S^3 Part II: In the beginning were $S^1$ and $S^2$

# Фавар: восстановить функцию по её колебаниям

*Фавар на сфере S³. II. Окружность, сфера и точные сигнатуры*

Насколько хорошо полином ограниченной степени может описать функцию? Гладкость помогает, согласуя соседние значения. Но как измерить эту помощь точно?

В центре нашего рассказа стоит теорема Фавара. Её механизм обращает дифференцирование и переносит задачу о целом классе функций на одно ядро. Если понять наилучшее приближение этого ядра, становятся доступны прямые оценки для всех функций класса. На сфере производную заменяет лапласиан, а ядро Бернулли — функция Грина.

Начнём с окружности, где точные узлы известны. Затем посмотрим на \(S^2\): там геометрия неожиданно сохраняет простоту знаков. Эти два случая подготовят нас к \(S^3\), где знакомый метод встретится с новым весом.

## Окружность: ядро вместо класса функций

На единичной окружности функция периодична с периодом \(2\pi\). Полином степени меньше \(n\) содержит постоянную составляющую и синусы и косинусы частот \(1,\ldots,n-1\). Отсутствие этих частот означает, что у функции нет низких гармоник. Это условие обозначим \(f\perp\mathcal T_{n-1}\).

Для первого лапласиана \(L=-d^2/d\theta^2\) неравенство Бора—Фавара принимает вид

\[
\boxed{\displaystyle
\|f\|_\infty\le\frac{\pi^2}{8n^2}\|Lf\|_\infty,
\qquad f\perp\mathcal T_{n-1}.}
\]

Коэффициент точен. Разрешённая гармоника частоты \(n\) дала бы только \(1/n^2\). Экстремальная функция использует несколько частот согласованно: её вторая производная приближается к чередующейся ступеньке. Гладкие приближения этой функции показывают, что коэффициент уменьшить нельзя.

Для произвольной гладкой периодической функции тот же коэффициент оценивает ошибку приближения: \(e_{n-1}(f)_\infty\le[\pi^2/(8n^2)]\|f''\|_\infty\). Здесь \(e_{n-1}\) — наименьшая равномерная ошибка среди полиномов степени меньше \(n\). Низкие частоты принимает на себя приближающий полином.

Почему возникает точная константа? На функциях с нулевым средним \(L\) обращается свёрткой с периодическим ядром. При нормировке свёртки мерой \(d\theta/(2\pi)\) оно имеет ряд \(2\sum_{k\ge1}\cos(k\theta)/k^2\). Вычитая из ядра полином низкой степени, получаем остаток, чья интегральная норма оценивает ошибку восстановления. Наилучший остаток имеет знак \(\operatorname{sign}\cos(n\theta)\), ортогональный низким частотам.

Его узлы равномерны. Сам знак служит двойственным свидетельством: интегрирование против него даёт нижнюю границу, совпадающую с нормой остатка. Именно так доказывается точность, а не только верхняя оценка. Вычисление даёт

\[
F_{1,1}=\frac4\pi\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{(-1)^j}{(2j+1)^3}=\frac{\pi^2}{8}
\approx1{,}2337005501.
\]

В ядре стоит вторая степень частоты; третья появляется после интегрирования против ступенчатого знака. В классической нумерации это константа \(K_2\); индекс \(1\) в \(F_{1,1}\) означает первую степень лапласиана.

## Сфера: размерность входит через меру

На единичной сфере \(S^2\subset\mathbb R^3\) гармоника степени \(k\) имеет собственное значение \(k(k+1)\) для \(L=-\Delta_{S^2}\). Сферические полиномы степени меньше \(n\) образуют пространство \(\Pi_{n-1}\). Условие \(f\perp\Pi_{n-1}\) снова означает отсутствие низких уровней.

Лапласиан объединяет вторые производные по касательным направлениям и не зависит от выбора координат. Его ядро обращения зависит только от расстояния \(\theta\) между точками. При обычной поверхностной мере, когда площадь сферы равна \(4\pi\), нормированная функция Грина равна

\[
G_2(\theta)=\frac{-1-2\log\sin(\theta/2)}{4\pi}.
\]

Она имеет нулевое среднее. Логарифмическая особенность у полюса интегрируема; это местный след двумерного лапласиана. Как и на окружности, \(f\) с нулевым средним восстанавливается свёрткой \(G_2*Lf\).

Обозначим через \(\mathcal E_n(S^2)\) наименьшую интегральную ошибку приближения \(G_2\) сферическими полиномами степени меньше \(n\). Она даёт оценку

\[
\|f\|_p\le\mathcal E_n(S^2)\|Lf\|_p,
\qquad f\perp\Pi_{n-1},\quad1\le p\le\infty.
\]

Для равномерной нормы коэффициент \(\mathcal E_n\) точен. Для интегральной нормы здесь утверждается верхняя оценка; её точность на подпространстве без низких гармоник — отдельный вопрос. Это различие сохранится и на \(S^3\).

Усреднение вокруг полюса позволяет искать приближающий полином среди зональных — зависящих только от \(\theta\). Радиальная мера равна \(2\pi\sin\theta\,d\theta\). При замене \(x=\cos\theta\) она становится \(2\pi\,dx\): вес исчезает. Поэтому

\[
\mathcal E_n(S^2)=\frac12\inf_{\deg q<n}
\int_{-1}^{1}|-\log(1-x)-q(x)|\,dx.
\]

Это точная алгебраическая задача на обычном отрезке. Она встречается с классическим результатом Коркина—Золотарёва: минимальную интегральную норму среди монических полиномов степени \(n\) имеет \(2^{-n}U_n\), где \(U_n\) — полином Чебышёва второго рода.

Его знак ортогонален всем меньшим степеням. В угловой переменной он особенно прост:

\[
\operatorname{sign}U_n(\cos\theta)
=\operatorname{sign}\sin((n+1)\theta),
\qquad\theta_j=\frac{j\pi}{n+1}.
\]

У логарифма все производные положительны. Поэтому интерполяционный остаток в этих узлах имеет именно нужный знак, и двойственность удостоверяет наилучшее приближение. Заметим тонкость: зональные гармоники \(S^2\) — полиномы Лежандра; экстремальные узлы задаёт другое семейство, \(U_n\). Спектр и сигнатура выполняют разные роли.

## Две точные константы и путь к третьей

На \(S^2\) известен не только порядок ошибки, но и её точный ряд:

\[
\boxed{\displaystyle
\mathcal E_n(S^2)=2\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{1}{(2j+1)\bigl[(2j+1)^2(n+1)^2-1\bigr]}.}
\]

Здесь легко увидеть одновременно конечную задачу и её предел. Например, \(\mathcal E_1(S^2)=\log2\). При росте степени

\[
\lim_{n\to\infty}n^2\mathcal E_n(S^2)
=F_{1,2}=2\sum_{j=0}^{\infty}\frac1{(2j+1)^3}
=\frac74\zeta(3)\approx2{,}1035995805.
\]

Функция \(\zeta(3)=\sum_{k\ge1}k^{-3}\) появляется потому, что сумма кубических обратных степеней нечётных чисел равна \(\tfrac78\zeta(3)\). У окружности чередование знаков привело к степени \(\pi\); у двумерной сферы положительный ряд привёл к дзета-значению. Это разные результаты одного механизма: интегрирования ядра против точной сигнатуры.

Можно обойтись и без предельного символа: знаменатель каждого слагаемого не меньше \((2j+1)^3n(n+2)\). Поэтому для всех \(n\ge1\)

\[
\mathcal E_n(S^2)<\frac{F_{1,2}}{n(n+2)}
\le\frac{F_{1,2}}{n^2}.
\]

Знаменатель \(n(n+2)\) здесь возникает из точного ряда. Его не следует путать с первым допустимым собственным значением \(n(n+1)\). Предельная формула показывает, что в общей оценке с \(n^{-2}\), для равномерной нормы, коэффициент \(F_{1,2}\) нельзя уменьшить.

Вернёмся к месту Фавара в теории приближений. Приближая ядро и свёртывая найденный полином с \(Lf\), получаем \(e_{n-1}(f)_p\le\mathcal E_n(S^2)\|Lf\|_p\). Здесь \(e_{n-1}\) — ошибка приближения функции сферическим полиномом.

Так одно вычисление для функции Грина управляет целым классом гладких функций. Если гладкость задана разностями, сначала строят усреднение, связывающее разности с лапласианом, а затем применяют оценку Фавара. В операторном подходе к прямым теоремам это центральное звено; выбор усреднения и его геометрия требуют собственной работы.

На окружности одни узлы служат всем чётным порядкам ядер Бернулли. Это позволяет сочетать ядра, сохраняя согласованность знаков. На сфере такое согласование требует проверки остатка для каждого семейства операторов.

Итак, к переходу на \(S^3\) у нас есть два ориентира. Мы знаем, что искать: ядро обращения, его точный знак и интегральную ошибку. И знаем, чего нельзя угадывать по одному спектру: расположение экстремальных узлов. На \(S^3\) после замены \(x=\cos\theta\) останется вес \(\sqrt{1-x^2}\). Он нарушит готовую схему Коркина—Золотарёва и поставит новую задачу, которой посвящена следующая глава.

---