Интерполяция Ньютона используется для нахождения полинома, который проходит через заданные точки. Для полинома первой степени (линейного) и второй степени (квадратичного) существуют свои формулы и методы вычисления. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

### Интерполяция Ньютона для многочлена первой степени

Для линейного полинома (первой степени) достаточно двух точек \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\). Интерполяционный полином Ньютона первой степени имеет вид:

\[ P_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) \]

### Интерполяция Ньютона для многочлена второй степени

Для квадратичного полинома (второй степени) требуется три точки \((x_0, y_0)\), \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Интерполяционный полином Ньютона второй степени имеет вид:

\[ P_2(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) + \left( \frac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} \right) (x - x_0)(x - x_1) \]

### Пример расчета

Рассмотрим пример для иллюстрации.

#### Пример для линейного многочлена

Даны точки: \((1, 2)\) и \((3, 3)\).

Интерполяционный полином первой степени:

\[ P_1(x) = 2 + \frac{3 - 2}{3 - 1} (x - 1) = 2 + \frac{1}{2} (x - 1) = 2 + 0.5(x - 1) \]

Упростим выражение:

\[ P_1(x) = 2 + 0.5x - 0.5 = 0.5x + 1.5 \]

#### Пример для квадратичного многочлена

Даны точки: \((1, 2)\), \((2, 3)\) и \((4, 1)\).

Сначала найдем коэффициенты для каждого члена полинома.

1. \( a_0 = y_0 = 2 \)
2. \( a_1 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1 \)
3. \( a_2 = \frac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} = \frac{\frac{1 - 3}{4 - 2} - \frac{3 - 2}{2 - 1}}{4 - 1} = \frac{\frac{-2}{2} - 1}{3} = \frac{-1 - 1}{3} = -\frac{2}{3} \)

Теперь запишем полином:

\[ P_2(x) = 2 + 1(x - 1) - \frac{2}{3}(x - 1)(x - 2) \]

Упростим выражение:

\[ P_2(x) = 2 + (x - 1) - \frac{2}{3}(x^2 - 3x + 2) \]

\[ P_2(x) = 2 + x - 1 - \frac{2}{3}x^2 + 2x - \frac{4}{3} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + 2 - 1 - \frac{4}{3} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + \frac{2 - 1 - \frac{4}{3}}{1} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \]

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x - \frac{1}{3} \]

Таким образом, получаем:

\[ P_2(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 3x - \frac{1}{3} \]

Это и будет искомый интерполяционный полином второй степени.