трудная часть оценки 3

Выражение в квадратных скобках, которое мы обозначили как **модельную (главную) часть** оценки, имеет строгий аналитический смысл. Оно представляет собой значение функции $f(x)$ в том идеальном случае, когда разностная характеристика постоянна на всем интервале интегрирования: $\Delta_n(t) \equiv \Delta_n(x)$. Для нашей задачи (восстановление по средним) это выражение в точности равно **нормированной производной узлового полинома**. ### Явный вид выражения Обозначим масштабированную переменную $u = nx$. Выражение в квадратных скобках $B(x)$ равно: $$ B(x) = \frac{1}{n!} \frac{d}{du} \left( \prod_{m=0}^n (u - m) \right) \Bigg|_{u=nx} $$ ### Развернутая форма (Сумма произведений) Раскрывая производную произведения, получаем явную алгебраическую формулу: $$ B(x) = \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^n \left( \prod_{\substack{m=0 \\ m \ne j}}^n (nx - m) \right) $$ **Где:** * Сумма берется по всем исключаемым индексам $j$ от $0$ до $n$. * Каждое слагаемое — это произведение $n$ линейных множителей вида $(nx - m)$. ### Связь с узловым полиномом Если обозначить узловой полином на целочисленной сетке как $\omega_{n+1}(u) = u(u-1)\dots(u-n)$, то формула принимает компактный вид: $$ B(x) = \frac{\omega'_{n+1}(nx)}{n!} $$ Или, используя логарифмическую производную: $$ B(x) = \frac{\omega_{n+1}(nx)}{n!} \sum_{j=0}^n \frac{1}{nx - j} $$ ### Свойства этой функции на интервале $x \in [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}]$ В этом интервале аргумент $u = nx$ меняется от $\frac{n}{n+1} \approx 1$ до $1$. То есть мы находимся в окрестности узла $u=1$. 1. **В узле $u=1$ ($x=1/n$):** В сумме произведений зануляются все слагаемые, содержащие множитель $(u-1)$, то есть все, кроме $j=1$. $$ B(1/n) = \frac{1}{n!} \prod_{m \ne 1} (1 - m) = \frac{1}{n!} \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-2) \dots = \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$ *(Значение мало, порядка $1/n$)*. 2. **Вблизи $u=1$:** Функция ведет себя не как 1 (как было бы для интерполяции значений), а проходит через ноль (или близко к нему), так как она описывает производную колебательного полинома. Это подтверждает, что в окрестности $1/n$ "главная часть", построенная на гипотезе постоянства глобальной разности, сама по себе мала, и итоговое значение функции формируется балансом этой малой величины и интегральной поправки.