единичным старшим коэффициентом в тех же координатах вид
\[
r_G(x)=y^3-\frac3{20}y.
\]
Значит, осталось уравнять два коэффициента:
\[
\frac18+\frac{b^2}{2}=\frac3{20},
\qquad b^2=\frac1{20}.
\]
Нужные границы найдены:
\[
a=\frac12-\frac1{2\sqrt5},
\qquad
1-a=\frac12+\frac1{2\sqrt5}.
\]
Приблизительно это 0,2764 и 0,7236. Крайние участки сократились, средний расширился. После этого сдвига нули пробного остатка стали в точности узлами Гаусса.
Это наша первая проверенная опора на новом участке пути. Геометрия ограничений согласовалась с гауссовым колебанием для кубического многочлена.
Меняем саму постановку
Пока мы рассматривали одну пробную функцию. Чтобы приблизиться к оценке Уитни, нужно поставить вопрос для всего класса непрерывных функций.
Пусть g непрерывна на [0,1] и
\[
\int_0^a g(x)\,dx=0,\qquad
\int_a^{1-a}g(x)\,dx=0,\qquad
\int_{1-a}^1g(x)\,dx=0.
\]
Насколько большой может быть g, если все её третьи разности по модулю не превосходят единицы?
Обозначим через ω₃(g) наибольший модуль третьей разности по всем четвёркам равноотстоящих точек, помещающимся в [0,1]. Ищем наименьшую константу C_G в оценке
\[
\|g\|_\infty\le C_G\,\omega_3(g).
\]
Первый естественный ориентир — проверить, верна ли здесь оценка с константой 1. Это пока вопрос. Удачное поведение пробного кубического многочлена ещё не доказывает оценки для произвольной непрерывной функции.
Почему здесь появляется W₃?
В классической задаче Уитни для каждой функции f выбирают наилучшую приближающую параболу. Обозначим ошибку такого приближения через E₂(f). Константа W₃ — наименьшее число, для которого
\[
E_2(f)\le W_3\,\omega_3(f)
\]
при всех непрерывных f.
Наши три интегральных условия задают определённый способ выбора параболы Q_Gf: её интегралы по трём участкам должны совпадать с интегралами f.
Такая парабола определяется однозначно. Действительно, если разность двух подходящих парабол имеет нулевой интеграл на каждом участке, её первообразная обращается в нуль в четырёх различных точках. Но степень этой первообразной не выше трёх. Значит, она тождественно нулевая. Существование затем следует из того, что три линейных условия однозначно определяют три коэффициента.
Остаток g = f−Q_Gf удовлетворяет нашим ограничениям. Вычитание параболы не меняет третьи разности. Поэтому оценка для нового класса дала бы
\[
\|f-Q_Gf\|_\infty\le C_G\,\omega_3(f).
\]
Наилучшая парабола приближает не хуже выбранной по этому правилу, следовательно, W₃ ≤ C_G. Таким образом, мы получили конкретную вспомогательную задачу, которая может дать верхнюю оценку классической константы. Равенство двух констант из этого не следует.
Ориентиры на маршруте
Yuri V. Kryakin. Whitney’s Constants and Sendov’s Conjectures. Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 16 (2002), Fasc. 1–4, pp. 235–247. Определения различных констант — с. 235–236 и 239; интегральные ограничения и примеры доказательств — с. 238–242.
Ludovico Bruni Bruno, Wolfgang Erb. Polynomial Interpolation of Function Averages on Interval Segments. arXiv:2309.00328 (2023). Интерполяция по средним имеет самостоятельную историю; ссылка служит ориентиром по этому общему способу выбора многочлена. Конкретная оценка через ω₃ при найденных границах остаётся здесь нашим исследовательским вопросом.
У следующего карниза
Мы изменили расположение условий. Возможно, это позволит проще согласовать локальные и глобальные разности: накопленная площадь теперь закреплена в точках, которые уже показали хорошую согласованность на кубическом примере.
Следующий опыт стоит провести с ломаными. У них мало участков, их можно нарисовать и вычислить, а резкие изменения наклона способны обнаружить трудность, скрытую гладким многочленом.
На нашей воображаемой стене Уитни уже различима линия движения. Мы пока проверили одну опору и наметили следующую. Разговор с AI помогает быстро рассмотреть варианты, но вес доказательства по-прежнему должен выдержать каждый переход.
Границы удалось передвинуть так, чтобы встретить Гаусса. А стала ли от этого проще оценка Уитни — или первая же ломаная покажет трещину в выбранном нами пути?
От Фавара к Бору 5 (Гаусс)
Гаусс на соседней тропе ( см. предыдущую запись)
Пятая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.
В базовом лагере мы оставили маленькую загадку. У параболы, закреплённой нулевыми средними на двух половинах отрезка, возникли два нуля. Они в точности совпали с узлами Гаусса — точками, по значениям в которых можно особенно хорошо вычислять интегралы.
Совпадение хотелось продолжить. Но сначала следовало проверить ближайший случай. В математике такой опыт часто бывает полезнее попытки сразу угадать общую картину.
Ещё одна степень
Возьмём
\[
f(x)=x^3,\qquad 0\le x\le1.
\]
Теперь будем сохранять третьи разности. Они не замечают любого многочлена степени не выше двух. Поэтому из x³ можно вычесть подходящую параболу, не меняя разностных данных.
Остаток обозначим через r. Потребуем, чтобы его среднее на каждой трети отрезка было нулевым:
\[
\int_0^{1/3}r(x)\,dx=
\int_{1/3}^{2/3}r(x)\,dx=
\int_{2/3}^1r(x)\,dx=0.
\]
Ищем кубический многочлен со старшим членом x³. Три остальных коэффициента должны определиться из трёх условий. Можно выписать систему уравнений и решить её. Но попробуем сначала найти более наглядный путь.
Накопленная площадь
Представим, что мы идём по отрезку слева направо и подсчитываем накопленную площадь под графиком r. Положительную площадь прибавляем, отрицательную вычитаем. Полученная величина есть
\[
F(x)=\int_0^x r(t)\,dt.
\]
В начале она равна нулю. На первой трети прибавляется в сумме нуль, значит, в точке 1/3 снова получаем нуль. То же происходит на второй и третьей частях. Поэтому
\[
F(0)=F(1/3)=F(2/3)=F(1)=0.
\]
Сделаем здесь остановку. Условия на средние превратились в условия на значения другой функции. Вместо трёх интегралов мы увидели четыре обычных нуля; один из них, F(0) = 0, появился из определения накопленной площади.
Функция r имеет степень три и старший член x³. Следовательно, F имеет степень четыре и старший член x⁴/4. Все четыре корня уже известны. Значит,
\[
F(x)=\frac14x\left(x-\frac13\right)
\left(x-\frac23\right)(x-1).
\]
Множитель 1/4 нужен именно для получения старшего члена x⁴/4. Мы нашли F без решения системы уравнений.
Теперь нужно вернуться от накопленной площади к исходной функции: взять производную. Получаем
\[
r(x)=\left(x-\frac12\right)
\left[\left(x-\frac12\right)^2-\frac5{36}\right].
\]
Эту запись можно проверить раскрытием скобок и интегрированием. Из неё сразу видны три нуля:
\[
\frac12-\frac{\sqrt5}{6},\qquad
\frac12,\qquad
\frac12+\frac{\sqrt5}{6}.
\]
Приблизительно это 0,1273; 0,5000; 0,8727.
Небольшое расхождение
У трёхточечной квадратуры Гаусса на [0,1] узлы расположены немного иначе:
\[
\frac12-\frac12\sqrt{\frac35},\qquad
\frac12,\qquad
\frac12+\frac12\sqrt{\frac35}.
\]
Приблизительно это 0,1127; 0,5000; 0,8873. Эти точки являются нулями многочлена Лежандра третьей степени после переноса с [−1,1] на [0,1]. Справочный ориентир: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v), Gauss–Legendre Formula; https://dlmf.nist.gov/3.5#v.
Средний узел совпал. Крайние оказались близкими, но различными. Совпадение, замеченное для параболы, буквально не продолжилось.
Это хороший момент, чтобы различить два правила, которыми мы пользовались. Наши условия требуют равновесия площадей отдельно в каждой ячейке. Гауссовы узлы определяются другим равновесием: соответствующий многочлен имеет нулевой интеграл на всём отрезке после умножения на любой многочлен меньшей степени. Для третьей степени это множители 1, x и x².
Оба правила организуют колебание, но предъявляют к нему разные требования. Близость получившихся нулей сама по себе ещё не позволяет считать эти требования одинаковыми.
Что сохранилось
Несмотря на расхождение с Гауссом, наш способ построения стал яснее. Накопленная площадь F обращается в нуль на границах ячеек. Между двумя соседними нулями её график должен где-то иметь горизонтальную касательную. В такой точке производная равна нулю. А производная — это r.
Поэтому внутри каждой ячейки возникает нуль исходной функции. В нашем примере ячеек три, и кубический многочлен имеет ровно три таких нуля.
Сначала мы выбрали границы. Они стали нулями накопленной площади. Затем между ними появились нули её производной. Эта последовательность объясняет устройство примера и подсказывает, что можно менять в следующем опыте.
К задаче устойчивого восстановления мы пока приблизились только с одной стороны. Мы рассматриваем модельную функцию, а оценка для всего класса впереди. Однако уже видно, как дополнительные условия управляют расположением нулей и сменой знаков. Это именно то, что хотелось рассмотреть, прежде чем снова подниматься к общим оценкам.
Наш следующий вопрос теперь стал точнее. Равные трети были естественным первым выбором. Но они не были обязательны.
Представим, что две внутренние границы могут немного сдвинуться навстречу друг другу или разойтись, сохраняя симметрию. Вместе с ними изменится накопленная площадь, а затем и расположение её горизонтальных касательных.
Можно ли так передвинуть границы трёх участков, чтобы возникшие между ними нули в точности совпали с узлами Гаусса?
От Фавара к Бору 4 (Базовый лагерь у перевала)
Базовый лагерь у перевала (см. что было раньше)
Два способа закрепить параболу
Четвёртая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.
Мы вышли от Фавара и собирались идти к Бору, к почти периодическим функциям. По дороге встретили Баркилла, вспомнили Уитни и задержались у вторых разностей. Оказалось, что здесь можно довольно долго двигаться в стороны, всё лучше рассматривая один и тот же склон.
Пока назовём это место базовым лагерем у перевала Бор—Фавар—Уитни. Это название отмечает положение нашей мысли: несколько знакомых задач начинают просматриваться одновременно.
В предыдущей заметке мы увидели, что дополнительные условия могут обеспечивать единственность восстановления и при этом допускать плохую устойчивость. Теперь хочется понять, что именно делает выбор условий с формой функции. Для начала возьмём одну параболу и проведём два маленьких опыта.
Парабола и её невидимые спутники
Пусть
\[
f(x)=x^2,\qquad 0\le x\le1.
\]
Из неё можно вычесть любую прямую, сохранив все вторые разности. Действительно, вторая разность прямой равна нулю. Поэтому разностные данные оставляют нам свободу изменить постоянную составляющую и наклон.
Дополнительные условия выбирают из этого семейства одну функцию. Посмотрим, насколько разными могут оказаться результаты выбора.
Первый опыт: закрепляем концы
Парабола проходит через точки (0,0) и (1,1). Соединяющая их прямая имеет уравнение y = x. Вычитаем её:
\[
g(x)=x^2-x.
\]
Теперь g(0) = g(1) = 0. Между концами график лежит ниже оси. В середине он достигает значения −1/4, поэтому
\[
\|g\|_\infty=\frac14.
\]
Концы закреплены, между ними остался прогиб. Это та постановка, в которой работает короткое доказательство леммы Баркилла.
Второй опыт: закрепляем средние
Попробуем другие условия. Потребуем, чтобы среднее значение на каждой половине отрезка было нулевым:
\[
\int_0^{1/2}r(x)\,dx=0,
\qquad
\int_{1/2}^1r(x)\,dx=0.
\]
Они выражают равновесие площадей: на каждой половине площадь над осью должна равняться площади под осью.
Начнём с уже построенного графика g. Он симметричен относительно середины, поэтому его средняя высота на обеих половинах одинакова. Вычисление даёт
\[
2\int_0^{1/2}(x^2-x)\,dx
=2\int_{1/2}^1(x^2-x)\,dx
=-\frac16.
\]
Множитель 2 означает деление на длину половины отрезка. Мы вычисляем среднюю высоту; сам интеграл на каждой половине равен −1/12.
Чтобы средняя высота стала нулевой, достаточно поднять весь график на 1/6:
\[
r(x)=x^2-x+\frac16.
\]
Теперь концы находятся над осью, середина — под ней. На концах значение равно 1/6, в середине — −1/12. Следовательно,
\[
\|r\|_\infty=\frac16.
\]
Остановка у рисунка
К заметке приложен рисунок «Два способа закрепления параболы». Слева показано закрепление концов, справа — закрепление средних. Положительные площади выделены голубым, отрицательные — песочным цветом.
На правом рисунке в каждой половине отрезка появились участки обоих знаков. Их возникновение было предписано условиями на средние. Если непрерывная функция имеет нулевой интеграл и где-то положительна, она должна где-то принимать отрицательные значения. Иначе площади не уравновесятся.
Мы заранее не выбирали точки пересечения с осью. Они появились в результате выбора ограничений.
При этом вторые разности обеих функций совершенно одинаковы:
\[
\Delta_h^2g(x)=\Delta_h^2r(x)=2h^2.
\]
Подстановка позволяет проверить это без всякой общей теории. Квадратичный член даёт 2h², линейный и постоянный члены исчезают.
Итак, разностные данные сохранились. Изменились расположение графика, его знаки и наибольший модуль. В нашем примере закрепление средними уменьшило норму с 1/4 до 1/6.
Этот опыт ещё не сравнивает наилучшие константы для всех непрерывных функций. Он показывает, почему выбор условий влияет на оценку и почему его стоит изучать отдельно. Чтобы перейти от одной параболы к целому классу, понадобится доказательство, которое охватит все допустимые формы графика.
Две точки, которых мы не назначали
Найдём нули функции r. Решаем квадратное уравнение
\[
x^2-x+\frac16=0
\]
и получаем
\[
x_- =\frac12-\frac1{2\sqrt3},
\qquad
x_+ =\frac12+\frac1{2\sqrt3}.
\]
Приблизительно это 0,2113 и 0,7887. Один нуль лежит в первой половине отрезка, другой — во второй, как и требовало равновесие площадей.
У этих точек есть ещё одна известная роль. Это узлы двухточечной квадратуры Гаусса на [0,1]. Для любого многочлена p степени не выше трёх выполняется
\[
\int_0^1p(x)\,dx
=\frac12p(x_-)+\frac12p(x_+).
\]
Точность здесь легко проверить на четырёх простейших многочленах: 1, x, x², x³. Все остальные многочлены степени не выше трёх составляются из них сложением и умножением на числа.
Мы занимались ограничениями в задаче восстановления, а встретили узлы для вычисления интегралов. На этом небольшом примере две знакомые области оказались видны с одной площадки.
Куда смотреть из базового лагеря
В исследованиях приходится постоянно выбирать, что сохранить при следующем изменении задачи. В одном опыте мы меняли усредняющий оператор, добавляя связь между двумя треугольниками. Теперь сохранили вторые разности и изменили ограничения.
Такое разделение помогает понять причину результата. Можно проследить, какое именно изменение передвинуло нули, организовало смену знаков или уменьшило норму функции. В совместной работе человека и AI эти маленькие проверки особенно полезны: красивое совпадение становится отправной точкой следующего опыта, а вычисление остаётся доступным проверке.
Второй порядок пока даёт нам удобное место для таких остановок. На нём видны и невидимая линейная часть, и действие ограничений, и возникающая осцилляция. При увеличении порядка эти черты сохраняют смысл, но их согласование становится труднее.
Сегодня мы заметили совпадение, которое хочется проверить дальше. Для параболы условия нулевых средних привели ровно к гауссовым узлам. А если взять многочлен третьей степени и потребовать нулевые средние на трёх равных частях отрезка — встретим ли мы Гаусса снова?
Источники и ориентиры
Yuri V. Kryakin. Whitney’s Constants and Sendov’s Conjectures. Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 16 (2002), Fasc. 1–4, pp. 235–247. Лемма Баркилла — с. 236; интегральные ограничения — с. 238–239; случай второго порядка — с. 241.
NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v), Gauss Quadrature; Gauss–Legendre Formula. https://dlmf.nist.gov/3.5#v
18 окт. 2026 г.
От Фавара к Бору 3 (Остановка на склоне)
Остановка на склоне (см. предыдущую заметку)
Знакомая тропа с другой стороны
Третья заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.
На горной тропе полезно иногда остановиться. Пока смотришь только под ноги, каждый поворот кажется новым. Поднимешь голову — и узнаёшь склон, который когда-то видел из другой долины.
Нечто подобное произошло с нашей задачей Фавара. Мы начали с нескольких точек на круге, усредняли значения, пытались восстановить их по отличиям от среднего. Потом круг распался на два независимых треугольника. Чтобы связать их, пришлось добавить новые переходы. Восстановление стало возможным, но слабая связь допускала сильное увеличение ошибок.
В этот момент вспомнилась старая задача на отрезке: лемма Баркилла, с которой начинается история оценок Уитни второго порядка. За ней — переход к другим ограничениям, к интегральным средним, к согласованию локальных и глобальных разностей.
Стоит задержаться и рассмотреть эту окрестность. Здесь уже виден общий вопрос: что именно нужно закрепить, чтобы функция могла быть устойчиво восстановлена?
Две отметки на отрезке
Возьмём непрерывную функцию на [0,1]. Вторая разность сравнивает её значения в трёх равноотстоящих точках:
\[
\Delta_h^2f(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x).
\]
У прямой эта величина всегда равна нулю. Если прибавить к функции любую прямую, все её вторые разности останутся прежними. Значит, по этим данным невозможно узнать ни постоянную составляющую, ни наклон.
Чтобы устранить неоднозначность, закрепим значения на концах:
\[
f(0)=f(1)=0.
\]
Прямая, проходящая через обе нулевые отметки, может быть только нулевой. Двух условий оказалось достаточно, чтобы устранить две невидимые составляющие.
Однако хочется знать больше: если все вторые разности малы, обязана ли быть малой сама функция?
Обозначим через ω₂(f) наибольший модуль второй разности по всем тройкам, помещающимся в отрезке. Лемма Баркилла утверждает:
\[
\|f\|_\infty\le\omega_2(f).
\]
Доказательство умещается в несколько строк, и всё же в нём стоит сделать остановку. Пусть M — наибольший модуль функции, достигаемый в точке t. Если t ≤ 1/2, используем точки 0, t, 2t. Поскольку f(0) = 0,
\[
2f(t)=f(2t)-\Delta_t^2f(0).
\]
Отсюда
\[
2M\le M+\omega_2(f),
\qquad M\le\omega_2(f).
\]
Если t > 1/2, поступаем симметрично, опираясь на правый конец.
Мы связали место наибольшего отклонения с закреплённым концом и ещё одной точкой отрезка. Одно неизвестное значение оценили через тот же максимум M. Слева оказалось 2M, справа — лишь M и известная разностная величина. Этот запас и позволил завершить доказательство.
В нашей задаче на шести точках мы тоже следили за тем, куда усреднение передаёт информацию о максимуме. Теперь тот же приём привёл нас к концу отрезка.
Если две отметки поставить рядом
Проверим, что здесь существенно. Вместо концов закрепим две точки 0 и a, где 0 < a ≤ 1/2:
\[
f(0)=f(a)=0.
\]
Они по-прежнему различны. Прямая, равная нулю в обеих точках, по-прежнему нулевая. Однозначность сохранена. Но будет ли оценка столь же хорошей, когда a мало?
Нарисуем простую ломаную. До точки a она идёт по оси, затем поднимается с единичным наклоном:
\[
f_a(x)=\max(0,x-a).
\]
Оба условия выполнены. Высота ломаной на правом конце равна 1−a. При этом
\[
\omega_2(f_a)=a.
\]
Это можно проверить непосредственно. Если три точки лежат на одном прямолинейном участке, вторая разность нулевая. Если они пересекают излом, подстановка даёт величину от нуля до a. Тройка 0, 1/2, 1 даёт ровно a.
Следовательно, любая оценка на таком классе функций обязана иметь константу
\[
C_a\ge\frac{1-a}{a}.
\]
При сближении двух закреплённых точек константа растёт без ограничения. Ломаная почти совпадает с прямой x: расстояние между ними нигде не превосходит a. Две близкие отметки позволяют сохранить почти весь наклон, заплатив за это лишь небольшим изломом.
Теперь становится понятнее, почему однозначность и устойчивость нужно обсуждать отдельно. Два разных нуля устраняют линейную неоднозначность при каждом a > 0. Их расположение определяет, насколько надёжно она устранена.
В предыдущей заметке слабела связь между двумя треугольниками. Здесь сближаются два условия на отрезке. В обоих примерах появляются большие функции, на которых наблюдаемые величины малы.
Другой способ закрепления
Можно закреплять функцию посредством средних. Для второго порядка естественно потребовать
\[
\int_0^{1/2}f(x)\,dx=0,
\qquad
\int_{1/2}^1f(x)\,dx=0.
\]
Эти условия тоже устраняют линейную неоднозначность. Среднее прямой на первой половине отрезка равно её значению в 1/4, на второй — значению в 3/4. Если оба средних нулевые, прямая нулевая.
Но прежнее короткое доказательство уже не повторяется: значение на конце теперь может быть ненулевым. Нужно использовать другую информацию. В обзоре Юрия Крякина именно здесь возникают средние по переменным отрезкам, локальные и глобальные разности, тождества, которые позволяют согласовать их действие.
Сами вторые разности при вычитании прямой не меняются. Меняется способ выбрать одну функцию из всех, отличающихся друг от друга на прямую. Концевые значения и интегральные средние задают разные способы такого выбора. Их количественные свойства требуют отдельных доказательств.
Здесь наша тропа разделяется на два близких пути. В задаче на круге мы меняли усредняющий оператор и следили за силой связей. В задаче Уитни можно сохранять разностные данные и менять дополнительные ограничения. Обе задачи требуют понять, что остаётся почти незаметным и как не допустить сильного увеличения ошибок при восстановлении.
Взгляд назад
У этой остановки есть и историческая подробность. Работа Баркилла 1952 года, на которую ссылается литература по рассматриваемой оценке, называется «Почти периодические функции Чезаро—Перрона». Уже в её названии присутствует тема, к которой мы собирались прийти от Бора и Фавара.
Название само по себе ещё не доказывает единства всех методов. Но теперь у нас есть и конкретное математическое сходство: оператор не замечает некоторого простого класса; дополнительные условия устраняют неоднозначность; затем приходится выяснять, насколько устойчиво это сделано.
Мы пока не поднялись выше. Зато лучше рассмотрели место, на котором стоим. Оказалось, что знакомые ограничения на концах, интегральные средние и связи между точками конечного круга можно обсуждать на одном языке восстановления.
Следующий шаг заслуживает того, чтобы сделать его медленно: научиться заранее различать ограничения, которые лишь обеспечивают единственность, и ограничения, которые дают хорошую количественную оценку. Маленькая ломаная уже показала нам, почему это разные вопросы.
Источники и ориентиры
Yuri V. Kryakin. Whitney’s Constants and Sendov’s Conjectures. Mathematica Balkanica, New Series, Vol. 16 (2002), Fasc. 1–4, pp. 235–247.
В опубликованной версии: с. 236 — лемма Баркилла; с. 238–239 — интегральные ограничения; с. 241 — случай второго порядка и согласование локальной и глобальной оценок.
H. Burkill. Cesàro–Perron almost periodic functions. Proceedings of the London Mathematical Society, Series 3, 2 (1952), 150–174.
От Фавара к Бору 2 (Первые трудности)
Первые трудности при подъёме на гору
Начало пути — в первой заметке «Фавар на конечном круге».
Фавар на конечном круге. Вторая заметка
Исследовательский черновик. 16 октября 2026 года.
В первой заметке мы учились восстанавливать числа, расположенные по кругу, по их отличиям от среднего двух соседей. На небольших примерах возникла догадка о точной константе, а функция Грина помогла её доказать.
Теперь изменим только одно: вместо ближайших соседей будем брать точки через одну. Окажется, что эта маленькая перемена меняет саму возможность восстановления. Остановимся на круге из шести точек: здесь всё ещё можно увидеть глазами и проверить руками.
1. Круг распадается на два треугольника
Пусть \(u_0,\ldots,u_5\) — действительные числа. Индексы считаются по модулю шесть: например, \(u_{-1}=u_5\), а \(u_6=u_0\). Введём усреднение
\[
(T_2u)_j=\frac{u_{j-2}+u_{j+2}}2,
\qquad L_2=I-T_2.
\]
Здесь \(I\) — тождественный оператор: \(Iu=u\). Поэтому \(L_2u\) — разность между исходными значениями и их средними.
Из точки \(0\) такими шагами можно попасть только в \(2\) и \(4\). Из точки \(1\) — только в \(3\) и \(5\). Получились два независимых треугольника. На рисунке все точки по-прежнему лежат на одном круге, но выбранный оператор связывает их иначе.
Возьмём последовательность
\[
v=(1,-1,1,-1,1,-1).
\]
На одном треугольнике все значения равны \(1\), на другом — \(-1\). Поэтому усреднение ничего не меняет:
\[
T_2v=v,\qquad L_2v=0.
\]
Подпись: Номера вершин стоят внутри кружков, значения последовательности \(v\) — рядом. Синие переходы связывают только вершины \(0,2,4\), оранжевые — только вершины \(1,3,5\). На каждом треугольнике значения постоянны, поэтому среднее их сохраняет. Пересечения линий не являются вершинами: перейти с одного треугольника на другой в этих местах нельзя.
Общая сумма значений равна нулю. Однако восстановить \(v\) по \(L_2v\) невозможно: оператор даёт тот же результат, что и на нулевой последовательности.
Это первая трудность. Раньше мы убрали одну постоянную составляющую условием общей нулевой суммы. Теперь оператор не замечает отдельной постоянной на каждом треугольнике.
Можно потребовать, чтобы сумма значений была нулевой на каждом треугольнике. Иными словами, потребуем
\[
u_0+u_2+u_4=0,\qquad u_1+u_3+u_5=0.
\]
Уточним обозначение нормы: \(\|u\|_\infty=\max_{0\le j\le5}|u_j|\). Это наибольшая из абсолютных величин шести чисел.
Тогда на каждом треугольнике возвращаемся к уже решённой задаче для трёх точек:
\[
\|u\|_\infty\le\frac23\|L_2u\|_\infty.
\]
Константа точная. Таким образом, один способ справиться с трудностью — уточнить класс функций, на котором мы обращаем оператор.
2. Добавим связь между треугольниками
Попробуем другой путь: изменим усреднение. Добавим переход в противоположную точку:
\[
(T_3u)_j=u_{j+3}.
\]
Этот переход соединяет пары \(0\) и \(3\), \(1\) и \(4\), \(2\) и \(5\). В каждой паре вершины принадлежат разным треугольникам.
Но в каком соотношении соединить два способа усреднения? Этого прежняя задача нам не говорит. Здесь мы сами ставим новый опыт: будем менять силу добавленной связи и смотреть, как меняется восстановление.
Начнём с совершенно конкретного правила. Возьмём девять десятых первого среднего и одну десятую второго:
\[
Tu=\frac9{10}T_2u+\frac1{10}T_3u.
\]
Иными словами, в каждой точке вычисляем два уже известных значения и составляем их взвешенное среднее. Это не последовательное применение операторов: мы складываем результаты с указанными весами.
Здесь переход между треугольниками имеет вес \(1/10\). Можно было бы дать ему вес \(1/2\) или \(1/100\). Какой выбор лучше? Чтобы не переписывать правило для каждого числа, обозначим вес перехода буквой \(\varepsilon\), а оставшийся вес — через \(1-\varepsilon\):
\[
T_\varepsilon=(1-\varepsilon)T_2+\varepsilon T_3,
\qquad L_\varepsilon=I-T_\varepsilon,
\qquad 0<\varepsilon<1.
\]
Буква \(\varepsilon\) обозначает выбранную нами долю веса. Пока она не обязана быть малой. Для каждого её значения получается свой оператор.
Подпись: Цветные стороны соединяют вершины каждого треугольника, а зелёные пунктирные линии — противоположные вершины разных треугольников. При вычислении среднего вес каждого из двух переходов внутри треугольника равен \((1-\varepsilon)/2\), а вес перехода в противоположную вершину равен \(\varepsilon\). Пересечения линий не являются дополнительными вершинами.
Теперь сформулируем новую задачу. При фиксированном \(\varepsilon\) нам дана последовательность \(f=(f_0,\ldots,f_5)\) с общей нулевой суммой. Требуется восстановить последовательность \(u=(u_0,\ldots,u_5)\) с нулевой суммой по уравнению
\[
L_\varepsilon u=f.
\]
Сначала нужно выяснить, возможно ли такое восстановление и единственно ли оно. Затем — насколько оно устойчиво: насколько сильно могут увеличиться ошибки исходных данных.
Мерой этого увеличения служит наименьшая константа \(C_\varepsilon\), для которой
\[
\|u\|_\infty\le C_\varepsilon\|L_\varepsilon u\|_\infty,
\qquad \sum_{j=0}^{5}u_j=0.
\]
Почему эта оценка говорит об ошибках? Если две правые части \(f\) и \(\widetilde f\) дали решения \(u\) и \(\widetilde u\), то разность решений удовлетворяет тому же уравнению с правой частью \(f-\widetilde f\). Поэтому
\[
\|u-\widetilde u\|_\infty
\le C_\varepsilon\|f-\widetilde f\|_\infty.
\]
Следовательно, \(C_\varepsilon\) ограничивает увеличение ошибки при восстановлении. Чем меньше эта константа, тем лучше гарантированная устойчивость. Наша цель — понять, как она зависит от выбранного веса \(\varepsilon\). Сравнивая разные веса, мы сравниваем разные правила усреднения.
Почему теперь достаточно общей нулевой суммы? Предположим, что \(L_\varepsilon u=0\). Тогда каждое значение равно взвешенному среднему значений в доступных точках.
Посмотрим на точку, где \(u\) максимально. Среднее не может равняться максимуму, если хотя бы одно из участвующих значений меньше максимума. Значит, во всех доступных точках значение тоже максимально. Продолжая переходы, обойдём все шесть точек. Следовательно, \(u\) постоянно, а при нулевой сумме \(u=0\).
Мы доказали единственность восстановления без вычисления определителей и без анализа Фурье. Поскольку оператор действует на конечномерном пространстве последовательностей с нулевой суммой и сохраняет это пространство, из единственности следует также существование решения для каждой правой части с нулевой суммой.
Но возможность восстановления ещё не отвечает на вопрос о его устойчивости.
3. Слабая связь дорого обходится
Вернёмся к чередующейся последовательности \(v\). Первое усреднение сохраняет её, а переход в противоположную точку меняет знак:
\[
T_2v=v,\qquad T_3v=-v.
\]
Распишем действие нового оператора без пропущенных шагов:
\[
T_\varepsilon v=(1-\varepsilon)v+\varepsilon(-v)
=(1-2\varepsilon)v.
\]
Мы складываем сохраняемую часть \(v\) и часть с противоположным знаком. Затем вычитаем полученное среднее из исходной последовательности:
\[
L_\varepsilon v=v-T_\varepsilon v
=v-(1-2\varepsilon)v=2\varepsilon v.
\]
Оператор стал замечать это колебание, но при малом \(\varepsilon\) замечает его очень слабо. Исходная последовательность имеет норму \(1\), а результат действия оператора — норму \(2\varepsilon\). Поэтому в сформулированной выше оценке устойчивости должно выполняться \(1\le C_\varepsilon\cdot2\varepsilon\). Делим на положительное число \(2\varepsilon\):
\[
C_\varepsilon\ge\frac1{2\varepsilon}.
\]
При \(\varepsilon=1/100\) константа не меньше \(50\). Это означает, что существует ошибка в правой части, которая при восстановлении усиливается в пятьдесят раз.
Связь между треугольниками восстановлена. Однако пока она слаба, задача остаётся плохо устойчивой.
4. Почему нельзя просто усилить новую связь?
Кажется естественным увеличить \(\varepsilon\). Но сначала проверим ещё один простой пример:
\[
w=(2,-1,-1,2,-1,-1).
\]
Противоположные точки имеют одинаковые значения, поэтому \(T_3w=w\). А на каждом треугольнике сумма равна нулю, откуда \(T_2w=-w/2\). Следовательно,
\[
L_\varepsilon w=\frac32(1-\varepsilon)w
\]
и
\[
C_\varepsilon\ge\frac{2}{3(1-\varepsilon)}.
\]
Когда \(\varepsilon\) приближается к единице, восстановление снова ухудшается. Основное усреднение теперь связывает только противоположные пары; связь между разными парами становится слабой.
Два примера обнаружили два разных препятствия. Один способ усреднения исправляет слабость другого. Нам нужно согласовать их веса.
Можно уравнять найденные препятствия:
\[
2\varepsilon=\frac32(1-\varepsilon),
\qquad \varepsilon=\frac37.
\]
При таком выборе обе нижние оценки дают \(C_\varepsilon\ge7/6\).
Здесь необходима остановка. Мы уравняли трудности, обнаруженные двумя примерами. Мы ещё не доказали, что этот вес оптимален для всей задачи, и не нашли точной нормы обратного оператора.
Следующий вопрос появился из самих вычислений: достаточно ли двух найденных типов колебаний или их смесь окажется труднее каждого по отдельности?
5. Что стало видно на этой тропе
Мы начали с невозможности восстановления: два треугольника не слышали друг друга. Добавленная связь сделала восстановление возможным. Затем выяснилось, что слабая связь допускает сильное увеличение ошибок. Наконец, второй пример показал, что чрезмерное усиление одного вида связей ослабляет другой.
Так возникли три разных вопроса: что оператор совсем не замечает; что он замечает слишком слабо; как выбрать усреднение, чтобы избежать обоих затруднений.
Здесь появляется мотив, который встретится нам на дороге к почти периодичности: что происходит с колебанием при сдвигах и усреднении? Сначала усреднение \(T_2\) сохраняло последовательность \(v\) в точности. При малом положительном \(\varepsilon\) новое усреднение \(T_\varepsilon\) меняет её лишь немного. Количественная оценка этой почти неизменности показывает, насколько трудно обратить оператор \(I-T_\varepsilon\). Это пока конечный пример почти сохранения усредняющим оператором; к самой почти периодичности Бора нам ещё предстоит перейти.
Пока всё это произошло на шести точках. Следующую остановку посвятим проверке: не скрывается ли за двумя простыми примерами третья, ещё не замеченная трудность?
17 окт. 2026 г.
От Фавара к Бору
По направлению к Бору
Фавар на конечном круге
Первая тропа к почти периодичности
Исследовательский черновик. 16 октября 2026 года.
Когда задача становится слишком общей, полезно уменьшить её до размера, при котором можно всё проверить руками. Мы хотим понять связь между оценками Фавара, почти периодичностью и обращением операторов. Начнём с нескольких чисел, расположенных по кругу.
В этой заметке важен сам порядок рассуждения: сначала пример, затем догадка, затем проверка. Доказательство должно объяснить, почему примеры устроены именно так, и подсказать следующий вопрос.
1. Что можно восстановить по отличиям от среднего?
Пусть по кругу расположены числа \(u_0,\ldots,u_{N-1}\). Каждому числу сопоставим его отличие от среднего двух соседей:
\[
(Lu)_j=u_j-\frac{u_{j-1}+u_{j+1}}2.
\]
Индексы считаются по модулю \(N\). Если все числа одинаковы, оператор даёт нуль. Поэтому постоянную составляющую восстановить нельзя. Уберём эту неоднозначность условием
\[
\sum_{j=0}^{N-1}u_j=0.
\]
Насколько большими могут быть числа \(u_j\), если каждое отличается от среднего соседей не более чем на единицу? Иначе говоря, ищем наименьшую константу в оценке
\[
\|u\|_\infty\le C_N\|Lu\|_\infty.
\]
Это конечная модель задачи Фавара: восстановить функцию по результату действия оператора и точно оценить возможное усиление.
2. Первые случаи и первая догадка
При двух точках \(u=(a,-a)\), а \(Lu=(2a,-2a)\). Значит, \(C_2=1/2\).
При трёх точках сумма двух соседей равна минус самому числу. Поэтому \(Lu=\tfrac32u\) и \(C_3=2/3\).
При четырёх точках положим \(f=Lu\). Решая четыре линейных уравнения с условием нулевой суммы, получаем
\[
u_0=\frac34f_0-\frac14f_2.
\]
Отсюда \(|u_0|\le\|f\|_\infty\); то же справедливо в остальных точках. На последовательности
\[
u=(1,1,-1,-1)
\]
имеем \(Lu=u\). Оценка достигается, следовательно, \(C_4=1\).
Продолжим точный расчёт:
При N = 2 получаем C₂ = 1/2.
При N = 3 получаем C₃ = 2/3.
При N = 4 получаем C₄ = 1.
При N = 5 получаем C₅ = 8/5.
При N = 6 получаем C₆ = 5/2.
При N = 8 получаем C₈ = 4.
При N = 12 получаем C₁₂ = 9.
При N = 16 получаем C₁₆ = 16.
В строках \(N=4,8,12,16\) видны квадраты \(1,4,9,16\). Возникает догадка:
\[
C_{4m}=m^2.
\]
Остальные строки предостерегают: формулу нельзя без проверки распространить на все \(N\). Удобная симметрия появилась именно при делимости числа точек на четыре.
3. Что скрывается за таблицей?
Уравнение \(Lu=f\) можно решить один раз для всех правых частей. Нужна дискретная функция Грина:
\[
G_j=\frac{N^2-1}{6N}-\frac{j(N-j)}N,
\qquad 0\le j<N.
\]
Её нетрудно проверить подстановкой: отличие от среднего соседей равно \(-1/N\) всюду, кроме нулевой точки, где оно равно \(1-1/N\). Кроме того, сумма значений \(G_j\) равна нулю. Поэтому для \(\sum_k f_k=0\) решение имеет вид
\[
u_j=\sum_{k=0}^{N-1}G_{j-k}f_k.
\]
Теперь используем условие на правую часть. Поскольку её сумма равна нулю, из каждого значения ядра можно вычесть одну и ту же постоянную. Получаем
\[
\|u\|_\infty\le
\left(\sum_j|G_j-c|\right)\|f\|_\infty.
\]
Нужно выбрать наилучшую постоянную. Она является медианой значений ядра: по обе стороны от неё находится не более половины значений.
Более того, эта оценка точна. Выберем \(f_k\) по знакам \(G_{-k}-c\). Если некоторые значения ядра совпадают с медианой, соответствующие \(f_k\in[-1,1]\) можно подобрать так, чтобы их общая сумма была нулевой. Тогда в нулевой точке достигается равенство. Итак,
\[
\boxed{C_N=\min_c\sum_j|G_j-c|.}
\]
Первоначальная задача об обращении оператора превратилась в задачу наилучшего приближения его ядра постоянной. Здесь узнаётся механизм Фавара, знакомый нам по непрерывному кругу и сфере.
При \(N=4m\) медианой служит \(G_m\), причём
\[
G_j-G_m=\frac{(j-m)(j-3m)}{4m}.
\]
Знаки меняются в двух противоположных точках. Остаётся сложить значения квадратичного выражения с известными знаками. Формулы сумм первых чисел и их квадратов дают
\[
\sum_{j=0}^{4m-1}|(j-m)(j-3m)|=4m^3,
\]
откуда \(C_{4m}=m^2\). Догадка доказана.
4. Откуда берётся π²/8?
До сих пор наш круг состоял из N точек. Расстояний между ними мы не задавали: имело значение только то, кто является чьим соседом. Поэтому числа π в вычислениях ещё не было.
Теперь разместим эти точки равномерно на окружности длины ℓ. Расстояние по дуге между соседними точками равно h = ℓ/N. Для обычной единичной окружности ℓ = 2π, но пока оставим длину произвольной.
Мы уже доказали, что при делимости N на четыре
\[
\|u\|_\infty\le\frac{N^2}{16}\|Lu\|_\infty.
\]
Чтобы сравнить наш оператор со второй производной, нужно учесть расстояния. Дискретный аналог оператора −u″ записывается так:
\[
(A_Nu)_j=\frac{2u_j-u_{j-1}-u_{j+1}}{h^2}.
\]
Почему здесь h²? Вторая разность гладкой функции при малом шаге имеет порядок квадрата шага. Например, для параболы u(x) = x² числитель равен −2h²; деление на h² даёт −2, то есть в точности −u″.
А наш прежний оператор имеет вид
\[
(Lu)_j=\frac{2u_j-u_{j-1}-u_{j+1}}2.
\]
Числитель один и тот же. Следовательно,
\[
L=\frac{h^2}{2}A_N.
\]
Подставляем это равенство в уже доказанную оценку:
\[
\|u\|_\infty
\le\frac{N^2}{16}\,\frac{h^2}{2}\|A_Nu\|_\infty
=\frac{(Nh)^2}{32}\|A_Nu\|_\infty.
\]
Но Nh = ℓ: число промежутков, умноженное на длину одного промежутка, даёт длину всей окружности. Поэтому точная константа равна ℓ²/32.
Наконец, для единичной окружности ℓ = 2π, и получается
\[
\frac{\ell^2}{32}=\frac{(2\pi)^2}{32}
=\frac{4\pi^2}{32}=\frac{\pi^2}{8}.
\]
Итак, π появилось из длины единичной окружности. Сам расчёт обращения дал коэффициент 1/32 при квадрате длины. Если бы мы выбрали окружность длины 1, константа была бы 1/32.
Полученное число π²/8 совпадает с классической константой Фавара для второй производной на круге. В нашей конечной модели оно возникает уже при четырёх точках и остаётся точным на всех сетках с N, кратным четырём. Это совпадение установлено до какого-либо предельного перехода.
Таблица подсказала закономерность; функция Грина объяснила её. Теперь можно спросить, что в этом объяснении зависит от выбора соседей.
5. Где появляется Бор?
Заменим двух соседей произвольным симметричным усреднением на конечной абелевой группе:
\[
Tu(x)=\sum_a\mu(a)u(x+a),\qquad L=I-T.
\]
Здесь \(\mu(a)\ge0\), сумма весов равна единице и \(\mu(a)=\mu(-a)\).
Элементарное колебание на группе — характер \(\chi\): функция с \(|\chi(x)|=1\) и \(\chi(x+a)=\chi(x)\chi(a)\). На круге это привычные экспоненты. Для него
\[
L\chi=\lambda_\chi\chi,
\qquad
\lambda_\chi=\frac12\sum_a\mu(a)|1-\chi(a)|^2.
\]
Формула показывает препятствие для обращения. Если сдвиги, участвующие в усреднении, почти сохраняют фазу колебания, то \(\lambda_\chi\) мало. Оператор почти не замечает эту компоненту, и при восстановлении её приходится сильно увеличивать. При \(\lambda_\chi=0\) восстановление без дополнительного условия вообще невозможно.
Множество сдвигов, одновременно почти сохраняющих заданное семейство колебаний \(\Gamma\), записывается так:
\[
B(\Gamma,\rho)=
\{a:\ |1-\chi(a)|\le\rho\text{ для всех }\chi\in\Gamma\}.
\]
Это множество Бора. Оно появилось из элементарного вопроса: какие сдвиги почти не изменяют наблюдаемые колебания?
До результатов аддитивной комбинаторики мы здесь ещё не дошли. Мы нашли общий предмет: согласованные сдвиги, почти неподвижные колебания и трудность обращения усредняющего оператора. Дальше нужно выяснить, как количественно связаны эти три вещи.
Ближайший шаг можно сделать на том же конечном круге. Сначала усреднять по точкам \(x-q\) и \(x+q\), затем добавить вторую пару \(x-r\), \(x+r\). Какие колебания сохраняет первая пара? Какие из них разрушает вторая? Когда после удаления постоянных обращение становится возможным и насколько оно устойчиво?
На эти вопросы ещё можно отвечать руками. Поэтому именно отсюда мы и продолжим подъём.
15 окт. 2026 г.
8
Заметка VIII. От геометрии к гарантии
Как много можно узнать о функции, если известны не все её значения, а только то, насколько быстро она меняется? И можно ли превратить такое знание в надёжный способ вычислить среднее по сфере? Эти вопросы принадлежат разным привычным языкам: первый — теории приближений, второй — численному анализу. Наш путь состоял в том, чтобы связать их одним методом.
На окружности колебания описываются синусами и косинусами. На сфере их место занимают сферические гармоники. Самые низкие степени отвечают медленным изменениям, высокие — более мелким деталям. Приближение сферическими полиномами означает, что мы стараемся передать функцию ограниченным набором таких колебаний.
За гладкость отвечает лапласиан Лапласа–Бельтрами. Это сферический аналог второй производной: он суммирует изменения функции в касательных направлениях, учитывая геометрию поверхности. Положительный оператор обозначается через \(L=-\Delta\). Оценка его величины не определяет постоянную часть функции, но позволяет контролировать отклонения от неё. Именно поэтому в задаче восстановления появляются условия нулевого среднего или исключения нескольких низких гармоник.
Неравенство Фавара говорит, насколько велика оставшаяся часть функции, если ограничен её лапласиан. Близкая постановка спрашивает, насколько хорошо можно приблизить произвольную функцию низкими сферическими полиномами. В обоих случаях естественный масштаб ошибки для первого лапласиана — обратный квадрат степени приближения. Содержание задачи состоит в коэффициенте и в понимании того, откуда он берётся.
Исследование началось с привычной сферы \(S^2\) и затем было продолжено на сферы чётной размерности. Символ \(S^D\) означает поверхность единичного шара в пространстве размерности \(D+1\); сама поверхность имеет размерность \(D\). Изобразить её целиком не требуется. Достаточно знать расстояния и размеры слоёв, находящихся на одинаковом расстоянии от выбранного полюса.
Усреднение по вращениям вокруг полюса превращает необходимую задачу приближения ядра в одномерную. Размерность при этом сохраняется в весе интеграла. В чётном случае после подходящей замены переменной этот вес становится полиномом. Здесь и открывается возможность общего доказательства, которое не требует заранее найти точные экстремальные узлы.
Восстановить, приблизить, оценить
Первый шаг метода — обратить лапласиан. Для этого служит функция Грина: она описывает отклик на сосредоточенный источник. Произвольную функцию с вычтенным средним можно восстановить, усредняя такие отклики с весом, равным её лапласиану. Дифференциальная задача становится интегральной.
Теперь ядро восстановления приближается полиномом. Его полиномиальная часть даёт допустимое приближение функции; остаток оценивается через интеграл своего модуля. Поэтому ошибка приближения функции Грина становится коэффициентом в неравенстве Фавара. Вместо отдельного исследования всех функций мы изучаем одно ядро, общее для целого класса.
В чётной размерности у функции Грина есть особенно удобная структура: главный полюс, несколько более слабых полюсов, логарифм и постоянная. Мы показали, что после удаления главного полюса остаток приближается с ошибкой порядка обратной четвёртой степени. Для первого асимптотического уровня Фавара он уже несущественен. Таким образом, трудность сосредотачивается в одном самом сильном слагаемом.
Следующий шаг — выбор подходящего полиномиального остатка. В исходных поисках нас направлял метод Бабенко–Геронимуса: найти правильный знак ошибки и расположение его перемен. Для общей верхней оценки удалось обойтись без полного решения этой тонкой задачи. Вспомогательный остаток выбирается квадратом полинома. Его неотрицательность снимает абсолютную величину, а условия у полюса становятся условиями на несколько производных.
Так задача интегрального приближения заменяется квадратичной минимизацией с линейными ограничениями. Она решается через матрицу скалярных произведений граничных функционалов. После масштабирования возникает классическая матрица Гильберта. Нужный элемент обратной матрицы вычисляется с помощью полиномов Лежандра, и из него получается явный размерностный коэффициент.
Итог для каждой фиксированной чётной размерности \(D\ge4\) таков: после умножения ошибки приближения ядра на собственное число \(N(N+D-1)\) её верхний предел не превосходит \(2D-4\). Для сферы \(S^{2d}\) этот коэффициент записывается как \(4d-4\). Это доказанная асимптотическая верхняя граница. Точное значение предела и оптимальность коэффициента из нашего рассуждения не следуют.
Порядок неравенств Фавара на сферах изучался задолго до этой работы, в частности Камзоловым. Специальные размерности допускают более тонкие результаты; современные асимптотические формулы Соляника для \(S^4\) и \(S^6\) здесь не заменяются грубой общей оценкой. Наша цель — проследить единый механизм, пригодный и там, где точное решение ещё неудобно для использования.
Полученный инструмент переносится на целые степени лапласиана: повторному обращению соответствует повторная свёртка ядер. Он даёт и оценку Джексона, если измерять гладкость специальным спектральным усреднением — резольвентой лапласиана. Это усреднение согласовано с оператором точным тождеством, поэтому переход короток. Речь идёт именно об этом модуле; сравнение с обычными геодезическими разностями требует отдельной работы.
От оценки функции к вычислению среднего
Наиболее непосредственное приложение связано с квадратурами. Среднее по сфере заменяется взвешенной суммой значений в узлах. Если веса положительны, их сумма равна единице, а низкие полиномы интегрируются точно, та же ошибка приближения ядра контролирует погрешность квадратуры. Полиномиальная часть восстановления исчезает благодаря точности формулы, а остаток оценивается без дополнительного удвоения коэффициента.
На \(S^2\) это даёт полностью явную гарантию. Пусть модуль лапласиана не превосходит \(A\), то есть \(\|Lf\|_\infty\le A\), формула точна для полиномов степени меньше \(N\), а каждое измеренное значение \(y_j\) отличается от \(f(x_j)\) не больше чем на \(\eta\). Тогда
\[
\left|\sum_jw_jy_j-\int_{S^2}f\,d\mu\right|
\le\frac{7\zeta(3)}{4N(N+2)}A+\eta.
\]
Мера здесь нормирована на единичную массу, \(N\ge1\), а \(\zeta(3)\) — сумма обратных кубов натуральных чисел. Числовой множитель \(7\zeta(3)/4\) приблизительно равен \(2.104\). Положительность весов обеспечивает устойчивость: погрешности значений не усиливаются. Если моментные условия выполнены лишь приближённо, к оценке добавляется отдельно вычисляемая поправка.
Мы сравнили стандартную квадратуру по широтам и долготам с формулами Лебедева. Затем рассмотрели потенциал Грина самой квадратуры: его близость к постоянной измеряет наихудшую ошибку на классе с ограниченным лапласианом. В четырёх предварительных сравнениях общая граница Фавара была примерно в полтора раза выше численной оценки этой ошибки и лучше простой квадратичной ядерной границы. Эти расчёты ещё не являются интервально проверенными оценками интегралов потенциала.
Практическое достоинство подхода — возможность разделить работу. Ядро оценивается один раз для выбранной сферы и степени точности. Затем одна гарантия обслуживает разные положительные квадратуры и разные функции с известным ограничением гладкости. Например, если функция удовлетворяет уравнению Пуассона \(Lf=g\), нужная оценка получается непосредственно из известной правой части.
Эффективность определяется также числом узлов и стоимостью значений. Наш метод пока не строит оптимальную сетку и не доказывает превосходства всех алгоритмов. Он даёт основу для честного сравнения: требуемая точность, проверенные условия, вычислительная цена и вклад ошибок данных. Связь ядер с квадратурами хорошо известна современной соболевской теории; здесь она получает конкретную гарантию из рассмотренной оценки Фавара.
Итогом стала последовательность понятных переходов: геометрия определяет вес, функция Грина обращает оператор, полиномиальное приближение контролирует остаток, положительные веса сохраняют оценку при вычислении среднего. Точность отдельной константы остаётся важной математической задачей. Но уже полученная граница позволяет сделать следующий шаг — выбрать вычисление, которому можно доверять в пределах явно указанных предположений.
13 окт. 2026 г.
Юра, тебя уделали!
===================================================
Текст создан методом двухъядерной компиляции (человек-автор + ИИ-сопроцессор). Оригинал на русском языке: https://alexsmail.blogspot.com/2026/10/blog-post_08.html
«Мама, я слышал, тебя уделали! Говорят, робот решил задачу, над которой ты работала всю жизнь!»
Именно этой беспощадной цитатой своего девятилетнего сына Скотт Ааронсон, один из ведущих мировых теоретиков квантовых вычислений, открывает свой пост «Мат-апокалипсис» (*The Mathocalypse*). «Мама» — это профессор компьютерных наук Дана Мошковиц, положившая годы на исследование знаменитой гипотезы об уникальных играх (*Unique Games Conjecture*). Ее сын оказался прав: 6 октября доказательство этой гипотезы появилось среди 372 масштабных математических статей, опубликованных компанией OpenAI в один присест.
Важная деталь: этот «дикий слив данных» не был чьей-то партизанской выходкой. Массовая выгрузка файлов была санкционирована сверху — по прямой рекомендации экспертного совета OpenAI, в который входят такие выдающиеся ученые, как лауреат Филдсовской премии Тимоти Гауэрс и физик-теоретик Эдвард Виттен.
Дана далеко не единственная, кого зацепило этой взрывной волной. В том же архиве содержатся решение проблемы Ааронсона — Куперберга (сформулированной самим Скоттом еще в 2007 году), доказательство $L = BPL$, умножение матриц за $O(n^{9/4})$, закон двумерной площади (*2D area law*) и падение многих других барьеров, казавшихся незыблемыми. Мат-апокалипсис наступил.
### «Инопланетная абракадабра» и телепорт на вершину горы
Открыв доказательство своей гипотезы, Дана Мошковиц написала мужу сообщение с жалобой на то, насколько ужасно и нечитаемо написана статья: «Ощущение такое, будто ее писал человек под психоделиками. Всё невероятно запутано… Изобретен совершенно новый, безумный код проверки шума. Это какая-то инопланетная абракадабра».
Прочесть этот текст без помощи искусственного интеллекта было физически невозможно. К следующему дню Дана в общих чертах разобралась в доказательстве, но лишь потому, что другая нейросеть — GPT-6 Astra — помогла ей извлечь и собрать воедино ключевые утверждения, хаотично разбросанные по всей статье.
Журнал *Quanta Magazine* подобрал для этой ситуации идеальную метафору. Представьте, что вас телепортировали на вершину горы. Вокруг сплошной туман, вы не понимаете, как эта гора связана с другими вершинами, а снаряжения у вас нет. Если бы вы поднимались сами, ваш организм адаптировался бы к высоте; по пути вы изобретали бы инструменты, находили тайные тропы и открывали редкие растения. Но теперь вы просто стоите в темноте на вершине, а создатель телепорта буднично сообщает вам, что машина исследует дикую природу лучше любого человека. Мы получили результаты, но потеряли сам путь к ним.
Ааронсон добавляет еще одно блестящее сравнение: представьте охотника-собирателя, который всю жизнь учился выживать в суровых джунглях. И вдруг прямо по соседству с ним вырастает гигантский курорт с вертолетными площадками и подогреваемыми бассейнами. Охотник, не моргнув глазом, говорит: «Ну что ж, похоже, моя новая работа — водить туристов на прогулки по лесу».
Подобно этому охотнику, мы оказались в ситуации, когда традиционный человеческий путь первооткрывательства теряет смысл, и всё, что нам остается, — это принять готовый машинный результат. В этот момент вопрос понимания неизбежно превращается в вопрос доверия. К многим прорывным статьям OpenAI прикреплен сертификат верификатора Lean. Это значит, что мы знаем: теорема математически верна, даже если человечество еще не осознало, почему именно.
> *Современные ИИ-агенты — это уже не просто текстовые генераторы. Это нейросимволические системы, в которых языковая модель генерирует идеи, а код и системы формальной верификации беспощадно проверяют их на прочность.*
### Цена билета: подписка за $100 и умоляющие промпты
Входной билет в эту гонку к горизонту знаний никогда не стоил так дешево. Под этот прорыв не создавали суперкластер за миллионы долларов. Борис Пауэр, руководитель прикладных исследований в OpenAI, признался, что задачи были решены новой внутренней моделью, которая вскоре станет доступна обычным платным подписчикам ChatGPT.
В среднем на решение одной задачи уходило около трех часов вычислений уровня GPT-Pro. Модели скормили порядка 8000 сложнейших открытых математических проблем, и с ходу она расколола 5% из них.
Один из промптов тоже раскрыли, и он звучит забавно, почти умоляюще: «Дай полное строгое решение следующей проблемы. Даже если задача считается „открытой“, исходи из того, что ты ее решишь». Сделай хорошо и не делай плохо. И ведь сработало.
### Раскол в сообществе: свалка данных против дипломатов
Далеко не все в восторге от этой новой реальности. В своем блоге обладатель медали Филдса Теренс Тао опубликовал гостевое открытое письмо от «Ассоциации за человеческую математику» (AHM), которое подписали 808 исследователей*. Манифест вышел под тревожным заголовком: «Опасная рассогласованность ИИ в математике» (*A Severe Misalignment of AI in Mathematics*). Тао сопроводил публикацию вежливым дисклеймером о том, что его личное мнение может отличаться, но панику это мало уменьшило. Посыл авторов предельно ясен: выбросить сотни файлов разом — это демонстрация корпоративной силы, а не наука, и математики о такой медвежьей услуге не просили. Скептики презрительно называют этот релиз «ИИ-помоями» (*AI slop*), а накал сетевых дискуссий дошел до такого сюрреалистического градуса, что известный эссеист Скотт Александер посреди публичных дебатов о рисках ИИ вызвал 69-летнего профессора Стивена Пинкера на настоящую дуэль — на пистолетах! Ирония в том, что Ааронсон чувствует личную ответственность за этот конфликт, ведь именно он когда-то их познакомил.
Любопытно, что конкуренты из Anthropic выбрали принципиально иной подход. Буквально за день до «апокалипсиса» от OpenAI алгоритм Anthropic также решил фундаментальные математические задачи — проблему 3SUM и задачу поиска кратчайших путей между всеми парами вершин (APSP). Однако Anthropic не стала вываливать сырые доказательства в сеть. Вместо этого они наняли ученых-математиков, чтобы те переварили доказательство ИИ и написали нормальную, читаемую научную статью.
Это два противоположных полюса новой научной эпохи: модель «дикой свалки данных» (OpenAI), порождающая хаос и лихорадочную гонку, и модель «корпоративных послов» (Anthropic), где компания сама решает, кому из людей суждено стать пророками машинного откровения.
### Спринт к горизонту
Пока одни требуют всё это остановить, у других на полную мощность срабатывают человеческие рефлексы: схватить, протестировать, обогнать.
Возьмем задачу перемножения гигантских чисел. С 1971 года математики считали пределом скорости $O(n \log n)$. ИИ пробил этот барьер. И уже через четыре часа после релиза Даг Колкитт, сооснователь криптобиржи, вооружившись агентом Codex, продвинул эту границу еще дальше. Вскоре к веселью подключились и другие GitHub-хакеры (в репозиториях вроде *CrocSwap/integer-mult-bounds*). Теперь десятки людей прыгают через головы чужого кода, сдвигая оценку на десятки порядков всего за полтора дня. Никакой практической пользы от этого пока нет, и проверить код по-нормальному сейчас просто некому. Как честно описал свой проект один из участников: «Просто тестирую, насколько далеко Astra сможет это прожать, абсолютно без верификации». Но гонка началась, превратив чистую математику в оголтелую многопользовательскую онлайн-игру.
Самая большая сложность этой новой реальности — время. Еще пару лет назад научное сообщество месяцами обсуждало бы любую из этих статей по отдельности. Теперь же сотни из них вываливаются разом, и это только начало. По сути, нам приходится учиться доверять системе, которая кардинально меняет наше понимание мира за считаные недели.
Но доверие не отменяет человеческого любопытства. Дана Мошковиц вполне могла бы не читать этот невыносимый текст — доказательство ее гипотезы уже было математически подтверждено системой Lean. И все же она села и попыталась разобраться. Потому что, как она написала мужу, нам определенно есть чему поучиться у этих «инопланетян».
Именно это любопытство остается нашим главным компасом. Что там, за горизонтом? Скоро узнаем.
===================================================================
Проблема в другом. Ну для Юры = как легко было тебя уделать (типа задачи Сендова-Илиева, детской, которая допустила элементарное решение)? Или ты думал годами над тем, что действительно трудно? Вот в чем вопрос = имеет ли задача простое решение? Если решение сложно, то возможно задача неправильно поставлена и то, что уже получилось и читабельно и полезно, то ... все в порядке, жизнь продолжается. Я даже потратил пару дней (не лет) на то, чтобы попробовать распознать насколько все сложно для моделей gpt 6 Sol, это не астра, это значительно слабее - тратить деньги на то, что потом нужно будет разбирать недели... (если не получится относительно простого решения) - это некий садо мазо, даже если деньги не большие.
И не увидел простого решения, не нашел (вместе с ИИ) того, что можно было бы рассказать ребенку. Ну нужна ли такая математика? - кому нужны константы равные единице, если ... непонятен процесс - физика доказательства. В общем = скрипач Рамануджан не нужен.
Или все-таки нужен? но по-другому -- в процессе бития своей головой стены - в голове что-то щелкнуло и аналог для окружности дал константы в основной теореме теории приближений тригонометрическими многочленами (2013) и теперь это с помощью gpt 6 сол медиум переписалось на сферу просто и красиво...
Может быть смысл неудач именно в этом? - в понимании того, что отрезок не лучшее место для жизни и многочлены Чебышева это не более чем совершенные функции в уродливом мире отрезка? И так ли уродлив этот проекционный мир, и может быть за труднопонимаемым стоит нечто важное?
================
если ты уже сходил по фиолетовой ссылке:
*)перевод песни для 808 трусов
(в заметке выше имеется ввиду AHM (ahmath.org) — активистское низовое движение (насчитывает около тысячи математиков), требующее полного бойкота сотрудничества с корпорациями ИИ и отказ от использования LLM в доказательствах)
Само слово «Tristitude» — это авторский неологизм, смесь слов tristesse (грусть) и solitude (одиночество), а также игра со словом attitude (настрой, поза). На русский его удачнее всего передать как «Груститу́да» (или «Печалитуда»).
Груституда
Это когда ты только что проглотил зубочистку,
Когда понимаешь, что твой отец — швейцарский немец,
Когда друг звонит и просит помочь с переездом.
И это больно.
Груституда —
Это въехать в тоннель Фурвьер 15 августа*,
Когда тебе приходится переехать жить в Ножан-ле-Ротру*,
Когда парикмахер сообщает, что у тебя рыжеватый отлив.
И это больно.
Груституда —
Это я, это ты,
Это мы, это что вообще такое?
Это легкое отчаяние в глубине наших голосов.
Груституда —
Это «хм», это «у-ух!»
Это они, это вы,
Это сама жизнь говорит тебе, что всё вообще не так.
Груституда —
Это когда тебя выбрали вратарём в гандболе,
Когда ты сидишь в «Мерседесе» принцессы Уэльской*,
Когда в субботу вечером по Canal+ крутят твою дочь*,
И это бесит!
Груституда —
Это когда наступаешь босиком на крошечный кусочек Лего,
Это когда в поездке по Индии выпиваешь сырой воды,
Когда сосед сообщает, что начинает учиться играть на саксофоне.
И это больно, бо-больно, бо-больно…
Груституда —
Это когда твой сиамский близнец сообщает, что у него СПИД,
Это когда твоя жена занимается свингом… но как бы без тебя,
Когда молодежь впервые называет тебя «дядя» / «мсье».
И это больно.
Груституда —
Это стать стилистом, но у Эдди Митчелла*,
Это спрягать глагол «bouillir» (кипеть) во множественном числе сослагательного наклонения*,
Это поехать за покупками в субботу перед самым Рождеством.
И это больно, бо-больно, бо-больно…
Нет, нет, нет.
Груституда, груституда.
Грусти-настрой дает тебе грустити-тити-тититити-титуду.
Груституда дарит тебе грустный вид (настрой).
Груституда,
У-ух!
Грустити-титититуда.
Груституда — это немного грусти (tristesse) и одиночества (solitude),
Это как груституда плюс… ничего.
В любом случае это… гру- гру- гру- груституда.
Груституда дарит тебе грустный настрой.
Груституда.
О нет…
Грустити-титититуда, у-ух!
Пояснения к французским культурным отсылкам:
Тоннель Фурвьер 15 августа — автомобильный тоннель в Лионе, печально известный колоссальными пробками; 15 августа во Франции — пик сезона летних отпусков, когда трассы наглухо парализованы.
Ножан-ле-Ротру — сонный провинциальный городок во Франции, синоним скучной глуши.
В «Мерседесе» принцессы Уэльской — жесткий черный юмор: намек на автокатастрофу в Париже, в которой погибла принцесса Диана.
По Canal+ крутят твою дочь — французский платный телеканал Canal+ исторически славился тем, что в субботу поздно ночью транслировал фильмы для взрослых.
Эдди Митчелл — знаменитый французский рок-певец старой школы, десятилетиями не меняющий свой консервативный стиль (так что стилисту там делать нечего).
Спряжение глагола «bouillir» — одна из самых неупотребительных, неуклюжих и зубодробительных форм во французской грамматике (que nous bouillions, que vous bouilliez).
=============================
Меня таки уделали, но я не сержусь, в какой-то мере это был тест - вот во что можно превратить наивные заметки на полях используя более сильную астру: в наукообразный препринт с выражением благодарности. Бинго! И это неизбежно. Так было и так будет. Такова жизнь. Только читать это трудно, слишком много формул, много формул, напомнило мне творчество В.В. Жука на стероидах. Но самое смешое, что я препринт с Алешой не обсуждал, я ему предложил сделать S^3 (Фавара, на основе замечательной работы) а он решил сделать все и поблагодарил за обсуждение - т.е. за то, что можно (нужно) просто взять и оформить. Он и оформил (и добавил S^4, S^6 и замечание о том, что чего меньше) но не написал откуда взял, а может и не брал, просто сказал Астре сделай Фавара на сфере, она и сделала. Молодец. а чье имя стоит на препринте не важно, уже все всё понимают - писала сильная Астра первым номером, - это искажает историю, но я восхищен тщательностью и проделанной работой. Лучше робота, ей богу, но вероятней просто лучше робот. Прогресс не остановить. А про имена нужно забыть.
И это только часть заметок, но главная,-- приложение Фавара легче технически и его тоже узаконят - Теорему Джексона с хорошими константами и правильными модулями непрерывности на многообразиях. Алексея просить больше не буду. И за то, что сделано премного Благодарен!
Учитесь задавать вопросы. И этому нужно учиться у моделей (Астра женское имя, она клевая). Или все же Кашин прав - учиться нужно у людей, модели без людей не совсем модели.
ps. Вот тут и проявился спортивный элемент = на вертолете на Эверест, но непонятно как ты там очутился, или с кислородом и проводником, но видишь маршрут. А если так = то математика теперь это чистое хобби, как у Ферма в 17 веке. И естественно сотни и тысячи "покорителей" Эвереста. На вертолетах. За мелкий прайс (пока не запретили еще, могут запретить).
Математика без живых докладов и обсуждений.
Вот что будут делать функционеры типа Майкла Харриса или Теренса Тао:
в очередь сукины дети, в очередь...
А зачем? Денег то функционерам больше не дадут.
Алеша мне доказывает - дело в деньгах и только в деньгах. Поэтому такой удивительный препринт. Нечеловеческая Красота!
можно цитировать результаты но читатть невозможно. противоречие. оно снимается тем, что просишь прочитать робота, и убрать лишнее и объяснить логику и связи между результатами. Без робота - никак. Но, как источник фактов - ок, типа справочника. Но тогда не нужны доказательства. это иммитация того, чего нет - нет смысла, т.е. человек все таки нужен, как тот кто понимает, что написано и пересказывает это своими словами = как у Лакатоса = получить удовольствие от понимания (я на таком этапе, но не от этой модели, нужно попросить пересказывать и доказывать модель попроще) = суметь повторить (вот и цель этих роботов - обучающая, нужно стать как ребенок. если можешь и научиться повторять то, что понял) = суметь опровергнуть (этот уровень понимания только для продвинутых моделей, не для человека)
Таким образом цель понятная (как читать работы AI): убрать шум. оставить только результаты. подумать. попросить модель попроще дать указания к решению. опять подумать. Опять поспрашивать. Попросить подсказать. Грубо говоря все статьи AI это продвинутый сборник задач с аи-решениями. Не для стариков.
qed
Подписаться на:
Сообщения (Atom)