Вот полная формулировка задачи и ее решения для произвольного $n \ge 2$.
### Постановка задачи
Пусть $f$ — непрерывная функция. Рассмотрим $x \in [0, 1/n]$.
Определим среднее значение функции $F(u,v)$ как:
$$ F(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{v-u}\int_u^v f(\tau)d\tau, & u \ne v \\ f(u), & u=v \end{cases} $$
Введем функции $y_k(x) = \frac{1}{k} \int_0^{kx} f(\tau) d\tau$ для $k=1, \dots, n$, удовлетворяющие граничным условиям $y_k(1/n) = 0$.
### Определения
**1. Разностные функции $\Delta_j(x)$**
Определим разности $\Delta_j(x)$ ($j=1, \dots, n$) как знакопеременную сумму значений $F$ на сетке узлов $\{0, x, \dots, nx\}$, используя биномиальные коэффициенты:
$$ \Delta_j(x) = \sum_{m=0}^n (-1)^m \binom{n}{m} F(mx, jx) \quad \dots \quad (3) $$
**2. Полиномы Лагранжа $L_{n+1, j}(u)$**
Пусть $L_{n+1, j}(u)$ — базисные полиномы Лагранжа степени $n$, построенные по системе из $n+1$ узла $\{0, 1, \dots, n\}$. Для $j \in \{1, \dots, n\}$:
$$ L_{n+1, j}(u) = \prod_{\substack{i=0 \\ i \ne j}}^n \frac{u - i}{j - i} \quad \dots \quad (4) $$
---
### Решение
В формулах ниже используется переменная масштабирования $s = \frac{x}{t}$.
**Формула для функций $y_k(x)$:**
$$ y_k(x) = \frac{1}{k} \int_{1/n}^x \left[ \sum_{j=1}^n \frac{(-1)^j \cdot j}{\binom{n}{j}} \cdot L_{n+1, j}(k s) \cdot \Delta_j(t) \right] dt \quad \dots \quad (1) $$
**Формула для значений функции $f(kx)$:**
Дифференцируя (1) по $x$, получаем выражение для восстановления функции $f$ в точках $kx$:
$$ f(kx) = \frac{(-1)^k}{\binom{n}{k}}\Delta_k(x) + \frac{1}{k} \int_{1/n}^x \frac{1}{t} \sum_{j=1}^n \frac{(-1)^j \cdot j}{\binom{n}{j}} \cdot \frac{d}{ds}\Big( L_{n+1, j}(k s) \Big) \cdot \Delta_j(t) \, dt \quad \dots \quad (2) $$
Комментариев нет:
Отправить комментарий