В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
Условие задачи:
- Есть 10 фотографий.
- На каждой фотографии:
- В центре — мужчина (все 10 мужчин различны).
- Слева от мужчины — его сын.
- Справа от мужчины — его брат.
Цель:
Найти наименьшее количество различных людей на всех фотографиях.
Анализ:
-
Мужчины в центре: Все 10 мужчин различны, значит, их минимум 10.
-
Братья:
- Если у каждого мужчины свой уникальный брат, то потребуется ещё 10 братьев.
- Но братья могут совпадать между фотографиями.
- Например, если два мужчины — братья, то на их фотографиях брат будет одним и тем же человеком.
-
Сыновья:
- Каждый сын — ребёнок мужчины в центре.
- Один и тот же человек может быть сыном на нескольких фотографиях, если он сын нескольких мужчин (например, если у мужчин есть общий сын).
Оптимизация количества людей:
-
Братья:
- Чтобы минимизировать количество братьев, можно организовать мужчин в пары братьев.
- Например, если , то потребуется 5 братьев (каждый брат участвует в двух фотографиях).
-
Сыновья:
- Чтобы минимизировать количество сыновей, можно предположить, что у всех мужчин один общий сын.
- Тогда потребуется 1 сын.
Минимальное количество людей:
- Мужчины в центре: 10 (все различны).
- Братья: 5 (если разбить мужчин на 5 пар братьев).
- Сыновья: 1 (общий сын для всех мужчин).
Итого: 10+5+1=16.
Ответ: Наименьшее количество различных людей на фотографиях — 16. ггг Угадал!
Но это для теста важно, но не для понимания структуры. Автор задачи: С.В. Конягин.
=======================================================================
gemini 3.0: (218 секунд, это немало)
Математическое решение
Пусть \( N = 10 \) — количество фотографий. Обозначим множество мужчин, стоящих в центре, как \( C = \{c_1, c_2, \dots, c_{10}\} \). По условию все \( c_i \) различны, то есть \( |C| = 10 \).
На каждой фотографии \( k \) изображена тройка: \[ (\text{Сын}_k, \text{Отец}_k, \text{Брат}_k) \] где \( \text{Отец}_k = c_k \). Нам нужно минимизировать общее количество уникальных людей: \[ S = |C \cup \{ \text{Сын}_1 \dots \text{Сын}_{10} \} \cup \{ \text{Брат}_1 \dots \text{Брат}_{10} \}| \]
Шаг 1: Минимизация людей справа (Братья)
Для каждого центрального человека \( c_k \) справа стоит его брат. Чтобы не вводить новых людей, мы можем разбить множество \( C \) на пары братьев. Так как \( |C| = 10 \), мы можем сформировать ровно 5 пар: \[ P_m = \{c_{2m-1}, c_{2m}\}, \quad m \in \{1, \dots, 5\} \] В этом случае множество "Братьев" полностью совпадает с множеством "Отцов". Дополнительных людей: 0.
Шаг 2: Минимизация людей слева (Сыновья)
Нам нужно 10 сыновей. Мы стремимся выбрать их из множества \( C \). Однако существуют ограничения:
- Граф родства не может иметь циклов (никто не является отцом своего предка).
- На одной фотографии отец может показать только одного сына.
Рассмотрим наши 5 пар братьев как 5 поколений (или узлов графа). Пусть пара \( P_1 \) является отцами пары \( P_2 \), \( P_2 \) — отцами \( P_3 \), и так далее до \( P_5 \).
Рассмотрим переход от поколения \( P_i \) к \( P_{i+1} \). В паре \( P_i \) два человека (два брата). У них общие дети (племянники друг для друга), но, чтобы показать человека из \( P_{i+1} \) как своего сына на фото, отец должен быть прямым родителем. Даже если у отца два сына в альбоме, на конкретном фото он занимает 1 место в центре и показывает 1 сына. Следовательно, из пары отцов \( P_i \) максимум один человек может показать сына, который является «внутренним» участником альбома (человеком из \( P_{i+1} \)). Второму брату из \( P_i \) придется показать сына, которого нет в списке \( C \) (внешнего человека), либо он вообще не имеет сыновей в \( C \).
Расчет количества "внешних" сыновей
- У нас есть цепочка поколений: \( P_1 \to P_2 \to P_3 \to P_4 \to P_5 \).
- Переходы (отцовство внутри группы) возможны только между уровнями.
- Всего переходов между 5 уровнями: 4 перехода.
- В каждом переходе только один отец может показать "внутреннего" сына.
- Итого, количество сыновей, взятых из числа \( C \): \( N_{int} = 4 \).
- Всего требуется сыновей: 10.
- Количество новых (внешних) людей: \( N_{ext} = 10 - 4 = 6 \).
Итоговый результат
\[ \text{Всего людей} = |C| + \text{Новые Братья} + \text{Новые Сыновья} \] \[ \text{Всего} = 10 + 0 + 6 = \mathbf{16} \]Визуализация графа (структура поколений)
Обозначим \( c_i \) как людей в центре, \( s_j \) как внешних сыновей. Стрелка \( \downarrow \) обозначает "на фото стоит слева (сын)", линия \( - \) обозначает "на фото стоит справа (брат)".
\[ \begin{array}{ccccc} \textbf{Поколение} & \textbf{Левая ветка} & \textbf{Связь} & \textbf{Правая ветка} & \textbf{Доп. люди} \\ \hline 1 & \fbox{\(c_1\)} & \xrightarrow{\text{брат}} & \fbox{\(c_2\)} & s_1 \text{ (для } c_2) \\ & \downarrow \text{сын} & & & \\ 2 & \fbox{\(c_3\)} & \xrightarrow{\text{брат}} & \fbox{\(c_4\)} & s_2 \text{ (для } c_4) \\ & \downarrow \text{сын} & & & \\ 3 & \fbox{\(c_5\)} & \xrightarrow{\text{брат}} & \fbox{\(c_6\)} & s_3 \text{ (для } c_6) \\ & \downarrow \text{сын} & & & \\ 4 & \fbox{\(c_7\)} & \xrightarrow{\text{брат}} & \fbox{\(c_8\)} & s_4 \text{ (для } c_8) \\ & \downarrow \text{сын} & & & \\ 5 & \fbox{\(c_9\)} & \xrightarrow{\text{брат}} & \fbox{\(c_{10}\)} & s_5, s_6 \\ \end{array} \]Примечание: Для \( c_1, c_3, c_5, c_7 \) сыновьями являются люди из следующего поколения. Для всех остальных (правая колонка и всё последнее поколение) требуются внешние люди \( s_1 \dots s_6 \).
Комментариев нет:
Отправить комментарий