>>> ты ошибся! у тебя есть формула x^4+a^4, достаточно в нее подставить a=1
Вы правы, используем формулу для факторизации \(x^4 + a^4\) и подставим \(a = 1\):
\[
x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)
\]
Теперь, чтобы разложить дробь \(\frac{1}{x^4 + 1}\) на простейшие частные дроби, пишем:
\[
\frac{1}{x^4 + 1} = \frac{1}{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)}
\]
Предположим, что частные дроби имеют вид:
\[
\frac{A x + B}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{C x + D}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}
\]
Тогда равенство будет выглядеть так:
\[
\frac{1}{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)} = \frac{(A x + B)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) + (C x + D)(x^2 +
\sqrt{2}x + 1)}{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)}
\]
Это равносильно тому, что:
\[
1 = (A x + B)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) + (C x + D)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)
\]
Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты:
\[
= A x^3 - A \sqrt{2}x^2 + A x + B x^2 - B \sqrt{2}x + B + C x^3 + C \sqrt{2}x^2 + C x + D x^2 + D \sqrt{2}x + D
\]
Соберем все члены по степеням \(x\):
- Для \(x^3: A + C = 0\)
- Для \(x^2: -A \sqrt{2} + B + C \sqrt{2} + D = 0\)
- Для \(x^1: A - B \sqrt{2} + C + D \sqrt{2} = 0\)
- Для свободного члена: \(B + D = 1\)
Решим эту систему уравнений:
1. \(A + C = 0\) (отсюда, \(C = -A\))
2. \(-A \sqrt{2} + B + (-A) \sqrt{2} + D = 0 \Rightarrow -2A \sqrt{2} + B + D = 0\)
3. \(A - B \sqrt{2} - A + D \sqrt{2} = 0 \Rightarrow (D - B)\sqrt{2} = 0\) (отсюда, \(D = B\))
4. \(B + D = 1\)
Используя уравнение 3 (\(D = B\)), подставляем в уравнение 4:
\[
B + B = 1 \Rightarrow 2B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{2}, \quad D = \frac{1}{2}
\]
Теперь подставим \(B\) и \(D\) во второе уравнение:
\[
-2A \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow -2A \sqrt{2} + 1 = 0 \Rightarrow A = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
И, наконец, используем первое уравнение \(C = -A\):
\[
C = -\frac{\sqrt{2}}{4}
\]
Таким образом, частичное сопряжение выглядит так:
\[
\frac{1}{x^4 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} x
+ \frac{1}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}
\]
>>> проверь правильно ты нашел разложение, выполнив действия в правой части
Давайте проверим полученное разложение:
Мы получили следующее разложение:
\[
\frac{1}{x^4 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} x
+ \frac{1}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}
\]
Сложим левую и правую частную дробь:
\[
= \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2}\right)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{4} x +
\frac{1}{2}\right)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)}
\]
Раскроем скобки:
**Для первой дроби:**
\[
\left(\frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2}\right)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) = \frac{\sqrt{2}}{4} x(x^2) -
\frac{\sqrt{2}}{4} x (\sqrt{2}x) + \frac{\sqrt{2}}{4} x(1) + \frac{1}{2}(x^2) - \frac{1}{2}(\sqrt{2}x) +
\frac{1}{2}(1)
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{4} x^3 - \frac{2}{4} x^2 + \frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} x +
\frac{1}{2}
\]
**Для второй дроби:**
\[
\left(-\frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2}\right)(x^2 + \sqrt{2}x + 1) = -\frac{\sqrt{2}}{4} x(x^2) +
(-\frac{\sqrt{2}}{4}) x(\sqrt{2}x) + (-\frac{\sqrt{2}}{4}) x(1) + \frac{1}{2}(x^2) + \frac{1}{2}(\sqrt{2}x) +
\frac{1}{2}(1)
\]
\[
= -\frac{\sqrt{2}}{4} x^3 - \frac{2}{4} x^2 - \frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} x +
\frac{1}{2}
\]
Теперь складываем результаты:
- \(x^3: \frac{\sqrt{2}}{4} x^3 - \frac{\sqrt{2}}{4} x^3 = 0\)
- \(x^2: -\frac{2}{4} x^2 + \frac{1}{2} x^2 - \frac{2}{4} x^2 + \frac{1}{2} x^2 = 0\)
- \(x^1: \frac{\sqrt{2}}{4} x - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{\sqrt{2}}{2} x = 0\)
- Свободный член: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
После сложения остаётся только свободный член, равный 1. Это подтверждает, что наше разложение правильно:
\[
\frac{1}{x^4 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} x + \frac{1}{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} x
+ \frac{1}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}
\]
10 янв. 2025 г.
1/(x^4+1), что-то подобное раскладывал на занятиях Колмогоров, если не ошибаюсь
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Комментариев нет:
Отправить комментарий