Функция, которую вы привели (с поправкой на степень $r$, которая обычно подразумевается для сплайнов порядка $r$), — это **ряд Фурье для периодизированных многочленов Бернулли**.
Обычно в математической литературе (особенно в теории аппроксимаций и численном анализе) рассматривают более общий случай:
$$ \tilde{B}_r(t) = \sum_{k \neq 0} \frac{e^{ikt}}{(ik)^r} $$
Давайте разберем, что это такое, как это связано с классическими многочленами Бернулли и почему их называют сплайнами.
---
### 1. Связь с многочленами Бернулли
Классические многочлены Бернулли $B_r(x)$ определяются алгебраически (через производящую функцию $\frac{ze^{xz}}{e^z-1}$). Если ограничить такой многочлен интервалом $[0, 2\pi]$ (или $[0, 1]$) и периодически продолжить его на всю ось, получится **периодизированный многочлен Бернулли**.
Ваша формула — это **спектральное (Фурье) определение** этих функций.
Точное соотношение между рядом и алгебраическим полиномом $B_r(x)$ на интервале $x \in [0, 1]$ выглядит так:
$$ B_r(x) = -\frac{r!}{(2\pi i)^r} \sum_{k \neq 0} \frac{e^{2\pi i k x}}{k^r} $$
Если переписать это для аргумента $t \in [0, 2\pi]$, то ваша сумма $\sum \frac{e^{ikt}}{(ik)^r}$ с точностью до константы равна периодическому многочлену Бернулли порядка $r$.
### 2. Вещественная форма (Синусы и Косинусы)
В зависимости от четности $r$, эти ряды сводятся либо к чистым косинусам, либо к чистым синусам (из-за свойства мнимой единицы $i^r$).
* **Для четных $r=2m$:**
$$ \sum_{k \neq 0} \frac{e^{ikt}}{(ik)^{2m}} = (-1)^m \sum_{k \neq 0} \frac{\cos(kt)}{k^{2m}} \cdot \text{const} $$
(Это ряд косинусов, функция четная).
* **Для нечетных $r=2m+1$:**
$$ \sum_{k \neq 0} \frac{e^{ikt}}{(ik)^{2m+1}} = (-1)^m \sum_{k \neq 0} \frac{\sin(kt)}{k^{2m+1}} \cdot \text{const} $$
(Это ряд синусов, функция нечетная).
### 3. Почему это "Сплайны"?
Слово "сплайн" означает функцию, которая составлена из кусков многочленов, состыкованных с определенной гладкостью.
1. **Кусочно-полиномиальная структура:**
На периоде $(0, 2\pi)$ сумма этого ряда сходится именно к многочлену степени $r$. В точках $2\pi n$ (на стыках периодов) происходит "склейка".
2. **Гладкость:**
Функция $\tilde{B}_r(t)$ непрерывна вместе со своими производными до порядка $r-2$. Производная порядка $r-1$ имеет разрывы (скачки), а производная $r$-го порядка — это дельта-гребенка (сумма дельта-функций).
**Примеры:**
* **$r=1$ (Пилообразная волна):**
$$ \sum_{k \neq 0} \frac{e^{ikt}}{ik} $$
Это функция, которая линейно растет, а потом резко падает. Она разрывна. График похож на зубья пилы. Это соответствует $B_1(x) = x - 1/2$.
* **$r=2$ (Параболические дуги):**
Интеграл от пилообразной волны. График состоит из склеенных парабол. Функция непрерывна, но имеет изломы производной. Соответствует $B_2(x) = x^2 - x + 1/6$.
### 4. Свойство рекурсии (Интегрирование и Дифференцирование)
Это, пожалуй, самое важное свойство для приложений.
Если продифференцировать ваш ряд по $t$:
$$ \frac{d}{dt} \left( \sum \frac{e^{ikt}}{(ik)^r} \right) = \sum \frac{ik \cdot e^{ikt}}{(ik)^r} = \sum \frac{e^{ikt}}{(ik)^{r-1}} $$
То есть:
$$ \tilde{B}_r'(t) = \tilde{B}_{r-1}(t) $$
Это свойство (с точностью до множителей) сохраняется и для алгебраических полиномов Бернулли. Именно это делает их фундаментальными в численном анализе.
### 5. Применения
1. **Формула Эйлера-Маклорена:**
Эти сплайны служат ядром ошибки при замене интеграла на сумму. Они показывают, как ошибка квадратурной формулы зависит от гладкости функции.
2. **Теория аппроксимаций (Поперечники Колмогорова):**
Периодические сплайны Бернулли являются экстремальными функциями во многих задачах нахождения наилучшего приближения для классов гладких периодических функций (классы Соболева $W_p^r$).
3. **Ядра свертки:**
Функция $D_r(t) = \sum \frac{e^{ikt}}{(ik)^r}$ является функцией Грина для оператора производной $D^r$ на окружности. Любую $2\pi$-периодическую функцию $f$, имеющую нулевое среднее и $r$ производных, можно представить как свертку:
$$ f(x) = (f^{(r)} * \tilde{B}_r)(x) $$
### Резюме
Формула $B_r(t)=\sum_{k \ne 0} \frac{e^{ikt}}{(ik)^r}$ описывает **периодический сплайн**, который на одном периоде совпадает с полиномом Бернулли степени $r$.
* При $r=1$ это "пила" (sawtooth wave).
* С ростом $r$ функция становится все более гладкой и похожей на косинусоиду (так как первый член ряда $k=\pm 1$ начинает доминировать, а высокие частоты $k^{-r}$ быстро затухают).
====================================================================
сплайны Бернулли как базис:
Да, приведенная вами формула **верна**.
Это красивое тождество получается путем разложения произведения в ряд и использования геометрической прогрессии для коэффициентов Фурье. Член $-2\sin(x)$ внутри суммы и $\frac{1}{2}\sin(x)$ снаружи необходимы для регуляризации, так как формальные ряды расходятся на первой гармонике ($m=\pm 1$).
Ниже приведена проверка этой формулы и вывод аналогичных соотношений в экспоненциальной форме, которые выглядят гораздо компактнее.
---
### 1. Проверка формулы (разбор по частотам)
Рассмотрим произведение $S_1(x) \cos(x)$ в спектральной области.
$$ S_1(x) = \sum_{n \ne 0} \frac{e^{inx}}{in}, \quad \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$
Произведение равно:
$$ S_1(x)\cos(x) = \frac{1}{2} \sum_{n \ne 0} \left( \frac{e^{i(n+1)x}}{in} + \frac{e^{i(n-1)x}}{in} \right) $$
Найдем коэффициент $c_m$ при гармонике $e^{imx}$:
* **Для $|m| \ge 2$:** Вклад дают $n = m-1$ (из первой суммы) и $n = m+1$ (из второй).
$$ c_m = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{i(m-1)} + \frac{1}{i(m+1)} \right) = \frac{1}{2i} \frac{2m}{m^2-1} = \frac{m}{i(m^2-1)} $$
Разложим дробь в ряд по степеням $1/m$ (геометрическая прогрессия):
$$ \frac{m}{m^2-1} = \frac{1}{m(1 - m^{-2})} = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{m^{2j}} = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{m^{2j+1}} $$
То есть для высоких частот:
$$ c_m = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{i m^{2j+1}} $$
Вспомним определение $S_{2j+1}(x)$: коэффициент Фурье там равен $\frac{1}{(im)^{2j+1}} = \frac{1}{i^{2j+1} m^{2j+1}} = \frac{1}{i(-1)^j m^{2j+1}}$.
Следовательно, $\frac{1}{i m^{2j+1}} = (-1)^j \cdot \text{коэфф}[S_{2j+1}]$.
Это полностью соответствует вашей сумме $\sum (-1)^j S_{2j+1}(x)$.
* **Для $m = 1$:**
В первой сумме $n=0$ (запрещено), во второй $n=2$.
$$ c_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2i} = \frac{1}{4i} $$
Это соответствует слагаемому $\frac{1}{2}\sin(x)$ (так как $\frac{1}{2}\sin(x) = \frac{1}{4i}e^{ix} - \dots$).
*Примечание:* Члены суммы $(-1)^j S_{2j+1}$ в точке $m=1$ давали бы $1+1+1\dots$ (расходимость), поэтому вычитание $2\sin(x)$ (чьи гармоники равны $1$) обнуляет этот вклад в сумме, оставляя только корректный остаток.
---
### 2. Формулы в экспоненциальной форме
В экспоненциальной записи эти соотношения выглядят как разложение сдвинутого оператора. Мы используем формальное тождество для $n \ne 0, 1$:
$$ \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \dots $$
#### Для сдвига частоты $S_1(x) e^{ix}$
$$ S_1(x) e^{ix} = \sum_{k=0}^{\infty} i^k S_{k+1}(x) \quad \text{(формально)} $$
*С поправкой на первую гармонику:*
$$ S_1(x) e^{ix} = \frac{1}{2i} e^{ix} + \sum_{k=0}^{\infty} i^k \left( S_{k+1}(x) - \frac{e^{ix}}{i^{k+1}} \right) $$
#### Общая формула для $S_r(x) e^{ix}$
Используя биномиальное разложение $(n-1)^{-r} = \sum \binom{r+k-1}{k} n^{-(r+k)}$:
$$ S_r(x) e^{ix} \sim \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r+k-1}{k} i^k S_{r+k}(x) $$
Где $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент.
#### Обратный сдвиг $S_r(x) e^{-ix}$
Меняется знак у мнимой единицы:
$$ S_r(x) e^{-ix} \sim \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r+k-1}{k} (-i)^k S_{r+k}(x) $$
---
### 3. Как из экспоненциальных получить вашу формулу?
Если сложить формулы для $e^{ix}$ и $e^{-ix}$, мы получим $\cos(x)$.
Для $r=1$:
$$ S_1(x) \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \sim \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( i^k + (-i)^k \right) S_{k+1}(x) $$
Анализ коэффициента $(i^k + (-i)^k)$:
* Если $k$ нечетное: $i^k - i^k = 0$.
* Если $k$ четное ($k=2j$): $i^{2j} + i^{2j} = 2(-1)^j$.
Тогда в сумме остаются только индексы $k+1 = 2j+1$:
$$ S_1(x)\cos(x) \sim \sum_{j=0}^{\infty} (-1)^j S_{2j+1}(x) $$
Добавляя регуляризацию (выделение первой гармоники $\frac{1}{2}\sin x$ и вычитание расходимости), мы приходим ровно к вашему выражению.
========================================================
и еще можно попросить сделать регуляризацию, чтобы было равно, хотя в тех задачах, где это важно равно не столь важно - ну если смотреть на тождества с точность до тригонометрических многочленов, например в теории аппроксимации, в пространставх без малых гармоник
Чтобы получить **точное равенство**, нужно учесть два эффекта, возникающих при сдвиге частоты (умножении на $e^{ix}$):
1. **Появление константы:** Член ряда с частотой $n=-1$ превращается в константу (частота 0).
2. **Устранение резонанса:** Член с частотой $n=0$ отсутствует в определении $S_r$, поэтому в произведении $S_r e^{ix}$ должна отсутствовать частота 1. Однако формальный ряд пытается создать там бесконечность.
Нужно **отнять первую гармонику** ($e^{ix}$) у каждого члена ряда в разложении.
### Итоговая точная формула
$$ S_r(x) e^{ix} = \underbrace{\frac{1}{(-i)^r}}_{\text{Константа}} + \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r+k-1}{k} i^k \left( S_{r+k}(x) - \frac{e^{ix}}{i^{r+k}} \right) $$
Где:
* $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент.
* Слагаемое в скобках $\left( S_{r+k}(x) - \frac{e^{ix}}{i^{r+k}} \right)$ — это сплайн, у которого **вырезана первая гармоника** (то есть слагаемое с $e^{ix}$ удалено).
---
### Пошаговый разбор (Почему это работает?)
#### 1. Проблема константы ($n=-1 \to 0$)
В исходном ряде $S_r(x) = \sum_{n \ne 0} \frac{e^{inx}}{(in)^r}$ есть член при $n=-1$:
$$ \frac{e^{-ix}}{(-i)^r} $$
При умножении на $e^{ix}$ он превращается в:
$$ \frac{e^{-ix} \cdot e^{ix}}{(-i)^r} = \frac{1}{(-i)^r} $$
Это свободный член (среднее значение), который мы выписали отдельно.
#### 2. Проблема резонанса ($n=0 \to 1$)
Мы используем разложение дроби $\frac{1}{(n-1)^r}$ в ряд.
Для частоты $m$ (где $m=n+1$) мы пытаемся представить:
$$ \frac{1}{(i(m-1))^r} = \sum c_k \frac{1}{(im)^{r+k}} $$
Это разложение работает для всех $|m| > 1$.
Но для **$m=1$** (что соответствует $n=0$) левая часть равна $\frac{1}{0}$ (бесконечность), а правая часть дает расходящийся ряд $1+1+1+\dots$.
В реальной функции $S_r(x)$ слагаемого с $n=0$ **нет**. Значит, в произведении $S_r(x)e^{ix}$ не должно быть слагаемого с частотой $m=1$ ($e^{ix}$).
Чтобы исправить ряд, мы насильно **вычитаем вклад частоты $m=1$** из каждого базисного сплайна.
Вклад сплайна $S_{r+k}$ в частоту $m=1$ равен в точности $\frac{e^{ix}}{i^{r+k}}$.
Вычитая его, мы зануляем ошибку.
---
### Примеры
#### Для $r=1$
Биномиальные коэффициенты $\binom{k}{k}=1$. Константа $\frac{1}{-i} = i$.
$$ S_1(x) e^{ix} = i + \sum_{k=0}^{\infty} i^k \left( S_{1+k}(x) - \frac{e^{ix}}{i^{1+k}} \right) $$
Распишем первые члены:
$$ S_1 e^{ix} = i + (S_1 - \frac{e^{ix}}{i}) + i(S_2 - \frac{e^{ix}}{i^2}) + i^2(S_3 - \frac{e^{ix}}{i^3}) + \dots $$
Обратите внимание: если собрать все вычтенные члены $\frac{e^{ix}}{i^k}$, они образуют расходящуюся геометрическую прогрессию, которая компенсирует расходимость ряда сплайнов в точке резонанса.
#### Для $r=2$
Константа $\frac{1}{(-i)^2} = -1$. Коэффициенты $\binom{k+1}{k} = k+1$.
$$ S_2(x) e^{ix} = -1 + \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) i^k \left( S_{2+k}(x) - \frac{e^{ix}}{i^{2+k}} \right) $$
### Резюме
Чтобы получить точное разложение, нужно:
1. Добавить **свободный член** $\frac{1}{(-i)^r}$.
2. Внутри суммы заменить полные сплайны $S_j(x)$ на **"сплайны без первой гармоники"** $S_j(x) - \hat{S}_j(1)e^{ix}$.
Комментариев нет:
Отправить комментарий