От Фавара к Бору 2 (Первые трудности)

Первые трудности при подъёме на гору

Начало пути — в первой заметке «Фавар на конечном круге».

Фавар на конечном круге. Вторая заметка
Исследовательский черновик. 16 октября 2026 года.

В первой заметке мы учились восстанавливать числа, расположенные по кругу, по их отличиям от среднего двух соседей. На небольших примерах возникла догадка о точной константе, а функция Грина помогла её доказать.

Теперь изменим только одно: вместо ближайших соседей будем брать точки через одну. Окажется, что эта маленькая перемена меняет саму возможность восстановления. Остановимся на круге из шести точек: здесь всё ещё можно увидеть глазами и проверить руками.

1. Круг распадается на два треугольника

Пусть \(u_0,\ldots,u_5\) — действительные числа. Индексы считаются по модулю шесть: например, \(u_{-1}=u_5\), а \(u_6=u_0\). Введём усреднение

\[
(T_2u)_j=\frac{u_{j-2}+u_{j+2}}2,
\qquad L_2=I-T_2.
\]

Здесь \(I\) — тождественный оператор: \(Iu=u\). Поэтому \(L_2u\) — разность между исходными значениями и их средними.

Из точки \(0\) такими шагами можно попасть только в \(2\) и \(4\). Из точки \(1\) — только в \(3\) и \(5\). Получились два независимых треугольника. На рисунке все точки по-прежнему лежат на одном круге, но выбранный оператор связывает их иначе.

Возьмём последовательность

\[
v=(1,-1,1,-1,1,-1).
\]

На одном треугольнике все значения равны \(1\), на другом — \(-1\). Поэтому усреднение ничего не меняет:

\[
T_2v=v,\qquad L_2v=0.
\]

Подпись: Номера вершин стоят внутри кружков, значения последовательности \(v\) — рядом. Синие переходы связывают только вершины \(0,2,4\), оранжевые — только вершины \(1,3,5\). На каждом треугольнике значения постоянны, поэтому среднее их сохраняет. Пересечения линий не являются вершинами: перейти с одного треугольника на другой в этих местах нельзя.

Общая сумма значений равна нулю. Однако восстановить \(v\) по \(L_2v\) невозможно: оператор даёт тот же результат, что и на нулевой последовательности.

Это первая трудность. Раньше мы убрали одну постоянную составляющую условием общей нулевой суммы. Теперь оператор не замечает отдельной постоянной на каждом треугольнике.

Можно потребовать, чтобы сумма значений была нулевой на каждом треугольнике. Иными словами, потребуем

\[
u_0+u_2+u_4=0,\qquad u_1+u_3+u_5=0.
\]

Уточним обозначение нормы: \(\|u\|_\infty=\max_{0\le j\le5}|u_j|\). Это наибольшая из абсолютных величин шести чисел.

Тогда на каждом треугольнике возвращаемся к уже решённой задаче для трёх точек:

\[
\|u\|_\infty\le\frac23\|L_2u\|_\infty.
\]

Константа точная. Таким образом, один способ справиться с трудностью — уточнить класс функций, на котором мы обращаем оператор.

2. Добавим связь между треугольниками

Попробуем другой путь: изменим усреднение. Добавим переход в противоположную точку:

\[
(T_3u)_j=u_{j+3}.
\]

Этот переход соединяет пары \(0\) и \(3\), \(1\) и \(4\), \(2\) и \(5\). В каждой паре вершины принадлежат разным треугольникам.

Но в каком соотношении соединить два способа усреднения? Этого прежняя задача нам не говорит. Здесь мы сами ставим новый опыт: будем менять силу добавленной связи и смотреть, как меняется восстановление.

Начнём с совершенно конкретного правила. Возьмём девять десятых первого среднего и одну десятую второго:

\[
Tu=\frac9{10}T_2u+\frac1{10}T_3u.
\]

Иными словами, в каждой точке вычисляем два уже известных значения и составляем их взвешенное среднее. Это не последовательное применение операторов: мы складываем результаты с указанными весами.

Здесь переход между треугольниками имеет вес \(1/10\). Можно было бы дать ему вес \(1/2\) или \(1/100\). Какой выбор лучше? Чтобы не переписывать правило для каждого числа, обозначим вес перехода буквой \(\varepsilon\), а оставшийся вес — через \(1-\varepsilon\):

\[
T_\varepsilon=(1-\varepsilon)T_2+\varepsilon T_3,
\qquad L_\varepsilon=I-T_\varepsilon,
\qquad 0<\varepsilon<1.
\]

Буква \(\varepsilon\) обозначает выбранную нами долю веса. Пока она не обязана быть малой. Для каждого её значения получается свой оператор.

Подпись: Цветные стороны соединяют вершины каждого треугольника, а зелёные пунктирные линии — противоположные вершины разных треугольников. При вычислении среднего вес каждого из двух переходов внутри треугольника равен \((1-\varepsilon)/2\), а вес перехода в противоположную вершину равен \(\varepsilon\). Пересечения линий не являются дополнительными вершинами.

Теперь сформулируем новую задачу. При фиксированном \(\varepsilon\) нам дана последовательность \(f=(f_0,\ldots,f_5)\) с общей нулевой суммой. Требуется восстановить последовательность \(u=(u_0,\ldots,u_5)\) с нулевой суммой по уравнению

\[
L_\varepsilon u=f.
\]

Сначала нужно выяснить, возможно ли такое восстановление и единственно ли оно. Затем — насколько оно устойчиво: насколько сильно могут увеличиться ошибки исходных данных.

Мерой этого увеличения служит наименьшая константа \(C_\varepsilon\), для которой

\[
\|u\|_\infty\le C_\varepsilon\|L_\varepsilon u\|_\infty,
\qquad \sum_{j=0}^{5}u_j=0.
\]

Почему эта оценка говорит об ошибках? Если две правые части \(f\) и \(\widetilde f\) дали решения \(u\) и \(\widetilde u\), то разность решений удовлетворяет тому же уравнению с правой частью \(f-\widetilde f\). Поэтому

\[
\|u-\widetilde u\|_\infty
\le C_\varepsilon\|f-\widetilde f\|_\infty.
\]

Следовательно, \(C_\varepsilon\) ограничивает увеличение ошибки при восстановлении. Чем меньше эта константа, тем лучше гарантированная устойчивость. Наша цель — понять, как она зависит от выбранного веса \(\varepsilon\). Сравнивая разные веса, мы сравниваем разные правила усреднения.

Почему теперь достаточно общей нулевой суммы? Предположим, что \(L_\varepsilon u=0\). Тогда каждое значение равно взвешенному среднему значений в доступных точках.

Посмотрим на точку, где \(u\) максимально. Среднее не может равняться максимуму, если хотя бы одно из участвующих значений меньше максимума. Значит, во всех доступных точках значение тоже максимально. Продолжая переходы, обойдём все шесть точек. Следовательно, \(u\) постоянно, а при нулевой сумме \(u=0\).

Мы доказали единственность восстановления без вычисления определителей и без анализа Фурье. Поскольку оператор действует на конечномерном пространстве последовательностей с нулевой суммой и сохраняет это пространство, из единственности следует также существование решения для каждой правой части с нулевой суммой.

Но возможность восстановления ещё не отвечает на вопрос о его устойчивости.

3. Слабая связь дорого обходится

Вернёмся к чередующейся последовательности \(v\). Первое усреднение сохраняет её, а переход в противоположную точку меняет знак:

\[
T_2v=v,\qquad T_3v=-v.
\]

Распишем действие нового оператора без пропущенных шагов:

\[
T_\varepsilon v=(1-\varepsilon)v+\varepsilon(-v)
=(1-2\varepsilon)v.
\]

Мы складываем сохраняемую часть \(v\) и часть с противоположным знаком. Затем вычитаем полученное среднее из исходной последовательности:

\[
L_\varepsilon v=v-T_\varepsilon v
=v-(1-2\varepsilon)v=2\varepsilon v.
\]

Оператор стал замечать это колебание, но при малом \(\varepsilon\) замечает его очень слабо. Исходная последовательность имеет норму \(1\), а результат действия оператора — норму \(2\varepsilon\). Поэтому в сформулированной выше оценке устойчивости должно выполняться \(1\le C_\varepsilon\cdot2\varepsilon\). Делим на положительное число \(2\varepsilon\):

\[
C_\varepsilon\ge\frac1{2\varepsilon}.
\]

При \(\varepsilon=1/100\) константа не меньше \(50\). Это означает, что существует ошибка в правой части, которая при восстановлении усиливается в пятьдесят раз.

Связь между треугольниками восстановлена. Однако пока она слаба, задача остаётся плохо устойчивой.

4. Почему нельзя просто усилить новую связь?

Кажется естественным увеличить \(\varepsilon\). Но сначала проверим ещё один простой пример:

\[
w=(2,-1,-1,2,-1,-1).
\]

Противоположные точки имеют одинаковые значения, поэтому \(T_3w=w\). А на каждом треугольнике сумма равна нулю, откуда \(T_2w=-w/2\). Следовательно,

\[
L_\varepsilon w=\frac32(1-\varepsilon)w
\]

и

\[
C_\varepsilon\ge\frac{2}{3(1-\varepsilon)}.
\]

Когда \(\varepsilon\) приближается к единице, восстановление снова ухудшается. Основное усреднение теперь связывает только противоположные пары; связь между разными парами становится слабой.

Два примера обнаружили два разных препятствия. Один способ усреднения исправляет слабость другого. Нам нужно согласовать их веса.

Можно уравнять найденные препятствия:

\[
2\varepsilon=\frac32(1-\varepsilon),
\qquad \varepsilon=\frac37.
\]

При таком выборе обе нижние оценки дают \(C_\varepsilon\ge7/6\).

Здесь необходима остановка. Мы уравняли трудности, обнаруженные двумя примерами. Мы ещё не доказали, что этот вес оптимален для всей задачи, и не нашли точной нормы обратного оператора.

Следующий вопрос появился из самих вычислений: достаточно ли двух найденных типов колебаний или их смесь окажется труднее каждого по отдельности?

5. Что стало видно на этой тропе

Мы начали с невозможности восстановления: два треугольника не слышали друг друга. Добавленная связь сделала восстановление возможным. Затем выяснилось, что слабая связь допускает сильное увеличение ошибок. Наконец, второй пример показал, что чрезмерное усиление одного вида связей ослабляет другой.

Так возникли три разных вопроса: что оператор совсем не замечает; что он замечает слишком слабо; как выбрать усреднение, чтобы избежать обоих затруднений.

Здесь появляется мотив, который встретится нам на дороге к почти периодичности: что происходит с колебанием при сдвигах и усреднении? Сначала усреднение \(T_2\) сохраняло последовательность \(v\) в точности. При малом положительном \(\varepsilon\) новое усреднение \(T_\varepsilon\) меняет её лишь немного. Количественная оценка этой почти неизменности показывает, насколько трудно обратить оператор \(I-T_\varepsilon\). Это пока конечный пример почти сохранения усредняющим оператором; к самой почти периодичности Бора нам ещё предстоит перейти.

Пока всё это произошло на шести точках. Следующую остановку посвятим проверке: не скрывается ли за двумя простыми примерами третья, ещё не замеченная трудность?