# Когда две константы встречаются на сфере
*Фавар на сфере S³. VI. Прямой путь и заключительный аккорд*
У двух задач могут быть разные вопросы и один ответ в виде функции. Одна задача спрашивает: какой полином имеет наименьшую интегральную норму при заданной нормировке? Другая: насколько велика функция, если известна величина её лапласиана и удалены низкие гармоники? В нашем случае эти вопросы встречаются на трёхмерной сфере. Их связывает общий рисунок перемен знака — сигнатура.
В этой заключительной заметке мы опишем встречу, не воспроизводя матричных вычислений. Все обозначения введём заново: её можно читать отдельно от остальных частей цикла.
## Один знак для двух задач
Сфера \(S^3\) — множество единичных векторов в четырёхмерном пространстве. На ней действует положительный оператор \(L=-\Delta_{S^3}\). Его собственные функции, сферические гармоники, играют роль синусов и косинусов. Гармонике степени \(k\) соответствует собственное значение \(k(k+2)\).
Пусть у функции \(f\) отсутствуют гармоники степеней \(0,\ldots,n-1\). Неравенство Фавара связывает норму \(f\) с нормой \(Lf\). Естественный масштаб коэффициента — \(n^{-2}\): лапласиан усиливает высокие частоты примерно в квадрат их номера. Но спектр сам по себе не определяет точный коэффициент в равномерной или интегральной норме.
Обращение лапласиана задаётся функцией Грина. Обозначим через \(E_n\) наименьшую интегральную ошибку её приближения сферическими полиномами степени меньше \(n\). Именно это число даёт оценку Фавара; в равномерной норме оно является точной нормой обратного оператора на пространстве без низких гармоник.
Чтобы найти наилучшее приближение, нужно определить знак его ошибки. Для зональных функций, зависящих только от расстояния до полюса, возникает одномерный вес \(\sqrt{1-x^2}\), где \(x\) — косинус этого расстояния. Искомый знак должен быть ортогонален всем полиномам степени меньше \(n\).
Такой знак выбирает другая, нормовая задача: среди полиномов степени \(n\) с фиксированным старшим коэффициентом найти полином наименьшей взвешенной интегральной нормы. Если изменить его на полином меньшей степени, первая вариация нормы должна исчезнуть. Это и даёт нужную ортогональность знака.
Теперь интерполируем функцию Грина в найденных корнях. Особое интегральное представление её остатка показывает, что остаток имеет тот же знак. Поэтому нормовая задача действительно выбирает сигнатуру для Фавара. Здесь находится содержательная связь: совпадение проверяется свойством конкретного ядра.
При чётной степени \(n=2m\) симметрия позволяет перейти к углу \(t=2\theta\). Сферическая задача становится круговой: найти косинус-полином \(P_m\) степени не выше \(m\), для которого \(P_m(0)=1\) и
\[
\ell_m=\int_0^\pi |P_m(t)|\,dt
\quad\text{минимально}.
\]
Это конечномерная нормовая задача типа Ахиезера—Крейна. Нормировка в точке появляется после преобразования; подменять ею исходную сферическую нормировку без учёта веса нельзя.
## Остаться на сфере и увидеть предел
Прямой путь начинается с этих конечных полиномов. Их узлы разделяются на две чередующиеся группы; каждой группе соответствует свой множитель. Моментные условия превращаются в дифференциальное тождество, затем — в уравнение для множителя. В подходящем базисе получается трёхдиагональная матрица.
Матрица ещё не решает задачу целиком. Нужно выбрать собственную ветвь и проверить дополнительное фазовое условие. Они выделяют именно экстремальный полином. Поэтому мы можем вычислять узлы, даже не имея для них простой явной формулы.
Здесь существенна генеалогия идей. Схема Ахиезера—Крейна связывает минимизацию нормы с двойственным функционалом. Представления Геронимуса и метод Бабенко дают язык чередующихся узлов и половинных множителей; эта конструкция уже есть в записке Бабенко 2019 года. Современная работа Бондаренко, Ортеги-Серды, Радченко и Сейпа о функции Хёрмандера—Бернхардссона подсказала дифференциальный и спектральный механизм: от моментных условий к уравнению и дополнительному условию на решение.
В прямом сферическом выводе мы используем эти идеи, но не переносим готовую теорему о нормовой экстремали с прямой. Конечные полиномы строятся на окружности, возникающей из сферы. Логическая самостоятельность вывода вполне совместима с благодарностью за подсказавшие его методы.
Чтобы увидеть устойчивый рисунок возле полюса, увеличим его окрестность в \(m+1\) раз. В рабочем доказательстве получены пределы
\[
B=\lim_{m\to\infty}(m+1)\ell_m,
\qquad
H(u)=\lim_{m\to\infty}P_m\!\left(\frac{u}{m+1}\right).
\]
\(H\) — предельный профиль экстремальных полиномов, нормированный условием \(H(0)=1\). Его вещественные нули описывают узлы; на мнимой оси он положителен. Причина проста: вещественные корни при мнимом аргументе дают положительные множители в произведении.
Вместо трудной знакопеременной суммы по узлам появляется точная положительная формула:
\[
E_{2m}=\frac{\ell_m}{4\pi}
\int_0^\infty\frac{d\eta}{P_m(i\eta)}.
\]
Она позволяет контролировать весь интеграл одной оценкой, не отслеживая каждый дальний корень. После изменения масштаба получаем главный результат:
\[
\boxed{\displaystyle
\lim_{n\to\infty}n^2E_n=F_{1,3}
=\frac{B}{\pi}\int_0^\infty\frac{du}{H(iu)}.}
\]
Нечётные степени включаются посредством монотонности ошибок приближения. Численно \(B\approx2{,}903887\), а \(F_{1,3}\approx2{,}850999\). Это два функционала одной экстремали: её нормовый масштаб и её действие на ядро Грина.
## Простая оценка и открытый финал
Точная экстремаль сложна, однако её рост на мнимой оси допускает сравнение с простым полиномом Фейера. В пределе оно принимает вид
\[
H(iu)\ge
\left(\frac{\sinh(u/2)}{u/2}\right)^2.
\]
Обратный интеграл для правой части равен \(\pi^2/3\). Конечная версия сравнения даёт явное неравенство Фавара для всех степеней:
\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_p\le\frac{\pi^2}{3n^2}\,\|Lf\|_p,
\qquad n\ge1,\quad1\le p\le\infty,}
\]
если у \(f\) отсутствуют гармоники степеней меньше \(n\). Достаточно сначала рассматривать гладкие функции; дальнейшее расширение относится к соответствующей области определения лапласиана.
Коэффициент \(\pi^2/3\approx3{,}289868\) примерно на 15,4 процента выше предельного \(F_{1,3}\). Оценка проста, имеет правильный порядок и охватывает все степени. Она выражает тот же принцип Фавара, что и классическая оценка на окружности: удаление медленных колебаний позволяет восстановить функцию по производной с малым коэффициентом. На сфере роль второй производной играет лапласиан.
Полином Фейера здесь особенно уместен. Он не является искомой экстремалью: для точной сигнатуры нужно чередование знаков. Но его простой положительный профиль даёт контроль сложной экстремали. Знакомый объект остаётся полезным и там, где он перестаёт быть точным ответом.
Что ещё требуется? Прямой круговой вывод пока не доказывает оценку \(E_n\le F_{1,3}/n^2\) при каждой конечной степени. Из точной асимптотики такое утверждение автоматически не следует. Нужно сравнить конечные интегралы с предельным — либо получить явно указанную небольшую поправку.
Есть и различие метрик. Для ошибки ядра и равномерной нормы коэффициент \(F_{1,3}\) асимптотически точен: любой общий коэффициент при \(n^{-2}\) не может быть меньше него. В интегральной норме получена верхняя оценка; совпадение с точной ограниченной операторной нормой требует отдельного доказательства. Запись предельного числа через регуляризованный ряд по узлам также нуждается в самостоятельном обосновании.
Доказательную часть следует проверить целиком: согласовать нормировки и развернуть вспомогательные оценки. Эта глава объясняет устройство рабочего результата, а подробную проверку оставляет вашей модели.
И всё же место встречи уже видно. Задача Ахиезера—Крейна выбирает форму; задача Фавара измеряет действие лапласиана на этой форме. Между ними стоит одна сигнатура. В этом и состоит заключительный аккорд: два разных вопроса становятся понятнее, когда удаётся расслышать их общий рисунок.
---
*Об источниках метода.* А. Г. Бабенко, **Signum Function**, записка от 2 июля 2019 года, §§3.1–3.2; L. Hörmander, B. Bernhardsson, **An extension of Bohr’s inequality** (1993); A. Bondarenko, J. Ortega-Cerdà, D. Radchenko, K. Seip, **The Hörmander–Bernhardsson extremal function**, [arXiv:2504.05205v2](https://arxiv.org/abs/2504.05205v2). Современная статья служит источником метода, а сферические формулы относятся к нашему рабочему выводу.
Комментариев нет:
Отправить комментарий