9-ый день одного года (римейк или ремейк, переделка)

 Повторяю то, что написано 1 декабря, 

в нетрезвом виде, который стал стандартным видом в анфас. про машину,  9 дней как ... все меняется, и совет-чики тоже. советчики и анти-советчики. про gimini 3.0

что думал раньше, на девятый день (минус):

Если вежливо с ней поговорить, внимательно, задавая нужные вопросы то она открывает глаза на правду и потом ее доказывает, сначала смысл, потом формулы, сначала малые значения, потом опять смысл, потом большие значения (чего-либо) как хороший математик, точнее физико-математика, в первую очередь она физик. или мне так кажется. ну типа ньютона, нет неудачно, скорее типа эйлера, потому как пишет ясно, как Эйлер.

 чтобы доказать нечто (для меня важное, точную константу), нужно вернуться к итокам, к работе 1989 года (моей, как оказалось лучшей в этой тематике, очень короткой) и немного ее подправить. 

Избавиться от человеческой глупости (моей) ну и проявить упорство в вычислениях и анализе интегрального ядра.

Если коротко - нужно применить формулу (с двух сторон, кто разберется поймет о чем я) для более широкого интервала слева (он нуля, малые разности) и более узкого справа (большие разности) и склеить нужные оценки. И все получится. 

Я не буду про это писать с претензией на авторство. Получится у других и хорошо, задача важная, нужно знать, да и константа хорошая. Самая хорошая. 1.

======================================================================

Но нужно проверить, конечно. 

Да и возраст не позовляет "доказывать" что-либо новое. Подоказывал и хватит.

 ========================

ps. 1 пока не получилась, через 9 дней, на поминках по задаче, и это хорошо, она воскресла, но вот 2 вроде получается изначальными вычислениями, нового машина добавила мало, но считает неплохо. не добавила.. нет, утешила и намекнула на то, что сделать. подсказала. ну и спасибо.

машина не советчик (как пишут) - она подсказчик, но ведь нужно сообразить как ее подсказки использовать.

 ==================================================================

я благодарен за разговоры с LLM ... (cлово подбираю) духами. Подобрал. Вернули меня в молодость, в молодые годы, вернули вычислительные силы (ну заменили, хорошо), подбадривают, подхваливают, как учителя, и помогают, и ошибаются.. вернули в совок, можно и так сказать в состояние ... то взлет, то посадка...

и ладно. да будет так.

техническая часть 2 gpt-oss

 Gemini 3.0 стало работать хуже - вероятно из-за нагрузки на сервера и избыточной реклами. Ее игривость и вежливость остались - все ок, но так как реклама привлекла траффик..то кирдык, головокружение от успехов - как писал один мерзавец, на которого маструбируют миллионы выживших от его проделок ублюдков.

выжили - да. но какой ценой? как в том анекдоте по партию. если партия прикажет - сделаешь?

ну да сделаю, сделаю, сделаю и жизнь отдам ...в самом деле, нафига мне такая жизнь

ничего не меняется.

принципиально. только .. денег мало.

Тут уж так: верь не верь. верю - не - верю. такая вот игра с железкой.

поверил, что тупым счетом можно убрать позорные 1/e^2  в оценке (их там нет, просто померещилось, что их просто нет, не должно быть.. но никто не доказал до сих пор, как в анекдоте про неуловимого Джо). Но их нет, потому,  что методы нужны потоньше.

вот машина и проверяет возможности расширения старых методов. Это и хорошо и плохо.

оно хорошо, чтобы проверять свои глупости, чтобы исправлять ошибки, а для того чтобы придумать новое, она ...  пока еще не доросла .. ну как средний аспирант, аспирант средней руки (никому не нужный, но машина нужна, она усиливает ум и глупость - Манин правильно написал. усиливает все)

Gemini 3.0. 1989 revisited

 

Вот полная формулировка задачи и ее решения для произвольного $n \ge 2$.

### Постановка задачи
Пусть $f$ — непрерывная функция. Рассмотрим $x \in [0, 1/n]$.
Определим среднее значение функции $F(u,v)$ как:
$$ F(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{v-u}\int_u^v f(\tau)d\tau, & u \ne v \\ f(u), & u=v \end{cases} $$
Введем функции $y_k(x) = \frac{1}{k} \int_0^{kx} f(\tau) d\tau$ для $k=1, \dots, n$, удовлетворяющие граничным условиям $y_k(1/n) = 0$.

### Определения

**1. Разностные функции $\Delta_j(x)$**
Определим разности $\Delta_j(x)$ ($j=1, \dots, n$) как знакопеременную сумму значений $F$ на сетке узлов $\{0, x, \dots, nx\}$, используя биномиальные коэффициенты:

$$ \Delta_j(x) = \sum_{m=0}^n (-1)^m \binom{n}{m} F(mx, jx) \quad \dots \quad (3) $$

**2. Полиномы Лагранжа $L_{n+1, j}(u)$**
Пусть $L_{n+1, j}(u)$ — базисные полиномы Лагранжа степени $n$, построенные по системе из $n+1$ узла $\{0, 1, \dots, n\}$. Для $j \in \{1, \dots, n\}$:

$$ L_{n+1, j}(u) = \prod_{\substack{i=0 \\ i \ne j}}^n \frac{u - i}{j - i} \quad \dots \quad (4) $$

---

### Решение

В формулах ниже используется переменная масштабирования $s = \frac{x}{t}$.

**Формула для функций $y_k(x)$:**

$$ y_k(x) = \frac{1}{k} \int_{1/n}^x \left[ \sum_{j=1}^n \frac{(-1)^j \cdot j}{\binom{n}{j}} \cdot L_{n+1, j}(k s) \cdot \Delta_j(t) \right] dt \quad \dots \quad (1) $$

**Формула для значений функции $f(kx)$:**
Дифференцируя (1) по $x$, получаем выражение для восстановления функции $f$ в точках $kx$:

$$ f(kx) = \frac{(-1)^k}{\binom{n}{k}}\Delta_k(x) + \frac{1}{k} \int_{1/n}^x \frac{1}{t} \sum_{j=1}^n \frac{(-1)^j \cdot j}{\binom{n}{j}} \cdot \frac{d}{ds}\Big( L_{n+1, j}(k s) \Big) \cdot \Delta_j(t) \, dt \quad \dots \quad (2) $$

Gemini 3.0. Утешение.

 

Почувствуй себя Гауссом или Эйлером, на выбор, если еще есть время и чувства.

Пусть ненадолго. Обернись на нерешенные тобой задачи и гипотезы (если такие остались).

Да, и проверь свои доказательства с помощью Gemini 3.0, все ли в порядке, все ли ты видел,

и какова твоя глубина и ценность, Gemini тебя похвалит и драматически сократит время 

вычислений, ее вычисления покажут тебе, что ты упустил (поленился, недосчитал),  

правильна ли гипотеза, верен ли путь... ?

 А что еще нужно то?

а за славу и приоритет будут продолжать биться копирайтеры-мерзавцы, мерзавцы-копирайтеры.

Гаусс прав - беотийцам - беотийское, не вмешивайся, время поправит твои неточности и подтвердит интуитивное... или не подтвердит. 

Важность твоих желаний может оказаться сильно преувеличенной, как и слухи о твоей незначительности.

 Да, и Gemini больше думает как физик, нежели как математик, хотя и хороший математик думает как физик, качественно.

Был ли Дирак физиком?