Gemini 3.0. 1989 revisited

 

Пусть \( f \) — непрерывная функция на \( [0,1] \), с условиями \( \int_0^{j/n} f =0 \). Для любого \( x \in [0, 1/n] \) и любого узла \( k \in \{1, \dots, n\} \) справедливо тождество восстановления значения \( f(kx) \):

$$ f(kx) = \phi_k(f, x) - \int_{1/n}^x \sum_{j=1}^n \phi_j(f, y) \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{d}{dx}\left[ l_{n-1}\left(j, \frac{kx}{y}\right) \right] \, dy $$


### Подробная расшифровка обозначений

#### 1. Главный член (Потенциал) \( \phi_j \)
Это нормированная конечная разность \( n \)-го порядка:
$$ \phi_j(f, y) = \frac{(-1)^{n-j}}{\binom{n}{j}} \Delta_j(y) $$

#### 2. Разность \( \Delta_j(y) \)
Разность с шагом \( y \), «привязанная» правым краем к точке \( jy \) (строится по узлам \( 0, y, \dots, ny \)):
$$ \Delta_j(y) = \sum_{m=0}^n (-1)^{n-m} \binom{n}{m} F(my, \, jy) $$

#### 3. Среднее значение \( F(u, v) \)
Интегральное среднее функции на отрезке между узлами:
$$ F(u, v) = \begin{cases} \frac{1}{v-u}\int_u^v f(\tau)d\tau, & u \ne v \\ f(u), & u=v \end{cases} $$

#### 4. Полиномы Лагранжа \( l_{n-1} \)
Базисные полиномы степени \( n-1 \), построенные по узлам \( \{1, 2, \dots, n\} \):
$$ l_{n-1}(j, t) = \prod_{\substack{m=1 \\ m \ne j}}^n \frac{t-m}{j-m} $$

#### 5. Производная в интеграле
Член \( \frac{d}{dx} \left[ l_{n-1}\left(j, \frac{kx}{y}\right) \right] \) вычисляется как производная сложной функции.
Если обозначить аргумент полинома \( s = \frac{kx}{y} \), то:
$$ \frac{d}{dx} l_{n-1}(j, s) = l'_{n-1}(j, s) \cdot \frac{k}{y} $$
Следовательно, подынтегральное выражение для \( j \)-го члена имеет вид:
$$ \phi_j(f, y) \cdot \frac{kx}{y^2} \cdot l'_{n-1}\left(j, \frac{kx}{y}\right) $$