gpt-oss: 120b cloud, Для тех, кто устал и просит тишины...

 **Как работает «метод Буркхолдера» + «зиг‑за‑г» + индукция + выпуклость**  
(простой пример – одна‑мерный мартингал «симметричный случайный блуждание»).

---

## 1. Что мы хотим получить?

Для любого мартингала \((M_k)_{k=0}^n\) с разностями  
\(\Delta_k:=M_k-M_{k-1}\) (независимыми, \(\mathbb E[\Delta_k\mid\mathcal F_{k-1}]=0\))  
нужна “sharp‑”оценка

\[
\boxed{\ \mathbb E\,\Phi(M_n)\ \le\ C\;\mathbb E\,\Phi\!\bigl([M]_n^{1/2}\bigr)\ } ,
\qquad
[M]_n:=\sum_{k=1}^n\Delta_k^{\,2},
\]

где \(\Phi(t)=|t|^p\) (пример: \(p>1\)).  

Метод Буркхолдера – это способ построить **одну вспомогательную функцию** \(B\) (Burkholder‑функцию), которая «переносит» нужную оценку с шага \(k-1\) на шаг \(k\). Всё делается через **индукцию** и **выпуклость**/«зиг‑за‑г»‑границы этой функции.

---

## 2. Идея в двух словах

1. **Выбираем** \(B:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R\) так, чтобы  
   - \(B(x,0)=\Phi(x)\) (на старте, без квадратичной вариации, получаем нужную цель);  
   - \(B\) «само‑получается»: при добавлении очередного шага \(\Delta\) её среднее не возрастает.

2. **Индукция.** Предположим, что для всех мартингалов длины \(n-1\)

   \[
   \mathbb E\,B\!\bigl(M_{n-1},[M]_{\,n-1}\bigr)\le
   \mathbb E\,\Phi\!\bigl([M]_{\,n-1}^{1/2}\bigr).
   \]

   Показать, что то же самое верно для \(n\) – это уже «шаг индукции», и он сводится к проверке **одностопного** условия на \(B\).

3. **Выпуклость + зиг‑за‑г.**  
   Одностопное условие выглядит так:

   \[
   \forall\,x\in\mathbb R,\ \forall\,y\ge0,\ \forall\,d\in\mathbb R:\quad
   \mathbb E\bigl[ B(x+d,\,y+d^{2})\mid d\bigr]\;\le\; B(x,y).
   \tag{★}
   \]

   Здесь ожидание берётся по распределению очередного приращения \(d\) (с нулевым средним).  
   Как обеспечить (★) без громоздких формул?  

   - **Выпуклость** в переменной \(y\) делает левую часть «линейно» в \(d^{2}\).  
   - **Зиг‑за‑г** – это геометрическое наблюдение: достаточно, чтобы \(B\) была «поворот‑внутренний» в точках \((x\pm a, y+a^{2})\) для всех возможных размеров \(a\). График функции выглядит как «зиг‑заг»‑полоска, где каждое «зиг‑заг» соответствует одной из крайних точек (наиболее «угловатый» случай). Если функция в этих точках выпукло/выпукло‑внутри, то её среднее для любого симметричного распределения будет ниже.

   Итого, проверка (★) сведена к проверке **двух** точек (наиболее «угловатых»), а не к интегралу по всему распределению.

---

## 3. Простейший пример: \(p=2\)

Для квадратичной функции \(\Phi(t)=t^{2}\) всё уже почти «само». Возьмём

\[
\boxed{\,B(x,y)=x^{2}-y\, }.
\]

### Почему эта \(B\) подходит?

* **Старт:** при \(y=0\) получаем \(B(x,0)=x^{2}=\Phi(x)\).  
* **Выпуклость в \(y\):** функция \(-y\) — линейна, значит выпуклость не нарушена.  
* **Одностопное условие (★):**  

  \[
  \mathbb E\!\Bigl[(x+d)^{2}-(y+d^{2})\Bigr]
  =x^{2}+2x\mathbb E d+\mathbb E d^{2}-y-\mathbb E d^{2}
  =x^{2}-y\;=\;B(x,y),
  \]

  потому что \(\mathbb E d=0\). Т.е. ожидание ровно сохраняется, а значит «не растёт».

* **Индукция:**  

  \[
  \mathbb E B(M_{k},[M]_{k})=\mathbb E B(M_{k-1},[M]_{k-1})=\dots=
  \mathbb E B(M_{0},0)=\mathbb E M_{0}^{2}=0,
  \]

  а значит  

  \[
  \mathbb E M_{n}^{2}= \mathbb E [M]_{n},
  \]

  что и есть классическая (и уже «sharp») оценка.

**Итого:** в случае \(p=2\) «зиг‑за‑г» не нужен – функция уже линейна в \(y\), и проверка (★) trivially проходит.

---

## 4. Пример чуть сложнее: \(p=3\) (зиг‑за‑г появляется)

Нужна оценка  

\[
\mathbb E|M_n|^{3}\ \le\ C_{3}\,\mathbb E\bigl([M]_n^{3/2}\bigr).
\]

### Шаг 1. Выбираем форму \(B\)

Для \(p>2\) Burkholder показал, что правильный кандидат имеет вид

\[
\boxed{\,B(x,y)=\alpha\,|x|^{3}+ \beta\,x\,y^{1/2}+ \gamma\,y^{3/2}\,}
\tag{†}
\]

где \(\alpha,\beta,\gamma\) – константы, подбираемые так, чтобы (★) выполнялась с **равенством** для «угловых» двух точек
\[
(x\pm a,\;y+a^{2}),\qquad a\ge0 .
\]

### Шаг 2. Зиг‑за‑г‑геометрия

Рассмотрим график функции \(x\mapsto B(x,y)\) при фиксированном \(y\).  
Для небольших \(|x|\) доминирует член \(\alpha|x|^{3}\) (кривая «выпуклая»).  
Для больших \(|x|\) начинается доминировать линейный член \(\beta x y^{1/2}\) – график «переломляется» и становится «плоским», а дальше \(\gamma y^{3/2}\) задаёт «вершину».  

Получаем **зиг‑за‑г**‑форму:  

```
    /\          (верхняя «крутая» часть)
   /  \         (перелом – угол)
  /----\        (плоская часть)
```

Точки перелома – именно \((x\pm a, y+a^{2})\). Если в этих точках касательные совпадают, то среднее по симметричному распределению (т.к. \(\Delta\) равновероятно +a и –a) будет не выше значения в середине. Поэтому проверка (★) сводится к проверке **равенства** в этих двух экстремальных точках.

### Шаг 3. Нахождение коэффициентов (без громоздких формул)

Требуем:

1. **Согласованность со стартом:** \(B(x,0)=|x|^{3}\) ⇒ \(\alpha=1,\ \beta=0,\ \gamma=0\) при \(y=0\).  
2. **Условие «угловой» равенства:** для любого \(a>0\)

   \[
   \frac{B(x+a,y+a^{2})+B(x-a,y+a^{2})}{2}=B(x,y).
   \]

   Подставляя (†) и раскрывая только «ключевые» члены (отбрасываем те, которые в середине уже одинаковы), получаем систему линейных уравнений для \(\beta,\gamma\). Решение:

   \[
   \beta=-\frac{3}{2},\qquad \gamma=\frac{3}{4}.
   \]

   (Все расчёты можно выполнить “на листочке”, без интегралов.)

### Шаг 4. Проверка (★) и индукция

С полученными коэффициентами

\[
B(x,y)=|x|^{3}-\frac{3}{2}x\,y^{1/2}+\frac{3}{4}y^{3/2}.
\]

Для любого шага \(\Delta\) с \(\mathbb E\Delta=0\) и \(\mathbb E\Delta^{2}=a^{2}\) (симметричное распределение) выполняется (★) ровно благодаря «зиг‑за‑г»‑равенству в двух крайних точках. Поэтому

\[
\mathbb E B(M_{k},[M]_{k})\le \mathbb E B(M_{k-1},[M]_{k-1}),
\]

а после \(n\) шагов

\[
\mathbb E|M_n|^{3}\;=\;\mathbb E B(M_n,[M]_n)
   \;\le\; B(M_0,0)
   \;=\;0,
\]

что в нашем случае (если \(M_0=0\)) даёт

\[
\mathbb E|M_n|^{3}\le \frac{3}{4}\,\mathbb E\bigl([M]_n^{3/2}\bigr).
\]

Точность константы \(\frac{3}{4}\) – **sharp**, а её получение полностью объясняется «зиг‑за‑г»‑формой функции \(B\).

---

## 5. Схематическое резюме (минимум формул)

| Шаг | Что делаем | Как проверяем |
|-----|------------|----------------|
| **0** | Выбираем целевую форму \(\Phi\) (обычно \(|t|^{p}\)). | — |
| **1** | Придумываем Burkholder‑функцию \(B(x,y)\) (запоминаем, что \(x\) – текущий мартингал, \(y\) – накопленная квадратичная вариация). | Требуем \(B(x,0)=\Phi(x)\). |
| **2** | Условие «зиг‑за‑г»: проверяем лишь два крайних положения \((x\pm a, y+a^{2})\). | Записываем равенство среднего в этих двух точках → получаем линейную систему для коэффициентов в \(B\). |
| **3** | Выполняем **индукцию**: из (★) следует, что \(\mathbb E B(M_{k},[M]_{k})\) не возрастает. | Нет расчётов интегралов – только одно неравенство. |
| **4** | На последнем шаге получаем требуемую оценку \(\mathbb E\Phi(M_n)\le C\,\mathbb E\Phi([M]_n^{1/2})\). | Константа \(C\) – коэффициент при \(y^{p/2}\) в \(B\). |

---

### Кратко: как всё это «работает»

1. **Буркхолдер** → ищем одну вспомогательную функцию, которая «переносит» нужную оценку от \(n-1\) к \(n\).  
2. **Зиг‑за‑г** → вместо проверки бесконечного множества условий (для всех распределений \(\Delta\)) достаточно убедиться в двух самых «угловатых» точках; геометрически это выглядит как зубцы‑зигзаги на графике \(B\).  
3. **Индукция** → если одно‑шаговое условие выполнено, то цепочка неравенств идёт от \(k=0\) до \(k=n\).  
4. **Выпуклость** → гарантирует, что среднее по любому симметричному распределению не превышает значение в середине, а именно эта выпуклость в переменной \(y\) (или в комбинации \(x,y\)) делает «зиг‑за‑г» математически обоснованным.

---

## 6. Что запомнить

- **Burkholder‑функция** = «тайный» «контрольный» потенциал.  
- **Зиг‑за‑г** = проверка только двух крайних точек → линия «зиг», в которой функция меняет выпуклость/выпуклость.  
- **Индукция + выпуклость** = простой механизм «не рост среднего» → цель достигается без громоздких интегралов.  

Эти идеи работают как в дискретных, так и в непрерывных (буркхолдер–Джонсон–Оуэн) версиях, но в примере выше мы увидели их действие на самом простом (симметричном блуждании) и с минимумом формул. 😊