qwen2.5-coder

 To factor the expression \(x^4 + 4\), we can use a technique involving completing the square and then factoring by grouping. Here are the steps:

1. **Complete the square:**

   Notice that \(x^4 + 4\) can be written as:

   \[   x^4 + 4 = (x^2)^2 + 4x^2 + 4 - 4x^2   \]

   This is equivalent to:

   \[   (x^2)^2 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2   \]

2. **Factor using the difference of squares:**

   The expression \((x^2 + 2)^2 - (2x)^2\) is a difference of squares, which can be factored as:

   \[   (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)   \]

   Here, \(a = x^2 + 2\) and \(b = 2x\), so:

   \[   (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)   \]

3. **Simplify the factors:**

   The factored form of \(x^4 + 4\) is:

   \[   (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)   \]

So, the factorization of \(x^4 + 4\) is:

\[(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)\]

Prompt executed in 61.29 seconds

графики функций y=1/x, y= - 2/x (perplexity)

 Для построения графиков функций y=1/x и y= - 2/x мы будем использовать метод построения точек на координатной плоскости. Обе эти функции являются обратно пропорциональными и имеют схожие характеристики, но с некоторыми отличиями.

Характеристики функций

Функция y=1/x:

• Это гипербола
• Имеет две ветви: в первом и третьем квадрантах
• Асимптоты: x=0 и y=0 (оси координат)
•  
• 
  
   
  

Функция y=-2/x:

• Это также гипербола
• Имеет две ветви: во втором и четвертом квадрантах
• Асимптоты: x=0 и y=0 (оси координат)
•  
• 
  
   

Построение графиков

Для построения графиков выберем несколько ключевых точек:

x	y=1/x	y=-2/x
-2	-0.5	1
-1	-1	2
-0.5	-2	4
0.5	2	-4
1	1	-2
2	0.5	-1

 

Обратите внимание, что:

• При x, стремящемся к 0 с обеих сторон, y стремится к бесконечности (положительной или отрицательной)
• Функция y=-2/x имеет более "крутые" ветви, так как коэффициент больше по модулю

Особенности графиков

1. Обе функции не определены при x=0, поэтому имеют разрыв в этой точке.
2. График y=1/x симметричен относительно биссектрисы I и III квадрантов (y=x).
3. График y=-2/x симметричен относительно биссектрисы II и IV квадрантов (y=-x).
4. Ветви гиперболы y=-2/x расположены "шире" от асимптот, чем ветви y=1/x, из-за большего коэффициента.

Применение

Графики обратно пропорциональных функций часто используются для описания физических процессов, таких как:

• Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре (закон Бойля-Мариотта)
• Зависимость силы тока от сопротивления при постоянном напряжении (закон Ома)

При построении этих графиков в реальных приложениях важно учитывать область определения функции, которая может быть ограничена физическим смыслом задачи

 

 

Прямая по двум точкам и ломаная (perplexity and qwen2-math)

 Perplexity:

Уравнение прямой по двум точкам

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, используется следующая формула: 

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)

$или\; полагая\; k\; =\; ($y_2-y_1)/(x_2-x_1):

${}_{}{}_{}{}_{}(y-y_{\_1})=k\; (x-x\_1)$  

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух заданных точек

Процесс составления уравнения:

1. Подставьте координаты точек в формулу.
2. Упростите выражение, раскрыв скобки.
3. Приведите уравнение к общему виду Ax + By + C = 0.

Пример:
Пусть даны точки A(2, -3) и B(0, 4).  Тогда k=(y2-y1)/(x2-x1)=(4-(-3))/(0-2)= - 7/2.

Уравнение прямой будет: $(y-(-3))=\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$(-7/2) (x-2) Умножив на 2 обе части, получим:  

2y+6=-7x+14

После преобразований: $\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$7x+2y - 8=0

Уравнение ломаной

Ломаная линия состоит из нескольких прямолинейных отрезков, соединенных последовательно. Уравнение ломаной представляет собой набор уравнений прямых для каждого сегмента. Для составления уравнения ломаной:

1. Определите координаты всех точек излома.
2. Составьте уравнение прямой для каждого сегмента между соседними точками.
3. Укажите область определения для каждого уравнения.

Пример:
Для ломаной ABCD с точками A(0,0), B(2,2), C(4,1), D(6,3): Сегмент AB: y = x, 0 ≤ x ≤ 2
Сегмент BC: y = -0.5x + 3, 2 < x ≤ 4
Сегмент CD: y = x - 3, 4 < x ≤ 6 Таким образом, уравнение ломаной представляет собой систему уравнений с указанными областями определения для каждого сегмента.

--------------qwen2-math---

Уравнение прямой по двум точкам:

Пусть данные две точки с координатами (x1, y1) и (x2, y2). Следующий шаг для нахождения уравнения прямой,
проходящей через эти две точки:

1. Вычислите разницу в "y" координатах двух точек: Δy = y2 - y1.
2. Вычислите разницу в "x" координатах двух точек: Δx = x2 - x1.
3. Вычислите угловой коэффициент прямой, используя формулу k = Δy / Δx.
4. Используйте формулу уравнения прямой в виде y = kx + b, где "k" является угловым коэффициентом, и "b" - это
intercept (точка пересечения с осью "y").
5. Для нахождения "b", подставьте значения одной из точек в уравнение: b = y1 - k*x1.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, будет у = kx + b, где "k" и "b" найдены по
вышеперечисленным шагам.

>>> приведи пример


Пусть у нас есть две точки: A(2, 3) и B(5, 7). Мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

1. Вычислите разницу в "y" координатах двух точек: Δy = y2 - y1 = 7 - 3 = 4.
2. Вычислите разницу в "x" координатах двух точек: Δx = x2 - x1 = 5 - 2 = 3.
3. Вычислите угловой коэффициент прямой, используя формулу  k= Δy / Δx = 4 / 3.
4. Используйте формулу уравнения прямой в виде y = kx + b. Подставим значения точки A (2, 3) и value of "k" into
the formula: 3 = (4/3)*2 + b. Решая эту уравнение, мы получаем: b = 3 - 8/3 = 1/3.
5. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, будет y = (4/3)x + (1/3).

Проверка: 3=(4/3)*2+1/3  верно, прямая проходит через A(2,3)

                  7=(4/3)*5+1/3 верно, прямая проходит через  B(5,7)