От Фавара к Бору 5 (Гаусс)

 Гаусс на соседней тропе ( см. предыдущую  запись)

Пятая заметка. Исследовательский черновик.
16 октября 2026 года.

В базовом лагере мы оставили маленькую загадку. У параболы, закреплённой нулевыми средними на двух половинах отрезка, возникли два нуля. Они в точности совпали с узлами Гаусса — точками, по значениям в которых можно особенно хорошо вычислять интегралы.

Совпадение хотелось продолжить. Но сначала следовало проверить ближайший случай. В математике такой опыт часто бывает полезнее попытки сразу угадать общую картину.

Ещё одна степень

Возьмём

\[
f(x)=x^3,\qquad 0\le x\le1.
\]

Теперь будем сохранять третьи разности. Они не замечают любого многочлена степени не выше двух. Поэтому из x³ можно вычесть подходящую параболу, не меняя разностных данных.

Остаток обозначим через r. Потребуем, чтобы его среднее на каждой трети отрезка было нулевым:

\[
\int_0^{1/3}r(x)\,dx=
\int_{1/3}^{2/3}r(x)\,dx=
\int_{2/3}^1r(x)\,dx=0.
\]

Ищем кубический многочлен со старшим членом x³. Три остальных коэффициента должны определиться из трёх условий. Можно выписать систему уравнений и решить её. Но попробуем сначала найти более наглядный путь.

Накопленная площадь

Представим, что мы идём по отрезку слева направо и подсчитываем накопленную площадь под графиком r. Положительную площадь прибавляем, отрицательную вычитаем. Полученная величина есть

\[
F(x)=\int_0^x r(t)\,dt.
\]

В начале она равна нулю. На первой трети прибавляется в сумме нуль, значит, в точке 1/3 снова получаем нуль. То же происходит на второй и третьей частях. Поэтому

\[
F(0)=F(1/3)=F(2/3)=F(1)=0.
\]

Сделаем здесь остановку. Условия на средние превратились в условия на значения другой функции. Вместо трёх интегралов мы увидели четыре обычных нуля; один из них, F(0) = 0, появился из определения накопленной площади.

Функция r имеет степень три и старший член x³. Следовательно, F имеет степень четыре и старший член x⁴/4. Все четыре корня уже известны. Значит,

\[
F(x)=\frac14x\left(x-\frac13\right)
                 \left(x-\frac23\right)(x-1).
\]

Множитель 1/4 нужен именно для получения старшего члена x⁴/4. Мы нашли F без решения системы уравнений.

Теперь нужно вернуться от накопленной площади к исходной функции: взять производную. Получаем

\[
r(x)=\left(x-\frac12\right)
\left[\left(x-\frac12\right)^2-\frac5{36}\right].
\]

Эту запись можно проверить раскрытием скобок и интегрированием. Из неё сразу видны три нуля:

\[
\frac12-\frac{\sqrt5}{6},\qquad
\frac12,\qquad
\frac12+\frac{\sqrt5}{6}.
\]

Приблизительно это 0,1273; 0,5000; 0,8727.

Небольшое расхождение

У трёхточечной квадратуры Гаусса на [0,1] узлы расположены немного иначе:

\[
\frac12-\frac12\sqrt{\frac35},\qquad
\frac12,\qquad
\frac12+\frac12\sqrt{\frac35}.
\]

Приблизительно это 0,1127; 0,5000; 0,8873. Эти точки являются нулями многочлена Лежандра третьей степени после переноса с [−1,1] на [0,1]. Справочный ориентир: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v), Gauss–Legendre Formula; https://dlmf.nist.gov/3.5#v.

Средний узел совпал. Крайние оказались близкими, но различными. Совпадение, замеченное для параболы, буквально не продолжилось.

Это хороший момент, чтобы различить два правила, которыми мы пользовались. Наши условия требуют равновесия площадей отдельно в каждой ячейке. Гауссовы узлы определяются другим равновесием: соответствующий многочлен имеет нулевой интеграл на всём отрезке после умножения на любой многочлен меньшей степени. Для третьей степени это множители 1, x и x².

Оба правила организуют колебание, но предъявляют к нему разные требования. Близость получившихся нулей сама по себе ещё не позволяет считать эти требования одинаковыми.

Что сохранилось

Несмотря на расхождение с Гауссом, наш способ построения стал яснее. Накопленная площадь F обращается в нуль на границах ячеек. Между двумя соседними нулями её график должен где-то иметь горизонтальную касательную. В такой точке производная равна нулю. А производная — это r.

Поэтому внутри каждой ячейки возникает нуль исходной функции. В нашем примере ячеек три, и кубический многочлен имеет ровно три таких нуля.

Сначала мы выбрали границы. Они стали нулями накопленной площади. Затем между ними появились нули её производной. Эта последовательность объясняет устройство примера и подсказывает, что можно менять в следующем опыте.

К задаче устойчивого восстановления мы пока приблизились только с одной стороны. Мы рассматриваем модельную функцию, а оценка для всего класса впереди. Однако уже видно, как дополнительные условия управляют расположением нулей и сменой знаков. Это именно то, что хотелось рассмотреть, прежде чем снова подниматься к общим оценкам.

Наш следующий вопрос теперь стал точнее. Равные трети были естественным первым выбором. Но они не были обязательны.

Представим, что две внутренние границы могут немного сдвинуться навстречу друг другу или разойтись, сохраняя симметрию. Вместе с ними изменится накопленная площадь, а затем и расположение её горизонтальных касательных.

Можно ли так передвинуть границы трёх участков, чтобы возникшие между ними нули в точности совпали с узлами Гаусса?