Ben Green (2026)

Как исключить невозможное: работа Бена Грина о нулях Ландау — Зигеля

Эта пятистраничная работа посвящена одной из давних трудностей теории чисел: могут ли определённые функции, описывающие распределение простых чисел, иметь вещественный нуль чрезвычайно близко к единице? Грин излагает короткий вариант доказательства отсутствия таких исключительных нулей. Главная идея удивительно осязаема: построить положительное целое число и показать, что предполагаемая аномалия заставляет его делиться на произведение, большее самого этого числа.

Сразу уточним происхождение результата. Грин прямо пишет, что развивает доказательство OpenAI, а свой вариант получил в обсуждении с ChatGPT 6 Astra, после чего самостоятельно переписал аргумент. Он отдельно отказывается от притязаний на человеческую оригинальность. Поэтому перед нами одновременно математическая работа и интересный пример перехода от найденного ИИ доказательства к короткому изложению, которое человек может понять и проверить.

Чтобы понять задачу, начнём с простого арифметического вопроса. Зафиксируем целое число \(d\), не являющееся квадратом. Для каждого нечётного простого \(p\), не делящего \(d\), спросим: разрешимо ли сравнение
\[
u^2\equiv d\pmod p?
\]
Если разрешимо, присвоим простому знак \(+1\); если нет — знак \(-1\). Так возникает квадратичный характер \(\chi(p)\).

При фиксированном \(d\) эти два типа простых в пределе уравновешиваются. Но здесь скрыта существенная тонкость: знать, что равновесие когда-нибудь наступает, и знать, на каком масштабе оно наступает, — разные вещи. Если само \(d\) велико, насколько далеко нужно просмотреть простые числа, чтобы увидеть закономерность? Именно вопрос о зависимости оценок от арифметических параметров превращает сравнительно простую картину в трудную проблему.

Распределение знаков связано с функцией Дирихле
\[
L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s},
\qquad \operatorname{Re}s>1,
\]
которую затем продолжают за пределы этой полуплоскости. Её нули управляют погрешностями в формулах о простых числах. Особенно опасен вещественный нуль \(\beta\), близкий к единице: он способен поддерживать сильный перевес знаков \(-1\) на очень большом промежутке.

Классическая теория научилась исключать нули из определённой области около единицы, оставляя возможность одного вещественного исключения для вещественного характера. Именно эта возможность и получила название нуля Ландау — Зигеля. На протяжении многих десятилетий она заставляла формулировать теоремы с оговорками, выделять исключительные случаи или довольствоваться неэффективными константами — такими, существование которых доказано, но пригодного способа вычисления из доказательства не получается.

Точный смысл рассматриваемого результата состоит в существовании абсолютной положительной константы \(c\), обеспечивающей разрыв
\[
1-\beta\geq \frac{c}{\log q},
\]
где \(q\) — проводник характера, то есть параметр его арифметической сложности. Таким образом, вещественные нули не могут подходить к единице сколь угодно тесно в естественном масштабе \(1/\log q\). Работа Бэнкса, развивающая исходное доказательство, даёт также конкретные допустимые константы. Это утверждение об исключительной области возле единицы; полной обобщённой гипотезы Римана оно не устанавливает.

Теперь — собственно идея Грина. Вместо непосредственного исследования нулей он доказывает арифметическое неравенство. Берётся достаточно большая постоянная \(C\) и масштаб \(X=q^C\). Затем рассматривается сумма
\[
A(X)=
\sum_{\substack{p\leq X\\ \chi(p)=-1}}
\frac{\log p}{p}.
\]
Вес \((\log p)/p\) здесь естественен: сумма с таким весом по всем простым до \(X\) равна \(\log X+O(1)\). Поэтому грубая оценка для \(A(X)\) имеет главный коэффициент \(1\).

Грин получает существенно больше:
\[
A(X)\leq
\left(\frac12+O\!\left(\frac1C\right)\right)\log X+O_C(1).
\]
При большом \(C\) коэффициент близок к ожидаемой половине. Существование нуля, слишком близкого к единице, создавало бы гораздо больший перевес простых со знаком \(-1\), несовместимый с этой оценкой. Переход от нуля к перевесу простых относится к стандартной аналитической теории; новое содержание сосредоточено в доказательстве самого неравенства.

Как его получить? Грин работает в квадратичном поле \(\mathbb Q(\sqrt d)\) и рассматривает пары сопряжённых чисел
\[
(z,z')=(x+y\sqrt d,\;x-y\sqrt d),
\]
где целые \(x,y\) пробегают квадратную сетку. На этих точках он вычисляет значения мономов \(z^r(z')^s\) и их последовательных производных по \(z\). Получаются длинные векторы. Из их попарных скалярных произведений строится матрица Грама \(G\).

Здесь соединяются три свойства. Её определитель — целое число. Его можно оценить сверху через обычные размеры векторов. И его делимость на простые можно исследовать, используя арифметику поля. Но прежде необходимо доказать самое важное: определитель не равен нулю.

Это первая серьёзная трудность. Нулевой определитель делится на любые степени любых простых, поэтому вся будущая арифметика была бы бесполезной. Нужна линейная независимость построенных векторов. Она, в свою очередь, означает следующее: ненулевой многочлен ограниченных степеней не может одновременно обращаться в нуль вместе со многими своими производными во всех выбранных точках.

В одной переменной всё привычно: сумма кратностей корней не превосходит степени многочлена. Для двух переменных такого простого утверждения нет — многочлен может обращаться в нуль на целой кривой. Грин преодолевает препятствие, сочетая геометрию сетки с результантом многочлена и его производной.

Результант можно понимать как алгебраический прибор, обнаруживающий общие корни. Если при некотором значении второго параметра многочлен по первому параметру имеет корень большой кратности, то результант также обязан обращаться в нуль с соответствующей кратностью. Но степень результанта ограничена. Поэтому слишком много высоких кратностей накопиться не может. После разложения многочлена на неприводимые множители этот принцип даёт нужную независимость и положительность определителя.

Это место особенно интересно с точки зрения теории интерполяции: вопрос о нулях \(L\)-функции неожиданно сводится к вопросу, сколько условий на значения и производные способен выдержать ненулевой многочлен. Численный размер матрицы здесь вторичен; решает точная теорема о невозможности определённого расположения нулей.

Вторая трудность — заставить определитель делиться на большие степени нужных простых. Здесь появляется короткое, но чрезвычайно содержательное сравнение. Если \(\chi(p)=-1\), то
\[
(x+y\sqrt d)^p\equiv x-y\sqrt d\pmod p,
\]
то есть
\[
z^p\equiv z'\pmod p.
\]
Возведение в \(p\)-ю степень по модулю \(p\) меняет два сопряжённых числа местами. Поэтому многочлен \(z^p-z'\) во всех выбранных точках делится на \(p\).

Особенно удачно, что его производные положительного порядка по \(z\) тоже делятся на \(p\): у первой возникает коэффициент \(p\), у следующих сохраняется соответствующая делимость, а производные порядка выше степени равны нулю. Благодаря этому арифметическая делимость сохраняется при использовании производных. Можно вводить степени \((z^p-z')^h\) и получать уже делимость на \(p^h\).

Однако просто заменить исходные мономы такими выражениями нельзя: можно испортить определитель или выйти за допустимые степени. Грин выбирает замены треугольным образом: каждый новый вектор равен прежнему плюс комбинация предшествующих. Определитель при этом сохраняется. Зато из строк и столбцов новой матрицы можно вынести большие степени \(p\). Так каждый простой со знаком \(-1\) предъявляет определителю своё обязательное требование делимости.

Остаётся третья трудность: согласовать все параметры. Нужны достаточно многие точки и производные, чтобы обеспечить независимость и сильную делимость. Но чрезмерные степени многочленов раздувают обычную величину определителя. Грин выбирает существенно разные диапазоны степеней по двум переменным и подходящее число производных. Верхняя оценка получается из неравенства Адамара, нижняя — из накопленной делимости. Их сравнение и даёт коэффициент \(1/2\) в оценке суммы по простым.

В основе лежит совсем элементарное ограничение. Если положительное целое число \(D\) делится на \(\prod_p p^{e_p}\), то
\[
\sum_p e_p\log p\leq\log D.
\]
Вся изобретательность заключается в выборе такого \(D\), для которого обе стороны можно содержательно оценить. Здесь этим числом служит определитель Грама: геометрия ограничивает его величину, а арифметика требует высокой делимости.

Значение работы двойное. Во-первых, она делает доступным механизм устранения давнего препятствия в равномерных оценках теории чисел. Во-вторых, она показывает силу правильно выбранного конечного объекта: глобальная аналитическая аномалия оказывается несовместимой со свойствами одной целочисленной матрицы. Грин также упрощает исходную конструкцию, оставаясь в квадратичном поле и заменяя алгоритмический выбор определителя явным.

19 октября 2026 года Теренс Тао опубликовал разбор именно этой линии доказательства, выделив изящество формулировки Грина. Он связывает её с полиномиальным методом, в котором одновременно используются обычные размеры и арифметическая делимость. Это уже содержательная математическая переработка первоначального результата.

Особенно интересен характер преодолённой трудности. Здесь не понадобилось вычислять огромный определитель. Понадобилось понять, почему он положителен, почему имеет ограниченный размер и почему его делимость отражает распределение простых. Решающим достижением стал выбор конструкции, в которой три прежде раздельных вопроса начали отвечать друг на друга.

Источники

Бен Грин. [On Landau–Siegel zeros](https://hexagonmath.org/pdf/2610.00311v2).

Уильям Бэнкс. [On the OpenAI proof that Landau-Siegel zeros do not exist](https://arxiv.org/abs/2610.15483).

Теренс Тао. [A sketch of the proof of non-existence of Siegel zeroes](https://terrytao.wordpress.com/2026/10/19/a-sketch-of-the-proof-of-non-existence-of-siegel-zeroes/).

=======================================================================

Грин всегда писал ясно и хорошо излагал результаты Бургена, к примеру.  Это особенность математика, для которого награда (даже медаль Филдса за прогрессию в простых числах) вторична. Красота результата и красота изложения первичны!  

Эта часть теории чисел (диофантовы приближения по духу) элементарна и трудна.  Дух Шарля Эрмита одобряет и радуется этой работе Бена Грина.

========================================================================

Здесь возникает и непосредственная связь с нашей предыдущей темой — почти периодическими функциями Бора. При фиксированном \(\sigma>1\)
\[
L(\sigma+it,\chi)
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^\sigma}
e^{-it\log n}.
\]
Как функция переменной \(t\), это равномерно почти периодическая функция: абсолютная и равномерная сходимость ряда позволяет приближать её конечными суммами волн с частотами \(-\log n\). Перед нами знакомая конструкция Бора, возникающая внутри самой теории \(L\)-функций.

Однако исключительный вещественный нуль \(\beta<1\) лежит за пределами этой области абсолютной сходимости. Поэтому указанная связь сама по себе не решает задачу об исключительных нулях.

Она позволяет яснее увидеть соседство двух тем нашего журнала: арифметики и почти периодических колебаний. А сопоставление с малыми знаменателями при обращении операторов остаётся полезной методической аналогией; прямого переноса доказательства Грина на наши задачи мы пока не установили. 

==================================================

Двигаясь к Бору, мы встретили Грина... 

тут уместно вспомнить Венечку:  

«…когда я ищу Кремль, я неизменно попадаю на Курский вокзал»

 В §10,  обзора Бена Грина «Restriction and Kakeya Phenomena»  посвящённом связи гипотезы Монтгомери с задачей Какея, суммы Дирихле предстают как суммы колебаний:
\[
D(t)=\sum_{n=1}^{N}a_n e^{it\log n}.
\]
Это почти периодические полиномы Бора с частотами \(\log n\). Сближение фаз позволяет многим слагаемым складываться согласованно и создаёт большие значения суммы; их распределение связывает геометрию Какея с вопросами о дзета-функции.

Поэтому обзор Грина здесь служит естественным мостом. В наших задачах близость к резонансной фазе затрудняла обращение оператора; здесь согласование фаз усиливает сумму волн. Задачи различны, но язык колебаний и фаз помогает увидеть их соседство. Мы двигались в сторону Бора — и нашли у Грина содержательное продолжение этой линии. 

«…когда я ищу Бора, я неизменно попадаю к Грину - иногда встечаю по пути Боголюбова...» 

О, эфемерность! О, самое бессильное и позорное время в жизни моего народа – время от рассвета до открытия магазинов! Сколько лишних седин оно вплело во всех нас, в бездомных и тоскующих шатенов!