От разности Гаусса к соотношениям Вейля и квантовой плоскости Манина: некоммутативная геометрия на окружности
Когда Карл Фридрих Гаусс в 1805 и 1808 годах записывал интерполяционные многочлены и разделенные разности по геометрической сетке на единичной окружности \(z_j = z q^j\) с параметром \(q = \exp(ih)\), он решал задачи классического анализа и теории чисел. Однако внутри его формул уже действовал алгебраический механизм, который спустя сто двадцать лет стал основой квантовой механики, а еще через полвека породил некоммутативную геометрию. Чтобы увидеть эту прямую связь, достаточно проследить, откуда в анализе появляется фундаментальное перестановочное соотношение между операторами и как оно превращает классические тождества Гаусса в геометрию квантовых пространств.
В декабре 1927 года Герман Вейль опубликовал работу Quantenmechanik und Gruppentheorie (Квантовая механика и теория групп), заложившую математический фундамент новой физики, а в 1928 году развернул эти идеи в книге Gruppentheorie und Quantenmechanik. Вейль решал принципиальную математическую проблему, возникшую после работ Вернера Гейзенберга, Макса Борна и Паскуаля Йордана. Каноническое коммутационное соотношение Гейзенберга для оператора координаты \(Q\) и оператора импульса \(P\) записывалось в дифференциальной форме через постоянную Планка:
\[P Q - Q P = -i \hbar I\]
Как математик-аналитик, Вейль сразу заметил, что в гильбертовом пространстве это соотношение таит в себе серьезную опасность: операторы \(Q\) и \(P\) не могут быть одновременно ограниченными, у них возникают трудные вопросы с областями определения, и с ними нельзя обращаться как с элементами замкнутой банаховой алгебры. Чтобы обойти неограниченность производной, Вейль предложил гениальный ход, навеянный теорией групп Ли: перейти от инфинитезимальных генераторов \(Q\) и \(P\) к порождаемым ими однопараметрическим группам унитарных операторов — то есть взять от них комплексные экспоненты.
В классическом представлении Шредингера оператор координаты действует как умножение на переменную, а оператор импульса — как дифференцирование. Если образовать из них два унитарных оператора \(U\) и \(V\) с вещественными параметрами сдвига и применить их к функции:
\[U f(x) = e^{i a x} f(x), \quad V f(x) = e^{b \frac{d}{dx}} f(x) = f(x + b)\]
По формуле Тейлора экспонента от оператора дифференцирования \(\exp(b d/dx)\) есть не что иное, как обычный оператор сдвига аргумента на величину \(b\). Теперь оба оператора \(U\) и \(V\) ограничены и определены на всем пространстве. Проверим, как они переставляются между собой, применив их поочередно к произвольной функции \(f(x)\). С одной стороны, сначала сдвигая аргумент, а затем умножая на экспоненту, мы получаем \(U V f(x) = e^{i a x} f(x + b)\). С другой стороны, если сначала умножить функцию на \(e^{i a x}\), а затем сдвинуть переменную \(x\) на \(b\), то сдвигу подвергнется и сам множитель перед функцией:
\[V U f(x) = e^{i a (x + b)} f(x + b) = e^{i a b} e^{i a x} f(x + b) = q \, U V f(x), \quad q = e^{i a b}\]
Так родилась знаменитая экспоненциальная форма соотношений Гейзенберга, которую в математике и физике называют коммутационным соотношением Вейля или алгеброй тора Вейля:
\[V U = q \, U V\]
Если теперь перенести конструкцию Вейля с вещественной прямой на единичную окружность комплексной плоскости, где переменная записывается мультипликативно как \(z = e^{ix}\), то оператор \(U\) становится просто оператором умножения на независимую переменную \(z\), а оператор Вейля \(V\) превращается в гауссов оператор поворота окружности \(T_h f(z) = f(qz)\) при \(q = \exp(ih)\). Между оператором умножения на координату \(z\) и оператором сдвига \(T_h\), а также между комплексной производной \(D = d/dz\) и сдвигом \(T_h\) действуют точные операторные соотношения Вейля:
\[T_h z = q z T_h, \quad D T_h = q T_h D\]
Именно эта пара дуальных соотношений Вейля управляет всей внутренней механикой разности Гаусса \(\Delta_{k,h}^G\) и объясняет необходимость введения сдвигового параметра \(s\) в обобщенных разностях Крякина и Требельса \(\Delta_{k,h}^{G,s}\). Всякий раз, когда мы берем производную \(D\) от разности Гаусса или умножаем функцию на степень \(z^m\), оператор при прохождении сквозь разностный множитель \((T_h - q^j I)\) в силу соотношения Вейля приобретает фазовый множитель \(q\), сдвигая индекс аннулируемой гармоники на единицу. Более того, если рассмотреть отношение приращения к шагу на окружности, то есть производную Джексона \(D_q = (q-1)^{-1} z^{-1} (T_h - I)\), то оператор умножения на \(z\) и оператор \(D_q\) оказываются связаны деформированным коммутационным соотношением Вейля — Гейзенберга:
\[D_q (z f(z)) - q z D_q f(z) = f(z)\]
До конца 1980-х годов соотношение \(V U = q U V\) воспринималось математиками исключительно как свойство конкретных линейных операторов (сдвига и умножения), действующих на обычные функции от коммутирующих переменных. Революционный шаг, который в 1987–1988 годах совершил Юрий Иванович Манин в своей знаменитой монреальской монографии Quantum Groups and Non-Commutative Geometry и статье Some remarks on Koszul algebras and quantum groups, состоял в полном перевороте этой точки зрения.
Манин поставил вопрос в духе идей Александра Гротендика и алгебраической геометрии: если классическое аффинное пространство (плоскость) полностью определяется алгеброй полиномов от коммутирующих координат \(x y = y x\), то что получится, если объявить само перестановочное соотношение Вейля определяющим законом для координат нового геометрического объекта? Так была введена квантовая плоскость Манина \(\mathbb{A}_q^{2\vert{}0}\), порожденная двумя некоммутирующими координатными функциями \(x\) и \(y\), подчиненными соотношению:
\[y x = q x y\]
Первое же фундаментальное следствие, которое обнаруживается на квантовой плоскости Манина, возвращает нас напрямую к мемуару Гаусса 1808 года. Если координаты \(x\) и \(y\) удовлетворяют соотношению Вейля — Манина \(y x = q x y\), то при возведении двучлена \((x + y)\) в целую степень \(k\) и приведении подобных слагаемых к упорядоченному виду \(x^{k-j} y^j\) каждое перетаскивание множителя \(y\) влево через \(x\) дает степень параметра \(q\). В результате классический бином Ньютона на квантовой плоскости Манина автоматически превращается в точную формулу Гаусса с \(q\)-биномиальными коэффициентами:
\[(x + y)^k = \sum_{j=0}^{k} \begin{bmatrix} k \\ j \end{bmatrix}_q x^{k-j} y^j\]
То, что у Гаусса возникало как разложение узлового многочлена при интерполяции по геометрической сетке на окружности, у Манина оказалось внутренней формулой бинома для некоммутирующих координат пространства! Но самая глубокая и оригинальная идея Манина пошла еще дальше. Ранее квантовые группы в работах В. Г. Дринфельда и М. Джимбо строились путем алгебраической деформации скобок Ли в универсальных обертывающих алгебрах. Манин же показал, что квантовые матричные группы \(GL_q(2)\) и \(SL_q(2)\) не нужно угадывать искусственно — они рождаются сами собой как группы естественных линейных симметрий (автоморфизмов) квантовой плоскости.
Оригинальная конструкция Манина устроена с исключительной простотой и красотой. Чтобы однородное линейное преобразование координат сохраняло геометрию пространства, оно должно действовать не только на саму квантовую плоскость с координатами \(y x = q x y\), но и на двойственную к ней нечетную (грассманову или кошулеву) квантовую плоскость \(\mathbb{A}_q^{0\vert{}2}\) с образующими \(\xi, \eta\), где квадраты координат равны нулю, а антикоммутатор деформирован параметром \(q\):
\[\xi^2 = 0, \quad \eta^2 = 0, \quad \xi \eta + q^{-1} \eta \xi = 0\]
Манин рассмотрел линейное матричное преобразование этих координат с помощью матрицы \(M\) второго порядка, элементы которой \(a, b, c, d\) коммутируют с координатами плоскостей, но сами между собой коммутировать не обязаны:
\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \xi' \\ \eta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}\]
Теорема Манина утверждает: требование, чтобы новые координаты \((x', y')\) и \((\xi', \eta')\) удовлетворяли точно тем же самым соотношениям Вейля — Манина, что и старые координаты, однозначно накладывает на матричные элементы \(a, b, c, d\) систему из шести квадратичных соотношений, превращающих алгебру матриц в квантовую группу \(GL_q(2)\):
\[b a = q a b, \quad c a = q a c, \quad d b = q b d, \quad d c = q c d, \quad b c = c b, \quad a d - d a = (q^{-1} - q) b c\]
Более того, действие этой матрицы на старшую внешнюю форму \(\xi \eta\) на грассмановой плоскости выделяет единственный скалярный множитель — квантовый детерминант \(\det_q M = a d - q^{-1} b c\), который оказывается центральным элементом алгебры. Приравнивая этот детерминант единице, Манин чисто геометрически получил квантовую группу \(SL_q(2)\).
Если теперь взглянуть на эту картину целиком, открывается поразительное единство трех веков математики. Вся цепочка конструкций опирается на одно и то же алгебраическое ядро. В классическом комплексном анализе и теории приближений в пространствах Харди мы берем конкретную реализацию соотношения Вейля \(D T_h = q T_h D\) через оператор поворота окружности и комплексную производную. Подставляя эти операторы в квантовый бином и разделенные разности Гаусса, мы получаем разность Гаусса \(\Delta_{k,h}^G\), обобщенные разности \(\Delta_{k,h}^{G,s}\) со сдвиговым индексом \(s\) и модуль Гаусса \(\omega_{k,h}^G(f)_p\), позволяющий точно измерять гладкость аналитических функций в круге. А в некоммутативной геометрии Манина те же самые операторы отрываются от конкретного функционального пространства и возводятся в ранг абстрактных координат квантового мира, где тождества Гаусса 1805 и 1808 годов продолжают работать в неизменном виде, управляя геометрией квантовых симметрий.
Историческая и библиографическая справка.
Герман Вейль (Hermann Weyl, 9 ноября 1885 — 8 декабря 1955) — немецкий и американский математик и физик-теоретик. Работал профессором Высшей технической школы Цюриха (ETH Zürich) в 1913–1930 годах, профессором Гёттингенского университета в 1930–1933 годах (где занял кафедру своего учителя Давида Гильберта), а с 1933 по 1951 год — профессором Института перспективных исследований в Принстоне. Операторы \(U, V\) и экспоненциальное коммутационное соотношение \(V U = q U V\) были впервые введены им в работе Quantenmechanik und Gruppentheorie (Zeitschrift für Physik, Bd. 46, 1927, S. 1–46; поступила в редакцию в октябре, опубликована в декабре 1927 года) и подробно развиты в фундаментальной монографии Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: S. Hirzel, первое издание — 1928 год, переработанное второе издание — 1931 год; русский перевод «Теория групп и квантовая механика» вышел в 1934 году и переиздан в 1986 году).
Юрий Иванович Манин (16 февраля 1937 — 7 января 2023) — советский и российский математик, работавший в области алгебраической геометрии, теории чисел и математической физики. С 1960 года — научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова (МИАН), с 1965 года — профессор Московского государственного университета, в 1993–2005 годах — директор Математического института Общества Макса Планка в Бонне, профессор Северо-Западного университета (США). Конструкция квантовой плоскости с соотношением \(y x = q x y\), кошулевой двойственности и геометрического вывода квантовых матричных групп была впервые изложена им в статье Some remarks on Koszul algebras and quantum groups (Annales de l'Institut Fourier, t. 37, fasc. 4, 1987, pp. 191–205), развернута в монреальском курсе лекций Quantum Groups and Non-Commutative Geometry (Université de Montréal, Centre de Recherches Mathématiques, 1988, 91 pp.) и вошла в итоговую монографию Topics in Noncommutative Geometry (Princeton University Press, 1991).
