комбинаторика (5, 6 класс)

 mistral:

 

Для решения задачи найдём количество шестизначных чисел, у которых все цифры чётные или все цифры нечётные.

---

1. Шестизначные числа с чётными цифрами

• Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8.
• Первая цифра (сотни тысяч) не может быть 0, поэтому она может быть: 2, 4, 6, 8 (4 варианта).
• Остальные пять цифр могут быть любыми чётными: 0, 2, 4, 6, 8 (5 вариантов для каждой).

Количество таких чисел:

$$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^5 = 4 \times 3125 = 12500$$4×5×5×5×5×5=4×55=4×3125=12500

---

2. Шестизначные числа с нечётными цифрами

• Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9.
• Первая цифра может быть любой нечётной: 1, 3, 5, 7, 9 (5 вариантов).
• Остальные пять цифр также могут быть любыми нечётными: 1, 3, 5, 7, 9 (5 вариантов для каждой).

Количество таких чисел:

$$5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6 = 15625$$5×5×5×5×5×5=56=15625

---

3. Итоговое количество

Сложим оба случая:

$$12500 + 15625 = 28125$$12500+15625=28125

---

Ответ: Существует 28 125 шестизначных чисел, у которых все цифры имеют одинаковую чётность.

 =============================================================

понятно, но излишнее точно, вычислять не просили.

==============================================================

gpt-loss-120b

 

Для числа из шести цифр (от 100 000 до 999 999) требуется, чтобы все его цифры были либо чётными, либо нечётными.

---

### 1. Все цифры чётные 

Чётные цифры: \( 0,2,4,6,8 \)– 5 вариантов. 
Но первая (старшая) цифра не может быть нулём, поэтому для неё остаётся только $2,4,6,8$ — **4 варианта**. 

Оставшиеся 5 позиций могут приниматься любой чётной цифрой, в том числе нулём: $5$ вариантов each.

$$
N_{\text{чёт}} = 4 \cdot 5^{5}
$$

---

### 2. Все цифры нечётные 

Нечётные цифры: $1,3,5,7,9$ – тоже 5 вариантов, и ни одна из них не равна нулю, так что первая цифра может быть любой из них: **5 вариантов**.

Каждая из остальных пяти позиций также может быть любой из 5 нечётных цифр.

$$
N_{\text{нечёт}} = 5 \cdot 5^{5}
$$

---

### 3. Общее количество 

$$
N = N_{\text{чёт}} + N_{\text{нечёт}}
   = \bigl(4+5\bigr)\,5^{5}
   = 9 \times 3125
   = 28\,125 .
$$

$$
\boxed{28\,125}
$$

=======================================

лучше, формат вывода не идеальный.

===================

gemini 3.0 (думала долго, ai studio)

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть два случая: когда все цифры числа чётные и когда все цифры числа нечётные.

**1. Случай: все цифры нечётные**
Нечётные цифры: $1, 3, 5, 7, 9$. Всего их 5.
Шестизначное число состоит из 6 позиций.
*   На первой позиции может стоять любая из 5 цифр.
*   На второй — любая из 5 цифр.
*   ...
*   На шестой — любая из 5 цифр.

Количество таких чисел:
$$5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6 = 15\ 625$$

**2. Случай: все цифры чётные**
Чётные цифры: $0, 2, 4, 6, 8$. Всего их 5.
Однако число не может начинаться с нуля (иначе оно перестанет быть шестизначным).
*   На первой позиции может стоять любая из чётных цифр, кроме 0 (то есть $2, 4, 6, 8$). Всего 4 варианта.
*   На остальных пяти позициях может стоять любая из 5 чётных цифр (включая 0).

Количество таких чисел:
$$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^5 = 4 \times 3\ 125 = 12\ 500$$

**3. Общий итог**
Складываем количество чисел из обоих случаев:
$$15\ 625 + 12\ 500 = 28\ 125$$

**Ответ:** Существует **28 125** таких чисел.

========================================================