Для класса циклически вполне положительных (CTP) ядер, к которым относятся периодические B-сплайны, разность между ядром и интерполяционным тригонометрическим полиномом имеет на периоде **ровно столько нулей, сколько точек интерполяции** (при условии, что точки различны).
Давайте разберем это подробно, опираясь на теорию Сэмюэля Карлина и свойства Чебышевских систем.
---
### 1. Что такое Cyclic Totally Positive (CTP) ядра?
Ядро \(K(x, y)\) на окружности (где \( x, y \in [0, 2\pi)\) ) называется **циклически вполне положительным**, если для любого \( m \) и любых наборов упорядоченных точек \( x_1 < \dots < x_m\) и \(y_1 < \dots < y_m\) (упорядоченных циклически) определитель матрицы \(K(x_i, y_j)\) неотрицателен.
**Ключевое свойство (CVD — Cyclic Variation Diminishing):**
Если \(g(x) = \int K(x, y) f(y) dy\), то количество перемен знака функции \(g\) на периоде (\(Z_c(g)\)) не превосходит количества перемен знака функции \(f\) (\(Z_c(f)\)):
\[ Z_c(g) \le Z_c(f) \]
**Примеры CTP ядер:**
1. **Периодические B-сплайны** \(\tilde{M}_k(x-y)\).
2. **Ядро Пуассона** \(P_r(x-y)\).
3. **Тепловое ядро** (Тета-функция Якоби).
4. **Ядра Бернулли** $S_k(x-y)\)(с оговорками о знаке и сдвиге для четных/нечетных \(k\)).
---
### 2. Геометрия интерполяции и нули
Пусть мы интерполируем периодическое ядро \(K(x)\)(например, \(\tilde{M}_k(x)\)) тригонометрическим полиномом \(T_n(x)\)степени \(n\)в \(N = 2n+1\) точках \(t_0, \dots, t_{2n}\).
Рассмотрим функцию ошибки:
$$ R(x) = K(x) - T_n(x) $$
По условию интерполяции \(R(t_j) = 0\). У нас есть гарантированные \(N\) нулей.
**Могут ли быть еще?**
#### Аргумент от Чебышевских систем
Тригонометрические полиномы порядка \(n\) образуют **Чебышевскую систему (Т-систему)** размерности \(2n+1\) на окружности.
Это означает, что любой нетривиальный полином имеет не более \(2n\) нулей.
Хотя \(K(x)\) не является полиномом, CTP-ядра обладают свойством "выпуклости" относительно Т-систем (Generalized Convexity).
Согласно классическим теоремам теории аппроксимаций (теоремы о нулях разности для Т-систем):
> Если функция \(f\) принадлежит классу, порожденному CTP-ядром (или является "обобщенно выпуклой" относительно тригонометрической системы), то разность между \(f\) и её интерполянтом \(T_n\) в \(N\) точках имеет **ровно \(N\) простых нулей** на периоде.
**Почему не может быть больше?**
Представьте, что у \(R(x)\) есть \(N+2\) нуля.
Применяя обобщенную теорему Ролля (или используя свойство CVD обратного дифференциального оператора, который аннулирует \(T_n\)), мы пришли бы к выводу, что исходная функция (источник для \(K(x)\)) должна иметь больше перемен знака, чем это возможно.
В случае B-сплайна источником является дельта-функция (или разностная дельта), имеющая минимальную осцилляцию. "Лишние" нули означали бы, что \(T_n\) осциллирует быстрее, чем позволяет жесткость ядра \(K\).
---
### 3. Исключительные случаи (Касание)
Дополнительные нули могут возникать только в вырожденном смысле:
1. **Кратные нули:** Если в точке интерполяции производная ошибки тоже равна нулю (\(R'(t_j)=0\)). Это означает, что интерполянт не просто пересекает ядро, а касается его. Но топологически это считается за "два нуля" (или четное число), и общее число корней с учетом кратности сохраняется.
2. **Неудачный выбор точек:**
Для тригонометрических полиномов интерполяция разрешима для *любых* различных точек на периоде.
Однако, если \(K(x)\) — B-сплайн низкого порядка (например, \(k=1\), прямоугольник) и точки интерполяции попадают ровно на разрывы, поведение может быть неоднозначным (проблема Гиббса). Но для гладких CTP ядер (\(k \ge 3\)) это не проблема.
---
### 4. Как выглядит ошибка (Графически)
Поскольку дополнительных нулей нет, график ошибки \(R(x) = K(x) - T_n(x)\) выглядит как "змейка", которая переплетает ось X ровно в точках интерполяции.
$$ \text{sign}(R(x)) = (-1)^j \quad \text{для } x \in (t_j, t_{j+1}) $$
Это поведение называется **строгим осцилляционным свойством**.
* Между любыми двумя соседними точками интерполяции ошибка имеет ровно один экстремум ("горб").
* Нет никаких "мелких дрожаний" или возвратов через ноль вне узлов.
### 5. Значение для теории приближений
Отсутствие дополнительных нулей — это фундаментальный факт, который позволяет доказывать теоремы о сходимости.
Если бы появлялись "паразитные" нули, это означало бы, что тригонометрический полином начинает вести себя хаотично между узлами. Свойство CTP гарантирует, что B-сплайн является **"shape-preserving"** (сохраняющим форму): он настолько гладкий и регулярный, что тригонометрический полином вынужден "обвиваться" вокруг него самым экономным способом — пересекая только там, где его "прибили гвоздями" (в узлах интерполяции).
**Резюме:**
При интерполяции CTP-ядра (в частности, периодического B-сплайна \(\tilde{M}_k\) при \(k \ge 2\)) тригонометрическим полиномом в \(N\) точках, разность имеет **ровно \(N\) нулей** на периоде. Дополнительных нулей не возникает.
Комментариев нет:
Отправить комментарий