1/(x^4+1), что-то подобное раскладывал на занятиях Колмогоров, если не ошибаюсь

 >>> ты ошибся! у тебя есть формула x^4+a^4, достаточно в нее подставить a=1
Вы правы, используем формулу для факторизации $x^4+a^4$ и подставим $a=1$:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)\end{array}$$

Теперь, чтобы разложить дробь $\frac{1}{x^4+1}$ на простейшие частные дроби, пишем:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\end{array}$$

Предположим, что частные дроби имеют вид:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}\end{array}$$

Тогда равенство будет выглядеть так:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{(Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1)+(Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1)}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\end{array}$$

Это равносильно тому, что:

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 1=(Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1)+(Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1)\end{array}$$

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& =A{x}^3-A\sqrt{2}{x}^2+Ax+B{x}^2-B\sqrt{2}x+B+C{x}^3+C\sqrt{2}{x}^2+Cx+D{x}^2+D\sqrt{2}x+D\end{array}$$

Соберем все члены по степеням $x$:

- Для $x^3:A+C=0$
- Для $x^2:-A\sqrt{2}+B+C\sqrt{2}+D=0$
- Для $x^1:A-B\sqrt{2}+C+D\sqrt{2}=0$
- Для свободного члена: $B+D=1$

Решим эту систему уравнений:

1. $A+C=0$ (отсюда, $C=-A$)
2. $-A\sqrt{2}+B+(-A)\sqrt{2}+D=0\Rightarrow -2A\sqrt{2}+B+D=0$
3. $A-B\sqrt{2}-A+D\sqrt{2}=0\Rightarrow (D-B)\sqrt{2}=0$ (отсюда, $D=B$)
4. $B+D=1$

Используя уравнение 3 ($D=B$), подставляем в уравнение 4:

$$\begin{array}{}\text{(7)}& B+B=1\Rightarrow 2B=1\Rightarrow B=\frac{1}{2},D=\frac{1}{2}\end{array}$$

Теперь подставим $B$ и $D$ во второе уравнение:

$$\begin{array}{}\text{(8)}& -2A\sqrt{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\Rightarrow -2A\sqrt{2}+1=0\Rightarrow A=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

И, наконец, используем первое уравнение $C=-A$:

$$\begin{array}{}\text{(9)}& C=-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

Таким образом, частичное сопряжение выглядит так:

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{1}{x^4+1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}\end{array}$$

>>> проверь правильно ты нашел разложение, выполнив действия в правой части
Давайте проверим полученное разложение:

Мы получили следующее разложение:

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{1}{x^4+1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}\end{array}$$

Сложим левую и правую частную дробь:

$$\begin{array}{}\text{(12)}& =\frac{(\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2})(x^2-\sqrt{2}x+1)+(-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2})(x^2+\sqrt{2}x+1)}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\end{array}$$

Раскроем скобки:

**Для первой дроби:**

$$\begin{array}{}\text{(13)}& (\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2})(x^2-\sqrt{2}x+1)=\frac{\sqrt{2}}{4}x(x^2)-\frac{\sqrt{2}}{4}x(\sqrt{2}x)+\frac{\sqrt{2}}{4}x(1)+\frac{1}{2}(x^2)-\frac{1}{2}(\sqrt{2}x)+\frac{1}{2}(1)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& =\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^3-\frac{2}{4}{x}^2+\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}\end{array}$$

**Для второй дроби:**

$$\begin{array}{}\text{(15)}& (-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2})(x^2+\sqrt{2}x+1)=-\frac{\sqrt{2}}{4}x(x^2)+(-\frac{\sqrt{2}}{4})x(\sqrt{2}x)+(-\frac{\sqrt{2}}{4})x(1)+\frac{1}{2}(x^2)+\frac{1}{2}(\sqrt{2}x)+\frac{1}{2}(1)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(16)}& =-\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^3-\frac{2}{4}{x}^2-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}\end{array}$$

Теперь складываем результаты:

- $x^3:\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^3-\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^3=0$
- $x^2:-\frac{2}{4}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{2}{4}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^2=0$
- $x^1:\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x=0$
- Свободный член: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

После сложения остаётся только свободный член, равный 1. Это подтверждает, что наше разложение правильно:

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \frac{1}{x^4+1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}\end{array}$$