gemini 2.5 pro

построй сходящийcя ряд \sum a_n, такой что \sum (a_n)^3 расходится

строит, причем технично и быстро. объясняет понятно, лучше учителя, если учитель вообще понимает, что такое возможно. учитель калкулуса не всегда. 

ps. GLM-4.5 не решает. ну да, как учитель. долго рассуждает, но не поднимается выше первого курска технического вуза, так сказать.

как будут учить анализу на первом курсе не знаю. вероятно просто отменят анализ. да все остальное тоже, начиная с законов Ньютона, от Шредингера оставят только кота. т.е. не отменят, а утвердят в незыблемости, как в политике.  не нужно этому учить. кому нужно сам найдет ответ. Но... кто будет задавать вопросы?

 

ps. (спустя некоторое время) - gpt-oss-120b-cloud тоже не решает, вернее решает неправильно.

пытается думать, но делает ошибку, лучше чем glm-4.5, уже как хороший студент, ... но   что-то не так с gpt-oss, лучше но... 

Да, а вот что написала gemini-2.5-pro.

Отличный вопрос из математического анализа. Да, такой ряд можно построить. Основная идея состоит в том, чтобы использовать не просто знакочередующийся ряд, а ряд, члены которого сгруппированы таким образом, чтобы их сумма стремилась к нулю, в то время как сумма их кубов давала бы члены расходящегося гармонического ряда. ### Построение ряда Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, члены которого мы будем определять группами по три. Для каждого натурального числа $k=1, 2, 3, \dots$ определим следующую тройку членов: * $a_{3k-2} = \frac{2}{\sqrt[3]{6k}}$ * $a_{3k-1} = -\frac{1}{\sqrt[3]{6k}}$ * $a_{3k} = -\frac{1}{\sqrt[3]{6k}}$ Таким образом, наш ряд выглядит так: $$ \left(\frac{2}{\sqrt[3]{6}} - \frac{1}{\sqrt[3]{6}} - \frac{1}{\sqrt[3]{6}}\right) + \left(\frac{2}{\sqrt[3]{12}} - \frac{1}{\sqrt[3]{12}} - \frac{1}{\sqrt[3]{12}}\right) + \left(\frac{2}{\sqrt[3]{18}} - \frac{1}{\sqrt[3]{18}} - \frac{1}{\sqrt[3]{18}}\right) + \dots $$ Давайте докажем, что этот ряд удовлетворяет условиям. ### 1. Доказательство сходимости ряда $\sum a_n$ Чтобы доказать сходимость, рассмотрим последовательность частичных сумм $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$. Сначала рассмотрим частичные суммы, которые заканчиваются на целой группе, то есть $S_{3k}$: $$ S_{3k} = \sum_{i=1}^{k} \left( a_{3i-2} + a_{3i-1} + a_{3i} \right) $$ Сумма членов в каждой группе равна: $$ a_{3i-2} + a_{3i-1} + a_{3i} = \frac{2}{\sqrt[3]{6i}} - \frac{1}{\sqrt[3]{6i}} - \frac{1}{\sqrt[3]{6i}} = 0 $$ Поэтому $S_{3k} = \sum_{i=1}^{k} 0 = 0$. Отсюда следует, что $\lim_{k \to \infty} S_{3k} = 0$. Теперь рассмотрим другие частичные суммы: * $S_{3k-1} = S_{3k} - a_{3k} = 0 - \left(-\frac{1}{\sqrt[3]{6k}}\right) = \frac{1}{\sqrt[3]{6k}}$ * $S_{3k-2} = S_{3k-1} - a_{3k-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{6k}} - \left(-\frac{1}{\sqrt[3]{6k}}\right) = \frac{2}{\sqrt[3]{6k}}$ Когда $k \to \infty$, обе эти последовательности также стремятся к нулю: $$ \lim_{k \to \infty} S_{3k-1} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{6k}} = 0 $$ $$ \lim_{k \to \infty} S_{3k-2} = \lim_{k \to \infty} \frac{2}{\sqrt[3]{6k}} = 0 $$ Поскольку все три подпоследовательности частичных сумм ($S_{3k}$, $S_{3k-1}$, $S_{3k-2}$) сходятся к одному и тому же пределу (нулю), то и вся последовательность частичных сумм $S_N$ сходится к нулю. **Вывод: Ряд $\sum a_n$ сходится (и его сумма равна 0).** ### 2. Доказательство расходимости ряда $\sum (a_n)^3$ Теперь рассмотрим ряд, составленный из кубов членов нашего ряда: $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^3$. Возведем в куб члены каждой тройки: * $(a_{3k-2})^3 = \left(\frac{2}{\sqrt[3]{6k}}\right)^3 = \frac{8}{6k} = \frac{4}{3k}$ * $(a_{3k-1})^3 = \left(-\frac{1}{\sqrt[3]{6k}}\right)^3 = -\frac{1}{6k}$ * $(a_{3k})^3 = \left(-\frac{1}{\sqrt[3]{6k}}\right)^3 = -\frac{1}{6k}$ Рассмотрим частичные суммы ряда $\sum (a_n)^3$. Обозначим их $T_N$. Нас снова интересуют суммы, состоящие из целых групп, $T_{3k}$: $$ T_{3k} = \sum_{i=1}^{k} \left( (a_{3i-2})^3 + (a_{3i-1})^3 + (a_{3i})^3 \right) $$ Сумма кубов членов в каждой группе равна: $$ (a_{3i-2})^3 + (a_{3i-1})^3 + (a_{3i})^3 = \frac{4}{3i} - \frac{1}{6i} - \frac{1}{6i} = \frac{8-1-1}{6i} = \frac{6}{6i} = \frac{1}{i} $$ Тогда частичная сумма $T_{3k}$ представляет собой частичную сумму гармонического ряда: $$ T_{3k} = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i} $$ Хорошо известно, что гармонический ряд $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ расходится. Это означает, что последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела: $$ \lim_{k \to \infty} T_{3k} = \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i} = +\infty $$ Поскольку мы нашли подпоследовательность частичных сумм ($T_{3k}$), которая расходится, вся последовательность $T_N$ не может сходиться. **Вывод: Ряд $\sum (a_n)^3$ расходится.** Таким образом, построенный ряд полностью удовлетворяет заданным условиям.