От Фавара к Бору 7 (Туман)

 Призрак Уитни (почему он стал призраком)

Вершина в тумане
Седьмая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.

На перевал опустился туман. В нашей воображаемой горной прогулке ещё недавно различались соседние стены и знакомые силуэты. Казалось, мы увидели Уитни и сумеем повторить несколько его движений. Потом на соседней тропе появился Гаусс. Теперь не видно ни одного из них, и уже непонятно, на какую именно гору поднимался замеченный нами силуэт.

Мы сидим и разбираем сделанное. Пока дальнейший путь скрыт, особенно важно помнить, какие места мы действительно прошли, а какие только надеялись пройти.

Что привело нас сюда

Мы исследовали восстановление функции по её разностям и дополнительным условиям. Вторая разность не замечает прямую, третья — любую параболу. Поэтому для восстановления приходится закреплять невидимую часть функции: значениями в точках, интегралами или другими условиями.

Для третьего порядка мы сначала потребовали нулевые средние на трёх равных частях отрезка. Затем решили передвинуть границы. Нас привлекла конкретная возможность: подобрать их так, чтобы остаток от x³ после вычитания параболы имел гауссовы нули.

Это удалось. Нужные границы оказались равны

\[
a=\frac12-\frac1{2\sqrt5},
\qquad
1-a=\frac12+\frac1{2\sqrt5}.
\]

Приблизительно это 0,2764 и 0,7236. Пробный кубический многочлен стал многочленом Лежандра с подходящей нормировкой. Его нули совпали с узлами трёхточечной квадратуры Гаусса.

Этот результат остаётся верным. Туман его не отменяет.

Но из удачного расположения нулей возникла следующая надежда: возможно, при таких границах будет проще доказать оценку Уитни с константой 1.

Что именно мы хотели доказать

Пусть g непрерывна на [0,1] и

\[
\int_0^a g(x)\,dx=0,\qquad
\int_a^{1-a}g(x)\,dx=0,\qquad
\int_{1-a}^1g(x)\,dx=0.
\]

Наша гипотеза имела вполне определённый смысл:

\[
\|g\|_\infty\le\omega_3(g),
\]

где ω₃ — наибольший модуль третьей разности по всем четвёркам равноотстоящих точек, помещающимся в отрезке.

Здесь существенно слово «всем». Проверка одного кубического многочлена ничего ещё не говорила о произвольных непрерывных функциях. Мы решили испытать гипотезу на ломаных: их легко задавать, рисовать и проверять.

Первые вычисления обнадёживали. Для двух пространств ломаных на сетках, дополненных нашими границами, поиск наибольшего отношения дал примерно 0,8531 и 0,9923. Обе величины были меньше единицы.

Это свидетельствовало только о проверенных классах. Тем не менее картина подсказывала надежду, и её хотелось рассмотреть внимательнее.

Узкий участок у самого края

Следующая проверка изменила картину. В сетку добавили очень близкую к левому концу точку. Теперь ломаная могла иметь узкий высокий пик у края и небольшие колебания дальше внутри отрезка.

Появился кандидат, нарушающий оценку. Чтобы результат не зависел от округлений численной оптимизации, его упростили и проверили заново.

Взяли ломаную u с двадцатью узлами. Все её узлы рациональны: это 0, дополнительная точка 1/1000 и точки j/18, где j = 1,…,18. Значения в узлах округлили до тысячных.

Из u вычли параболу Q_Gu, имеющую те же интегралы по нашим трём участкам. Остаток

\[
g=u-Q_Gu
\]

по самому определению удовлетворяет трём нулевым интегральным условиям. Третьи разности при вычитании параболы не меняются.

Точная проверка дала

\[
\omega_3(g)=\omega_3(u)=\frac{501}{500}=1{,}002,
\qquad g(0)>1{,}0153.
\]

Таким образом,

\[
\frac{\|g\|_\infty}{\omega_3(g)}
\ge\frac{g(0)}{\omega_3(g)}
\approx1{,}0133058>1.
\]

Гипотеза с константой 1 для выбранных сдвинутых границ оказалась неверной.

Почему проверка охватывает все шаги

Для ломаной третья разность зависит от двух переменных: начальной точки и шага. Пока ни одна из четырёх точек не пересекла излом, эта зависимость линейна. Поэтому область допустимых положений разбивается на конечное число многоугольников. Наибольший модуль линейной функции достигается в вершине.

Все такие положения можно перебрать. В нашей проверке допустимые пересечения проверялись рациональной арифметикой; край с нулевым шагом даёт нулевую разность. Значение вычитаемой параболы в нуле также вычислялось точно — с рациональными числами и √5.

Сам остаток g после вычитания параболы уже не является ломаной. Но его третий модуль совпадает с модулем u, поэтому конечная проверка остаётся применимой.


От чего пришлось отказаться

Мы отказались от конкретной гипотезы: найденный гауссов сдвиг не сохраняет точную константу 1 в нашей задаче с интегральными ограничениями.

Предыдущий расчёт гауссовых нулей остаётся правильным. Сохраняется и единственность параболы, выбранной по трём средним. Сохраняется связь с обращением оператора. Изменился наш вывод о количественном качестве такого выбора.

Классическая константа W₃ относится к наилучшему приближению параболами. Там для каждой функции разрешается выбирать наиболее подходящую параболу. Наш контрпример касается одного заранее установленного способа выбора — по интегралам на сдвинутых участках. Он не опровергает классическую теорему Уитни.

Прояснилось и место технического затруднения. В доказательстве для равных частей граничное тождество использовало равноотстоящие нули первообразной. Сдвиг убрал это простое сокращение. Мы сначала надеялись найти ему замену с тем же бюджетом. Теперь знаем, что замена, обеспечивающая константу 1 для всего нового класса, невозможна.

Что видно в тумане

Хорошее поведение гладкого пробного многочлена не обеспечило хорошей оценки для всего класса. Узкий концевой пик вместе с небольшими внутренними колебаниями оказался чувствительнее к выбранным ограничениям.

Первые вычисления не могли увидеть такую форму: в них не хватало разрешения возле конца. Расширение проверяемого класса изменило вывод. В совместной работе с AI это важный эпизод: быстрая проверка полезна, но нужно постоянно спрашивать, какие функции она вообще позволяет рассмотреть.

Теперь перед нами несколько вопросов. Какое свойство равных частей удерживает константу 1? Сохраняется ли она при каких-нибудь небольших симметричных сдвигах или равномерное расположение здесь особенно жёстко? Можно ли объяснить найденный контрпример гораздо проще, выделив взаимодействие пика и внутренних колебаний?

Вершина Уитни скрыта. Гаусс тоже исчез из виду. Мы пока не выбираем следующую стену: сначала нужно понять, что именно показал этот небольшой срыв нашей догадки.

Быть может, прежде чем искать новый путь наверх, стоит разобраться: какая незаметная опора удерживала нас на прежней тропе равных частей?