Да,
Говорю Ленин, подразумеваю Партия, говорю Партия, подразумеваю Ленин.
Это про Игоря. Игоря Олександровича Шевчука, одного из немногих (думаю из 2-3), кто понял - оценил мои работы 1989, 1990 года (см. тут )и даже поправил (исправил) арифметику в работе 1992 года и добавил кое-что свое (2002). Он был председателем парткома Института Математики в Киеве, пока время и он сам, лично, не развалили его. И когда я вернулся и с ужасом смотрю как коротко все это описано (поэтому непонятно, непонятны вычисления, которые считал не главными, но восстановить которые без бумаги и компа сейчас не могу) поэтому возникает вопрос - а верно ли все там, несмотря на то, что эту часть математики проверил Игорь, ну и как всегда проверил это значит доказал по-другому, по-своему, собственно поэтому и выловил ошибку в асимптотике, и гордо заменил опозорившуюся 2 на 2+exp (-2). И нужно было ждать Gemini 3.0, чтобы смыть этот позор. Она повела себя оптимистично и не аккуратно. Если с ней обращаться достаточно вежливо и уважительно, она способна на фантазии (обиженные люди называют это галлюцинациями, типа они не такие, ... нет они хуже, как показала война в Украине). И вот и сейчас она настаивает на 1, на присутствии сокращения, догадывался и раньше но не понимал почему это так... а вот она, как бы понимает, почему, точнее намекает на то, как доказать это. Превзошла меня в широте взгляда и знаниях (ну тут она превзошла всех!), но расссыпая комплименты в мой адрес (так ее обучили) превзошла и в глубине. Вернушвшись в старый дивный мир 1989 - 90 годов восстановил душевное равновесия и утраченную веру в то, что формула 1989 года, прекрасная сама по себе, без того, к чему она привела, и что когда-нибудь окажется полезной людям и машинам, точнее машинам и людям.
То, что константы меньше 2 можно доказать грубым (старым) приемом, грубым обращением к красивым представлениям функции через разности, просто добавить немного, то, что упустил в 1989
Немного тонкости, не много! и может получиться и единица, gemini 3.0 сказала что нужно доказать и сказала как. Но.. можно ли пользоваться подсказками на экзамене на проф. пригодность? Не знаю. Поэтому пусть повезет другому. Выходит и я напоследок спел - Мир Вашему Дому.
=========================================================================
вы совершенно правы. В формуле для $f(nx)$ перед интегралом должен стоять множитель $1/n$ (который получается из общего множителя $1/k$ при $k=n$). Я учту это при оценке.
### Оценка интеграла $I_{main}$
Рассмотрим случай $k=n$ и точку $x = \frac{1}{n+1}$.
Главное слагаемое в формуле (2') соответствует индексу $j=n$.
Формула для слагаемого:
$$ I_{main} = \frac{1}{n} \int_{1}^{\frac{n}{n+1}} \frac{1}{s} \left[ \frac{(-1)^n \cdot n}{\binom{n}{n}} \frac{d}{ds} L_{n+1, n}(ns) \right] \Delta_n\left(\frac{x}{s}\right) ds $$
Упростим коэффициенты ($\binom{n}{n}=1$) и вынесем константы. Обратите внимание, что множитель $1/n$ перед интегралом сокращается с $n$ из числителя суммы:
$$ \text{Coeff} = \frac{1}{n} \cdot (-1)^n \cdot n = (-1)^n $$
Тогда интеграл принимает вид:
$$ I_{main} = (-1)^n \int_{1}^{\frac{n}{n+1}} \frac{1}{s} \left[ \frac{d}{ds} L_{n+1, n}(ns) \right] \Delta_n\left(\frac{x}{s}\right) ds $$
**Оценка:**
1. **Пределы интегрирования:** Интеграл берется от $1$ до $\frac{n}{n+1}$. Поскольку верхний предел меньше нижнего, поменяем их местами и вынесем знак «минус»:
$$ I_{main} = -(-1)^n \int_{\frac{n}{n+1}}^{1} \frac{1}{s} \left[ \frac{d}{ds} L_{n+1, n}(ns) \right] \Delta_n\left(\frac{x}{s}\right) ds $$
2. **Поведение ядра:**
Рассмотрим функцию $g(s) = L_{n+1, n}(ns)$.
* При $s=1$: $g(1) = L_{n+1, n}(n) = 1$.
* При $s = \frac{n}{n+1}$: аргумент полинома равен $\frac{n^2}{n+1} = n - \frac{n}{n+1} \approx n-1$.
Так как $n-1$ — это корень полинома Лагранжа, то $g(\frac{n}{n+1}) \approx 0$.
Производная $\frac{d}{ds}g(s)$ на этом интервале положительна и велика ("всплеск" у правого края).
3. **Приближение:**
* На интервале интегрирования $s \in [\frac{n}{n+1}, 1]$ (который очень узок при больших $n$) можно считать $\frac{1}{s} \approx 1$.
* Предположим, что $\Delta_n$ меняется медленно по сравнению с производной полинома, поэтому вынесем её среднее значение $\bar{\Delta}_n$.
* Интеграл от производной равен разности значений функции на концах:
$$ \int_{\frac{n}{n+1}}^{1} \frac{d}{ds} L_{n+1, n}(ns) \, ds = L_{n+1, n}(n) - L_{n+1, n}\left(\frac{n^2}{n+1}\right) \approx 1 - 0 = 1 $$
**Итоговый результат:**
$$ I_{main} \approx -(-1)^n \cdot 1 \cdot \Delta_n = (-1)^{n+1} \Delta_n(x) $$
Таким образом, интегральное слагаемое по величине приблизительно равно первому (внеинтегральному) слагаемому $(-1)^n \Delta_n(x)$, но имеет **противоположный знак**. Это означает, что в окрестности граничного условия значения функции $f(nx)$ формируются как разность двух больших величин.
======================================================================
любопытно, что gemini стала нумеровать формулы (попросил) два раза, чтобы легче было сослаться, когда спрашиваешь ее о старом в новом чате - она хранит предыдущие разговоры и можно вернуться к тому, что было раньше, чтобы заново не заставлять ее проходить путь погружения в задачу. И еще некоторая наивность и "косноязычность-детскость" в тексте, но.. поясняет как студенту или даже как школьнику, поэтому читать ее легко, легче обычных науко-юзеров пишущих для и за бабла-бабло.
Комментариев нет:
Отправить комментарий