S^3 Part V Bridge

 # Мост к целым функциям

*Фавар на сфере S³. V. Общая сигнатура и предельная константа*

На сфере узлы экстремального полинома расположены неравномерно. Однако, если увеличивать окрестность полюса вместе со степенью, их рисунок постепенно становится устойчивым. Возникает вопрос: какой математический объект хранит этот рисунок?

Ответ приходит из задачи о сравнении норм. Её экстремальная целая функция определяет предельные сферические узлы. Мы объясним этот переход и сформулируем результат; подробные оценки остаются как равлечение для желающих понять тонкости.

## От сферы к устойчивому профилю

Работаем на единичной сфере \(S^3\) в четырёхмерном пространстве. Положительный лапласиан обозначим через \(L=-\Delta_{S^3}\). Сферические гармоники степени \(k\) — аналоги синусов и косинусов — имеют собственные значения \(k(k+2)\). У функции \(f\) удалены гармоники степеней меньше \(n\); мы ищем оценку её нормы через норму \(Lf\).

Пусть \(E_n\) — наименьшая интегральная ошибка приближения функции Грина сферическими полиномами степени меньше \(n\). Это точный коэффициент Фавара в равномерной норме; для остальных норм — верхняя оценка.

Главная неизвестная — сигнатура, то есть знак ошибки наилучшего приближения. Она должна быть ортогональна всем низким гармоникам. Для функций, зависящих только от расстояния до полюса, условие становится одномерным: знак ортогонален полиномам степени меньше \(n\) с весом \(\sqrt{1-x^2}\), где \(x=\cos\theta\).

Ортогональность полинома Гегенбауэра не означает ортогональности его знака. Правильную сигнатуру выбирает минимизация интегральной нормы полинома с фиксированным старшим коэффициентом: первая вариация нормы даёт нужные условия.

При чётной степени \(n=2m\) симметрия позволяет сложить две половины сферы. После замены \(t=2\theta\) получаем эквивалентную нормовую задачу: среди косинус-полиномов \(P_m\) степени не выше \(m\) с условием \(P_m(0)=1\) минимизировать

\[
\ell_m=\int_0^\pi|P_m(t)|\,dt.
\]

Допустимые вариации имеют вид \((1-\cos t)q(\cos t)\); множитель \(1-\cos t\) возникает из сферической меры. Соответствие точное.

Увеличим полярную область, положив \(t=u/(m+1)\). Периодизация целой экстремали даёт верхнюю оценку норм полиномов. Обратно, компактность семейства и минимальность предельной нормы показывают: любой предельный профиль решает одну и ту же задачу. Единственность её решения определяет предел всей последовательности.

Так мы приходим к целой функции \(H\) с \(H(0)=1\), минимизирующей интеграл \(\int_{\mathbb R}|H(u)|\,du\) среди целых функций экспоненциального типа не выше единицы. Тип ограничивает скорость роста при комплексном аргументе; для интегрируемых функций это равносильно ограничению частот отрезком \([-1,1]\). В результате

\[
P_m\!\left(\frac{u}{m+1}\right)\longrightarrow H(u),
\qquad (m+1)\ell_m\longrightarrow B.
\]

## Что даёт современная работа

Функция \(H\) оказывается масштабированной экстремалью Хёрмандера—Бернхардссона. Её современное описание принадлежит Бондаренко, Ортеге-Серде, Радченко и Сейпу. Авторы рассматривают тип \(\pi\): их функцию обозначим через \(\varphi\), а нормовую константу — через \(\mathscr C\). Она удовлетворяет точному неравенству \(|h(0)|\le\mathscr C\|h\|_1\).

Наши нормировки связаны просто: \(H(u)=\varphi(u/\pi)\). Поэтому

\[
B=\frac12\int_{\mathbb R}|H(u)|\,du
=\frac{\pi}{2\mathscr C}\approx2{,}903887.
\]

Современная работа определяет экстремаль через дифференциальное уравнение для множителя, содержащего чередующиеся нули. Спектральная задача и дополнительное условие позволяют вычислять параметры; подробная асимптотика описывает отклонение узлов от равномерной сетки.

Этот язык близок методу Геронимуса—Пехерсторфера -- Бабенко: сначала сигнатура, затем разделение чередующихся узлов и аналитические множители. В черновике Бабенко 2019 года такое разделение уже присутствует. Современное решение добавляет эффективный дифференциальный и спектральный механизм. Именно его мы используем, а не приписываем ему происхождение всей конструкции.

Почему нормовая сигнатура (для C-L задачи)  годится для Фавара? На конечной сфере интерполяционный остаток функции Грина равен экстремальному полиному, умноженному на положительный интеграл. Его знак поэтому совпадает с нормовой сигнатурой. В пределе сохраняется тот же механизм: по \(H\) строится низкочастотная часть фундаментального решения, а остаток имеет знак \(H\).

Есть важная техническая граница. Сходимость первых узлов ещё не разрешает переходить к пределу в интеграле по всей сфере. В доказательстве строится интегрируемая мажоранта, контролирующая и полюс, и дальнюю область. Здесь полиномы Гегенбауэра вновь полезны: они дают простой вспомогательный остаток, хотя сами не выбирают точные узлы.

Обозначим положительные нули \(\varphi\) через \(\tau_k\). В современной работе возникает ряд

\[
L_-(s)=\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^k}{\tau_k^s}.
\]

Первоначально его можно определить при \(\operatorname{Re}s>1\), затем продолжить аналитически на всю комплексную плоскость. Для нашей задачи появляется значение при \(s=-2\). Подставлять его непосредственно в ряд нельзя: члены тогда даже не стремятся к нулю. Нужно вычесть известные ведущие члены асимптотики узлов; оставшаяся сумма сходится абсолютно. Аналитическое продолжение фиксирует вклад вычтенной части.

Таким образом, точная запись числа опирается на точно определённую функцию и её узлы. Она остаётся точной и без выражения через привычные элементарные константы.

## Константа возвращается на сферу

Сферическая часть рабочего доказательства приводит к формуле

\[
\boxed{\displaystyle
\lim_{n\to\infty}n^2E_n=F_{1,3}
=-\pi^2L_-(-2)\approx2{,}85099942.}
\]

Современная статья предоставляет целую экстремаль и продолжение ряда. Отождествление этого значения с константой сферического Фавара требует описанных переходов; оно относится к нашему рабочему выводу.

То же число имеет положительную интегральную запись:

\[
F_{1,3}=\frac B\pi\int_0^\infty\frac{du}{H(iu)}.
\]

Вещественные нули описывают чередование знаков; при мнимом аргументе произведение по этим нулям становится положительным. Поэтому интегральная формула удобна для оценок. Её самостоятельный вывод непосредственно из круговых полиномов обсуждается в заключительной главе.

Мост позволяет получить и оценку для каждой степени. Зональную функцию \(f\) продолжаем чётно и периодически, затем в трёхмерном евклидовом пространстве рассматриваем радиальную функцию \(v(r)=f(r)\sin r/r\). Сферическая гармоника степени \(k\) превращается в частоту радиуса \(k+1\). Прямое дифференцирование даёт

\[
-\Delta_{\mathbb R^3}v(r)
=\frac{\sin r}{r}(L+1)f(r).
\]

Евклидов остаток обращения имеет интегральную норму \(F_{1,3}/a^2\) при частотном масштабе \(a\). Отсюда следует \(E_n\le F_{1,3}/((n+1)^2-F_{1,3})\). Отдельная аналитическая оценка \(F_{1,3}<3\) позволяет упростить знаменатель до \(n^2\). Получаем

\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_p\le\frac{F_{1,3}}{n^2}\|Lf\|_p,
\qquad n\ge1,\quad1\le p\le\infty,}
\]

для функций без гармоник степеней меньше \(n\), сначала гладких. Здесь общий коэффициент не зависит от степени; точная асимптотика показывает, что в равномерной норме уменьшить его нельзя. Точность в интегральной норме остаётся отдельным вопросом.

Формула продолжает знакомую линию: на окружности возникает \(\pi^2/8\), в разобранной нами задаче на \(S^2\) — \(\tfrac74\zeta(3)\), на \(S^3\) — ряд по экстремальным нулям. Геометрия сетки усложняется, а принцип Фавара сохраняется: сначала найти правильный знак, затем вычислить на нём действие обратного оператора.

Нужно еще проверить нормировки и вспомогательные оценки. Однако устройство результата уже можно объяснить: нормовая задача выбирает предельную форму, функция Грина превращает её в константу Фавара. Следующий вопрос — как пройти этот путь непосредственно на сфере. Ему посвящена заключительная глава.