Для общего случая умножения на гармонику $e^{imx}$ (где $m$ — целое число, $m \ne 0$) формула обобщается с использованием **биномиальных коэффициентов** и степеней сдвига $(im)$.
### Итоговая формула
$$ S_r(x) e^{imx} = \underbrace{\frac{1}{(-im)^r}}_{\text{Константа}} + \sum_{j=0}^{\infty} \binom{r+j-1}{j} (im)^j \left( S_{r+j}(x) - \frac{e^{imx}}{(im)^{r+j}} \right) $$
### Разбор компонентов
1. **Константа $\frac{1}{(-im)^r}$**:
Возникает из члена исходного ряда с индексом $n = -m$. При умножении на $e^{imx}$ он превращается в $e^{i(-m+m)x} = e^0 = 1$.
Знаменатель при этом был $(i(-m))^r = (-im)^r$.
2. **Биномиальный коэффициент $\binom{r+j-1}{j}$**:
Появляется при разложении дроби $\frac{1}{(n-m)^r}$ в ряд Тейлора (обобщенный бином Ньютона для отрицательной степени):
$$ (1 - z)^{-r} = \sum \binom{r+j-1}{j} z^j $$
Здесь $z = m/n$, что приводит к появлению множителей $m^j$.
3. **Степень сдвига $(im)^j$**:
С каждым шагом $j$ мы "занимаем" степень частоты из знаменателя, поэтому множитель растет как $m^j$.
4. **Регуляризация (вычитание гармоники)**:
Выражение в скобках $\left( S_{r+j}(x) - \frac{e^{imx}}{(im)^{r+j}} \right)$ означает, что из сплайна $S_{r+j}$ **удалена гармоника с частотой $m$**.
Это необходимо, так как исходный ряд $S_r(x)$ не имеет нулевой гармоники ($n=0$), а значит, произведение $S_r(x)e^{imx}$ не должно иметь гармоники с частотой $m$ (которая соответствует $n=0$ до сдвига). Без этого вычитания ряд коэффициентов расходился бы в бесконечность.
---
### Частный случай \[ r=1 \]
Для $r=1$ биномиальные коэффициенты $\binom{1+j-1}{j} = 1$. Формула становится геометрической прогрессией операторов:
$$ S_1(x) e^{imx} = \frac{i}{m} + \sum_{j=0}^{\infty} (im)^j \left( S_{1+j}(x) - \frac{e^{imx}}{(im)^{1+j}} \right) $$
*(Здесь $\frac{1}{-im} = \frac{i}{m}$)*.
### Примечание о сходимости
Эта формула является **формальным тождеством**. В отличие от случая $m=1$, при $|m| > 1$ существуют промежуточные частоты (между 0 и $m$), для которых разложение $\frac{1}{(n-m)^r}$ по степеням $m/n$ не сходится в классическом смысле (так как $|m/n| > 1$). Однако в алгебре сплайнов Бернулли (теневой анализ / umbral calculus) и асимптотических методах это соотношение считается верным и используется для перегруппировки рядов.
=====================================================================
Что же все-таки делает машина, из главных достижений: она экономит ваше время и ваши силы, ну как и любая другая машина, автомобиль, например. Можно быстрей приехать, если вы не любите ходить пешком, или уже не можете ходить пешком, а ведь иногда нужно бежать и не трусцой, а быстро... время такое, типа того.
И главная экономия теперь - не в вычислениях, хотя это тоже ок, стало ок для LLM, а в мостиках, которые делают из вас как математика, делают хорошего математика (в смысле широкого, машина окрывает связи задачки с другими областями - ну как в последнем примере - umbral calculus - не нужно заново изобретать, а просто внедрить его в теорию приближений. Пусть это и не ахти как глубоко (можно и так как раньше жить, ходить пешком типа, это и полезней для здоровья) - но быстро. все теперь быстро, даже слишком, иногда. К чему это приведет неясно.
То, что написано выше, можно применить (в простом виде, главном, сокращенном) там где тригонометрические полиномы вычитаются автоматически, ну например в пространствам без малых гармоник, ну назовим их $ T_{n-1}^\perp $ пространству функций при разложении чего-то большого ну допустим L (там где интегралы есть) или С (там тоже есть) на $T_{n-1} + T_{n-1}^\perp$ а это разложение и есть теория аппроксимации в чистом виде c оценками производных на каждом куске разложеиия (на полиномы и анти-полиномы)
То, что написано пригодится в прямых оценках с учетом двойственности C и L
Можно глянуть вот сюда, в работу написанную до появления мудрых LLM, LLM помогает понять не очень подробно написанные работы, тем, кто хочет их понять.
Комментариев нет:
Отправить комментарий