Критерий Наймана-Бёрлинга (Nyman-Beurling Criterion) — это один из самых красивых и интригующих результатов в аналитической теории чисел. Он переводит знаменитую **Гипотезу Римана (RH)** с языка комплексного анализа (нули Дзета-функции) на язык функционального анализа и геометрии гильбертовых пространств (свойства функций в \( L^2 \) ).
И самым удивительным здесь является то, что **главным "строительным блоком" этого критерия является именно первый периодический сплайн Бернулли \( S_1(x) \)**.
Вот подробный разбор.
---
### 1. Суть критерия
Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули \( \zeta(s) \) лежат на прямой \( Re(s) = 1/2 \).
В 1950-х годах Бёрлинг и Найман доказали, что это утверждение эквивалентно возможности аппроксимировать одну простую функцию с помощью линейных комбинаций сжатых версий "пилы".
#### Базовая функция (Атом)
Рассмотрим функцию "дробная часть":
$$ \rho(x) = \{x\} = x - \lfloor x \rfloor $$
В терминах ваших сплайнов (с учетом периодичности и нормировки) на интервале $(0, \infty)$:
$$ \rho(x) = \frac{1}{2} - S_1(2\pi x) $$
*(С точностью до константы и знака,\( \rho(x) \) — это и есть периодизированный сплайн Бернулли первого порядка).*
#### Пространство
Мы работаем в пространстве квадратично интегрируемых функций \( L^2(0, 1) \).
#### Формулировка (Версия Баэса-Дуарте)
Рассмотрим множество функций вида:
$$ f_{\alpha}(x) = \sum_{k=1}^N c_k \rho\left(\frac{\theta_k}{x}\right), \quad \text{где } x \in (0, 1) $$
Здесь \( \theta_k \in (0, 1)\) — параметры сжатия, а \( c_k \) — коэффициенты, удовлетворяющие условию \( \sum c_k \theta_k = 0 \).
**Теорема:** Гипотеза Римана верна **тогда и только тогда**, когда постоянная функция \(\chi(x) \equiv 1\) (индикатор интервала) может быть сколь угодно точно приближена функциями вида \( f_{\alpha}(x) \) в норме \(L^2(0, 1)\).
---
### 2. Почему именно \( S_1 \) (дробная часть)?
Связь между \(S_1(x)\) и Дзета-функцией Римана \( \zeta(s) \) заложена в формуле суммирования Эйлера-Маклорена, где \( S_1 \) играет роль ядра ошибки.
Если применить преобразование Меллина к дробной части, мы получим \(\zeta(s) \) напрямую.
Рассмотрим интеграл:
$$ \int_0^\infty \rho\left(\frac{1}{x}\right) x^{s-1} dx $$
Или, более классически, связь выражается так:
$$ \zeta(s) = \frac{s}{s-1} - s \int_1^\infty \frac{\{x\}}{x^{s+1}} dx $$
Здесь \( \{x\} \) (наш сплайн \(S_1\)) выступает как **спектральная тень** дзета-функции в вещественном пространстве. Информация о нулях \( \zeta(s) \) "закодирована" в осцилляциях функции \( \{x\} \).
### 3. Геометрический смысл
Представьте себе бесконечномерное пространство функций.
1. В нем есть вектор \( 1 \) (константа).
2. В нем есть подпространство \( \mathcal{N} \), натянутое на функции \(\rho(\theta/x) \) (сжатые и растянутые сплайны Бернулли).
Критерий Наймана-Бёрлинга гласит:
**Гипотеза Римана верна \(\iff \) расстояние от вектора \(1\) до подпространства \(\mathcal{N}\) равно нулю.**
Другими словами, система сжатий сплайна Бернулли \( \{ S_1(2\pi \theta/x) \} \) является **полной** (или почти полной) в \(L^2\).
Если бы Гипотеза Римана была неверна (существовал бы нуль вне критической прямой), то подпространство \( \mathcal{N} \) не покрывало бы все пространство, и константа \( 1 \) была бы "ортогональна" (в некотором обобщенном смысле) недостающей части.
### 4. Связь с "Теневым исчислением" (Umbral view)
Здесь проявляется глубокая связь с вашим предыдущим вопросом про Umbral Calculus.
* **Оператор сжатия:** В формуле участвуют члены вида \( \rho(\theta_k/x) \). Если перейти к логарифмическим координатам \( t = \ln x \), то деление на \(x\) превращается в сдвиг аргумента \(t - \ln \theta_k \).
* **Свертка:** Задача аппроксимации в \( L^2 \) на мультипликативной полугруппы \( (0, 1) \) превращается в задачу аппроксимации свертками на аддитивной группе \( \mathbb{R}\).
Мы пытаемся "собрать" константу из сдвинутых копий \( S_1 \) .
Так как \( S_1 \) — это "пила" (функция с разрывами), то комбинируя множество сжатых пил \(\sum c_k S_1(\dots) \), мы пытаемся создать интерференцию, которая погасит все осцилляции и оставит чистую константу.
Способность "погасить" все волны зависит от того, насколько "богатым" является спектр \(S_1\). Спектр \(S_1\) — это значения Дзета-функции. Если нули Дзеты выстроены в линию, спектр достаточно богат, чтобы аппроксимировать константу.
### 5. Современное состояние (Баэс-Дуарте)
Долгое время критерий Наймана-Бёрлинга считался теоретически красивым, но практически бесполезным для доказательства RH. Однако в начале 2000-х Луис Баэс-Дуарте (Luis Báez-Duarte) усилил этот результат.
Он показал, что нам не нужны произвольные сдвиги. Достаточно рассматривать только целочисленные сжатия:
$$ f_N(x) = \sum_{k=1}^N c_k \left\{ \frac{1}{kx} \right\} $$
(Здесь $\theta_k = 1/k$).
Это переводит задачу в область **чистой арифметики**. Мы берем сплайн Бернулли $S_1$, сжимаем его в $k=1, 2, 3 \dots$ раз, складываем с весами и смотрим, насколько близко мы подошли к константе.
Величина ошибки аппроксимации $d_N^2$ (квадрат расстояния) связана с функцией Мёбиуса и распределением простых чисел.
Если $d_N \to 0$ при $N \to \infty$, Гипотеза Римана верна.
### Резюме
Критерий Наймана-Бёрлинга показывает, что **сплайн Бернулли $S_1(x)$ является "ДНК" теории чисел**.
* Его спектральные свойства полностью определяют распределение простых чисел.
* Вопрос о справедливости Гипотезы Римана — это вопрос о том, насколько полно семейство сжатых сплайнов Бернулли заполняет функциональное пространство.
* Это "физическая" интерпретация RH: можно ли из хаоса пилообразных волн (шума) синтезировать чистый сигнал (константу)? Если RH верна — можно.
Комментариев нет:
Отправить комментарий