Доказательство квадратичного закона взаимности, предложенное Егором Ивановичем Золотаревым в 1872 году, считается одним из самых красивых и естественных. Оно связывает теорию чисел с теорией групп (в частности, с перестановками).
В основе этого доказательства лежит знаменитая Лемма Золотарева.
Вот пошаговый разбор доказательства.
### 1. Лемма Золотарева
Лемма устанавливает связь между символом Лежандра и знаком перестановки.
Формулировка:
Пусть \( p \) — нечетное простое число, а \( a \) — целое число, не делящееся на \( p \). Расмотрим отображение множества ненулевых вычетов \( \mathbb{Z}_p^* = \{1, 2, \dots, p-1\} \) на себя:
$$ \pi_a(x) \equiv ax \pmod p $$
Это отображение является перестановкой элементов множества \( \mathbb{Z}_p^* \).
Тогда символ Лежандра \( \left(\frac{a}{p}\right) \) равен знаку этой перестановки \( \varepsilon(\pi_a) \):
$$ \left(\frac{a}{p}\right) = \varepsilon(\pi_a) $$
> *Напоминание:* Знак перестановки равен \( 1 \) (четная перестановка), если она раскладывается на четное число транспозиций, и \( -1 \) (нечетная), если на нечетное.
**Краткое доказательство леммы:**
1. Пусть \( g \) — первообразный корень по модулю \( p \). Тогда любой вычет \( x \) можно представить как \( g^k \).
2. Умножение на \( a \) (где \( a = g^l \)) соответствует сдвигу индексов на \( l \) по модулю \( p-1 \).
3. Можно показать, что знак такой перестановки совпадает с четностью числа \( l \).
4. Если \( l \) четно, \( a \) — квадратичный вычет, \( \left(\frac{a}{p}\right)=1 \). Если \( l \) нечетно — невычет, \( \left(\frac{a}{p}\right)=-1 \).
---
### 2. Доказательство квадратичного закона взаимности
Нам нужно доказать, что для двух различных нечетных простых чисел \( p \) и \( q \):
$$ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} $$
Идея Золотарева состоит в использовании Китайской теоремы об остатках и рассмотрении перестановки на множестве \( S = \{0, 1, \dots, pq - 1\} \).
#### Шаг А: Китайская теорема об остатках
Согласно теореме, существует биекция (взаимно однозначное соответствие) между \( z \in \mathbb{Z}_{pq} \) и парами \( (x, y) \in \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q \), где:
$$ x \equiv z \pmod p $$
$$ y \equiv z \pmod q $$
Мы можем записать элементы множества \( \mathbb{Z}_{pq} \) в таблицу размером \( p \times q \) двумя способами.
#### Шаг Б: Два способа упорядочивания
Давайте упорядочим элементы множества пар \( \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q \) лексикографически (как в словаре).
1. **Порядок А (сначала \( q \), потом \( p \)):**
Мы записываем элементы как \( z = kp + r \), где \( 0 \le r < p \) и \( 0 \le k < q \).
В терминах пар остатков это соответствует порядку:
\( (0,0), (1,1), \dots, (p-1, p-1), (0, p), \dots \)
Более строго, представим числа от \( 0 \) до \( pq-1 \) записанными в матрицу \( p \times q \) по строкам.
2. **Порядок Б:**
Мы можем упорядочить их, отдавая приоритет другому модулю, что соответствует чтению матрицы по столбцам (транспонированию).
#### Шаг В: Вычисление знака перестановки через \( \left(\frac{p}{q}\right) \) и \( \left(\frac{q}{p}\right) \)
Рассмотрим перестановку \( \sigma \) множества \( M = \{0, 1, \dots, pq-1\} \), которая определяется тождеством:
$$ \sigma(iq + j) = jp + i $$
где \( 0 \le i < p \) и \( 0 \le j < q \).
Геометрически это **транспонирование прямоугольной матрицы** размера \( p \times q \), в ячейках которой последовательно записаны числа.
**1. Знак перестановки \( \sigma \) напрямую:**
Чтобы транспонировать матрицу, мы меняем порядок элементов. Можно подсчитать количество инверсий.
Каждая пара индексов \( (i, j) \) и \( (i', j') \) меняет порядок, если \( i < i' \), но \( j > j' \).
Подсчет инверсий приводит к результату:
$$ \varepsilon(\sigma) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} $$
Это правая часть квадратичного закона.
**2. Разложение \( \sigma \) через Лемму Золотарева:**
Перестановку \( \sigma \) можно представить как композицию перестановок, связанных с модульной арифметикой.
Переход от представления \( iq+j \) к \( jp+i \) (от китайского базиса с приоритетом одного модуля к приоритету другого) алгебраически распадается на два независимых действия:
1. Перестановка элементов по модулю \( p \) при умножении на \( q \). Знак этой операции по Лемме Золотарева равен \( \left(\frac{q}{p}\right) \).
2. Перестановка элементов по модулю \( q \) при умножении на \( p \). Знак этой операции равен \( \left(\frac{p}{q}\right) \).
Знак полного преобразования оказывается равным произведению знаков этих перестановок:
$$ \varepsilon(\sigma) = \left(\frac{p}{q}\right) \cdot \left(\frac{q}{p}\right) $$
**3. Финал:**
Приравниваем два вычисленных значения для знака одной и той же перестановки \( \sigma \):
$$ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} $$
### Резюме
Сила доказательства Золотарева в том, что оно сводит теоретико-числовую задачу к задаче о **знаке перестановки**.
1. С одной стороны, знак перестановки, "переворачивающей" прямоугольник \( p \times q \), чисто комбинаторно равен \( (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \).
2. С другой стороны, алгебраически этот "переворот" эквивалентен действию множителей \( p \) и \( q \) друг на друга, что по Лемме Золотарева дает произведение символов Лежандра.
=============================================================
Для того, чтобы понять что-то, не нужно читать доказательств, нужно доказывать самому.
Базовый принцип математики, который, по недоразумению, нарушается большинством зрителей, свидетелей процесса - они читают ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. математики читают формулировки. В этом отличие математиков от нематематиков. Гаусс вообще ничего не читал ДО. Только после и только формулировки, по-видимому. Так проще понять. А вот Золотарев считал Римана слабым математиком, типа - обсуждал это с Эрмитом. Попал потом под поезд в 31 год. Математики странные люди, особенно алгебраисты.
Гаусс был в восторге от Римана,
Крестный Отец, так сказать, писал отзывы на его работы, очень хвалил его лекцию - единственный кто сразу понял величие Римана,
как Симеон: он взял Его на руки, благословил Бога и сказал:
Ныне отпускаешь раба Твоего,
Владыко, по слову Твоему,
с миром,
ибо видели очи мои спасение Твое
Комментариев нет:
Отправить комментарий