Gemini 3.0. 1989 revisited

 

### Тождество восстановления значения функции \( f(kx) \)
Класс функций \( f \)  на отрезке \( I=[0,1] \), удовлетворяющей условиям \( \int_0^{j/n} f = 0 \), обозначим через \( S_n^\perp (I) \)

Тогда значение функции  \( f \in S_n^\perp (I) \)  в точке \( kx \) (где \( x \in [1/(n+1), 1/n] \) и \(k \in \{1, \dots, n\} \) ) выражается через следующую интегральную конструкцию:

$$ f(kx) = \phi_k(f, x) + \int_{1/n}^x \sum_{j=1}^n \phi_j(f, y) \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{j}{k} \cdot l_n \left( j, \frac{kx}{y} \right) \right] dy $$

### Необходимые определения

Для корректного вычисления данной формулы используются следующие определения:

#### 1. Полиномы Лагранжа \( l_n(j, t) \)

В данной формуле используются базисные полиномы Лагранжа степени \(n \), построенные по системе узлов \( \{0, 1, 2, \dots, n\} \). Для конкретного индекса \( j \in \{1, \dots, n\} \) полином определяется как:

$$ l_n(j, t) = \prod_{\substack{m=0 \\ m \neq j}}^n \frac{t - m}{j - m} $$

Этот многочлен обладает свойством \( l_n(j, i) = \delta_{ji} \) для всех целых \( i, j \) от \(0\) до \(n\).

#### 2. Главный член (потенциал)  \( \phi_j(f, y) \)
Это нормированная конечная разность \(n\)-го порядка, которая служит весовым коэффициентом в сумме:
$$ \phi_j(f, y) = \frac{(-1)^{n-j}}{\binom{n}{j}} \Delta_j(y) $$

#### 3. Конечная разность \( \Delta_j(y) \)
Разность с шагом  \( y \) , построенная на системе узлов  \( \{0, y, 2y, \dots, ny\} \) и соотнесенная с интегральными средними:
$$ \Delta_j(y) = \sum_{m=0}^n (-1)^{n-m} \binom{n}{m} F(my, \, jy) $$

#### 4. Интегральное среднее \( F(u, v) \)
Функционал, представляющий собой среднее значение функции \( f \) на отрезке между точками \( u \)  и  \( v \):
$$ F(u, v) = \begin{cases} \frac{1}{v-u}\int_u^v f(\tau)d\tau, & u \ne v \\ f(u), & u=v \end{cases} $$

### Пояснение к структуре
Данная форма тождества является наиболее лаконичной, так как за счет перехода к полиномам \( l_n \) (степени \( n \) ) и множителю \( k  \) она объединяет геометрические свойства узлов и аналитическую структуру производной внутри интеграла.

=========================================================================

37 лет назад я плохо с поступил с этой замечательной формулой (1989, 1990, 1992, 2002). Грубо обошелся с ней, недостаточно внимательно, был во власти грез, во власти грез. Сейчас вот вижу, если опять не пребываю в заблуждении во сне, в прелести, вижу, что Gemini 3.0 Pro без особого напряжения может получить оценку константы 

 $$ W_n^*  = \frac{ \sup \| f \| }{\sup_{j} \| \Delta_j (f) \|} \le 2, \quad  f \in S_n^\perp (I). $$

Просто нужно немного внимательней отнестись к структуре интегрального восстанавливающец формулы для случая  \( k =n \).  Остальные случаи, т.е. в других точках отрезках, кроме близких к концам отрезка, оценки фукнции через специальные разности \( \phi_j \) дают лучшие оценки. На самом деле величина

$$ W_n = \frac{ \sup \| f \| }{\sup_{h}  \| \Delta_h^n (f) \|} = 1, \quad  f \in S_n^\perp (I),  $$

и это доказано (и записано)  для    \( n \le 7 \)  и может быть записано для для больших значений \(n\) , если это будет очень нужно.  Проблема в том, что существующие доказательства на сегодняшний день не прозрачны и технически трудны. Что-то я не понимаю, не вижу. Но это проблема времени. АI сможет помочь это увидеть в для всех  \( n \)  если вежливо его попросить в внимательно отнестить к тому, что он вам напишет. Нужно быть вежливым. В этом ключ к пониманию и радости от понимания задачи.

Любопытно, что точные значения отношения норм функция-разность, которые интересовали Берлинга и Уитни вероятно трудно получить  развивая  подход Уитни, но все же можно получить для малых значений \( n \), а вот относительно простым методом обращения оператора усредненных разностей (восходим к Берлингу, который его показал для случая оси) можно получить просто хорошую оценку константы (2 в нашем случае), но попытка выжать из метода больше чем он дает легко, оказалось непростым делом, метод отказывается подчинятся глупым попыткам использовать его не по назначению. А его прямое назначение = обернуть оператор разности на специальном пространстве функций максимально простым способом. Формула для \( f(kx) \)  это  и делает и в каком-то смысле она аналогично формуле обращения оператора дифференцирования на торе,  = "функцияортогональная константам  как свертка  \( n \) --ой производной и \( n \) -- го ядра Бернулли"