qwen3:32b

 не локально. Смогла вменяемо ответить про задачу о взвешивании (12 монет, три взвешивания, найти фальшивую). не очень понятно, но информации достаточно, чтобы додумать самому или найти приличную ссылку. Знает про Дайсона, но сразу о нем не упоминает. Т.е. как источник ссылок... подозрительный.

Замену переменной смогла сделать в задаче = если знаешь как разложить (x^4+a^4) на два вещественнх множителя, то разложи, плз  (x^4 +b). Другие версии  моделей  затрудняются такое сделать - в этом проблема,  то что легко ребенку, не легко машинке. ладно, скоро научится.

пока эта модель - лучшая, но локально (8b, легкая) она хуже, хотя достаточно шустрая и дотошная. старается меньше ошибаться. поэтому нудит. 

ps. занудность (режим мысли, так сказать) можно легко отключить и тогда модель во всех отношениях лучше других. Но можно и включить, для тех, кому непонятно, когда коротко. в общем для кого нужно медленно и 3 раза - рекомендуется включать занудства (прям анекдот из ссср)

ps2. 30b (локальгно) тоже работает достаточно быстро, но так как она подгружает не всю информацию, то решить про монеты она не может - 32b (online)  привела решение, но это не было рассуждение, на такое машина еще не способна, а эрудиция - просто она знала про эту задачу и выдала то. что "знала", поэтому и понятно не было так как машина "не понимала" что писала, т.е. не выступила как расширенное вики.

 тем не менее вычисляла (метод Ньютона решения уравнения) достаточно хорошо и быстро при отключении занудства.

нужно бы проверить какую-нибудь банальную задачу для поступления в "советский заборостроительный вуз" = ну типа упростить (как раз с этим проблемы) 

30b справилась с преобразованием простейших алг. выражений, правда теперь такое не спрашивают... или спрашивают? 

Давай упростим выражение пошагово:

### Дано:
$$
\frac{1}{2(1+\sqrt{a})} + \frac{1}{2(1-\sqrt{a})} - \frac{a^2 + 2}{1 - a^3}
$$

---

### Шаг 1: Сложим первые два слагаемых

$$
\frac{1}{2(1+\sqrt{a})} + \frac{1}{2(1-\sqrt{a})}
$$

Общий знаменатель: $2(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$

$$
= \frac{(1 - \sqrt{a}) + (1 + \sqrt{a})}{2(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})}
$$

$$
= \frac{1 - \sqrt{a} + 1 + \sqrt{a}}{2(1 - a)}
$$

$$
= \frac{2}{2(1 - a)} = \frac{1}{1 - a}
$$

---

### Шаг 2: Упростим третье слагаемое

$$
\frac{a^2 + 2}{1 - a^3}
$$

Заметим, что $1 - a^3 = (1 - a)(1 + a + a^2)$

$$
\frac{a^2 + 2}{1 - a^3} = \frac{a^2 + 2}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

---

### Шаг 3: Теперь выражение выглядит так:

$$
\frac{1}{1 - a} - \frac{a^2 + 2}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

Общий знаменатель: $(1 - a)(1 + a + a^2)$

Первое слагаемое приводим к общему знаменателю:

$$
\frac{1}{1 - a} = \frac{1 + a + a^2}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

Теперь вычитаем:

$$
\frac{1 + a + a^2}{(1 - a)(1 + a + a^2)} - \frac{a^2 + 2}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

$$
= \frac{(1 + a + a^2) - (a^2 + 2)}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

$$
= \frac{1 + a + a^2 - a^2 - 2}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

$$
= \frac{a - 1}{(1 - a)(1 + a + a^2)}
$$

Заметим, что $a - 1 = -(1 - a)$, поэтому:

$$
= \frac{-(1 - a)}{(1 - a)(1 + a + a^2)} = \frac{-1}{1 + a + a^2}
$$

---

### ✅ Ответ:

$$
\boxed{-\frac{1}{1 + a + a^2}}
$$

Если нужно, могу объяснить каждый шаг подробнее 😊

Вариант 5. 

задание 1.

Решим уравнение:

$$
\sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 24} = 14
$$

---

### Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть:

$$
a = \sqrt{x - 4}, \quad b = \sqrt{x + 24}
$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$
a + b = 14
$$

Также заметим, что:

$$
b^2 - a^2 = (x + 24) - (x - 4) = 28
$$

Используем формулу разности квадратов:

$$
b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 28
$$

Мы уже знаем, что $b + a = 14$, поэтому:

$$
(b - a)(14) = 28 \Rightarrow b - a = 2
$$

Теперь у нас система:

$$
\begin{cases}
a + b = 14 \\
b - a = 2
\end{cases}
$$

---

### Шаг 2: Решаем систему

Сложим уравнения:

$$
(a + b) + (b - a) = 14 + 2 \Rightarrow 2b = 16 \Rightarrow b = 8
$$

Подставим $b = 8$ в первое уравнение:

$$
a + 8 = 14 \Rightarrow a = 6
$$

---

### Шаг 3: Найдём $x$

Так как $a = \sqrt{x - 4} = 6$, то:

$$
\sqrt{x - 4} = 6 \Rightarrow x - 4 = 36 \Rightarrow x = 40
$$

Проверим:

$$
\sqrt{40 - 4} + \sqrt{40 + 24} = \sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14
$$

Всё сходится.

---

### ✅ Ответ:

$$
\boxed{40}
$$

ггг  и никаких одз. представляю выражение лиц экзаменаторов  перед лицом грядущего небытия.

вряд ли они будут веселыми.

=============================================================

Ядро Дирихле тоже получила. Писала ясно. Оставила о сбе приятное впечатление. Нда.  Скоро и до профессоров доберется, к их ужасу... " на что я потратил свою жизнь? " пришла железяка и ... уже скоро. уж при дверях. 

Конечно! Давай разберёмся, как получается формула для суммы:

$$
\sum_{k=0}^{n} \cos(ka)
$$

---

## 🔹 Что мы знаем:

Мы хотим найти сумму косинусов:

$$
S = \cos(0a) + \cos(a) + \cos(2a) + \cos(3a) + \ldots + \cos(na)
$$

То есть:

$$
S = \sum_{k=0}^{n} \cos(ka)
$$

---

## 🔹 Идея: Использование комплексных чисел

Вспомним, что косинус — это вещественная часть комплексного числа $ e^{ika} $, где $ i = \sqrt{-1} $. То есть:

$$
\cos(ka) = \text{Re}(e^{ika})
$$

Тогда:

$$
S = \sum_{k=0}^{n} \cos(ka) = \text{Re}\left(\sum_{k=0}^{n} e^{ika}\right)
$$

---

## 🔹 Сумма геометрической прогрессии

Сумма $ \sum_{k=0}^{n} e^{ika} $ — это сумма геометрической прогрессии:

$$
\sum_{k=0}^{n} e^{ika} = \frac{1 - e^{i(n+1)a}}{1 - e^{ia}}
$$

(Это стандартная формула для суммы геометрической прогрессии $ \sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} $, где $ r = e^{ia} $)

---

## 🔹 Вычислим эту сумму

$$
\sum_{k=0}^{n} e^{ika} = \frac{1 - e^{i(n+1)a}}{1 - e^{ia}}
$$

Теперь возьмём вещественную часть:

$$
S = \text{Re}\left(\frac{1 - e^{i(n+1)a}}{1 - e^{ia}}\right)
$$

---

## 🔹 Упрощаем выражение

Вспомним, что:

$$
1 - e^{i\theta} = -2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}
$$

Применим это к знаменателю и числителю:

### 1. Знаменатель:

$$
1 - e^{ia} = -2i \sin\left(\frac{a}{2}\right) e^{i\frac{a}{2}}
$$

### 2. Числитель:

$$
1 - e^{i(n+1)a} = -2i \sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right) e^{i\frac{(n+1)a}{2}}
$$

Подставим в сумму:

$$
\sum_{k=0}^{n} e^{ika} = \frac{-2i \sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right) e^{i\frac{(n+1)a}{2}}}{-2i \sin\left(\frac{a}{2}\right) e^{i\frac{a}{2}}}
$$

Упрощаем:

$$
= \frac{\sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)} \cdot e^{i\left(\frac{(n+1)a}{2} - \frac{a}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)} \cdot e^{i\frac{na}{2}}
$$

Теперь возьмём **вещественную часть**:

$$
\text{Re}\left(\frac{\sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)} \cdot e^{i\frac{na}{2}}\right) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)} \cdot \cos\left(\frac{na}{2}\right)
$$

---

## ✅ Итоговая формула:

$$
\sum_{k=0}^{n} \cos(ka) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right)} \cdot \cos\left(\frac{na}{2}\right)
$$

---

## 🔹 Пример:

Допустим $ a = \frac{\pi}{2} $, $ n = 3 $, тогда:

$$
S = \cos(0) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(\pi) + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1 + 0 -1 + 0 = 0
$$

Проверим по формуле:

$$
\frac{\sin\left(\frac{4 \cdot \frac{\pi}{2}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} \cdot \cos\left(\frac{3 \cdot \frac{\pi}{2}}{2}\right) = \frac{\sin(\pi)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0
$$

---

## ✅ Вывод:

Формула работает и доказана с помощью комплексных чисел и геометрической прогрессии. Она позволяет вычислять сумму косинусов арифметической прогрессии быстро, без вычисления каждого члена. 🎉

Если нужно, могу объяснить её визуально или привести другие примеры. 😊

==================================================================

ps3 = вот что привело к преодолению барьера математических стандартов (а ля сборника Сканави): 

=Хотя Chain-of-Thought (CoT) необходим для улучшения способностей рассуждения больших языковых моделей, он испытывает трудности с задачами, требующими высокой вычислительной точности и сложных математических или алгоритмических рассуждений, такими как решение квадратных уравнений или вычисление собственных значений. Tool-Integrated Reasoning (TIR) ​​решает эти проблемы, повышая способность модели выполнять точные вычисления, символическую манипуляцию и алгоритмические процессы. Модели Qwen3-Math-1.5B/7B/72B-Instruct, использующие TIR, достигнут впечатляющих результатов на тесте MATH, демонстрируя значительные улучшения в этих областях=