Линейное уравнение. Линейная функция. График линейной функции

 

Линейное уравнение, линейная функция и ее график - это фундаментальные понятия в алгебре, которые тесно связаны между собой.

Линейное уравнение

Линейное уравнение имеет вид: $ax+b=0$ где a и b - константы, а x - неизвестная переменная. Это уравнение первой степени, так как наивысшая степень переменной x равна 1.

Линейная функция

Линейная функция описывается формулой: $y=kx+b$ где:

• k - угловой коэффициент (наклон прямой)
• b - свободный член (точка пересечения с осью y)
• x - независимая переменная
• y - зависимая переменная

Основные свойства линейной функции:

• Область определения - все действительные числа
• Область значений - все действительные числа
• Функция возрастает при k > 0, убывает при k < 0, постоянна при k = 0
• Не имеет экстремумов (максимумов и минимумов)

График линейной функции

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию. Для построения графика достаточно определить две точки, через которые проходит прямая. Характеристики графика:

• Пересекает ось y в точке (0, b)
• Угол наклона определяется коэффициентом k
• При k > 0 прямая направлена вверх, при k < 0 - вниз
• При k = 0 прямая параллельна оси x

Пример построения:
Для функции y = 1/3x + 2:

1. Находим точку пересечения с осью y: (0, 2)
2. Выбираем вторую точку, например, при x = 3: y = 1/3 * 3 + 2 = 3
3. Получаем точки A(0, 2) и B(3, 3)
4. Соединяем точки прямой линией

Понимание линейных функций и их графиков важно для решения многих практических задач в математике, физике, экономике и других областях.

 

=============================

 

Linear functions are fundamental concepts in algebra that represent straight lines when graphed. Let's explore the key aspects of linear functions and how to graph them.

Definition and Equation

A linear function is a function whose graph is a straight line. It is typically expressed in the form: $f(x)=mx+b$Where:

• m is the slope of the line
• b is the y-intercept
• x is the independent variable
• f(x) is the dependent variable

This equation is also known as the slope-intercept form of a linear function.

Characteristics of Linear Functions

Slope: The slope m represents the rate of change of the function. It indicates:

• How steep the line is
• The direction of the line (increasing, decreasing, or horizontal)

Y-intercept: The y-intercept b is the point where the line crosses the y-axis. It represents the value of f(x) when x = 0.

Graphing Linear Functions

There are three main methods to graph a linear function:

1. Plotting Points:
   • Choose at least two x-values
   • Calculate the corresponding y-values using the function
   • Plot the points and connect them with a straight line
2. Using Slope and Y-intercept:
   • Plot the y-intercept (0, b)
   • Use the slope to find another point on the line
   • Connect the points
3. Using Transformations:
   • Start with the identity function f(x) = x
   • Apply vertical stretch or compression by factor m
   • Shift the graph up or down by b units

Example

Let's graph the function f(x) = 2x + 3

1. Identify the slope: m = 2
2. Identify the y-intercept: b = 3
3. Plot the y-intercept: (0, 3)
4. Use the slope to find another point:
   • Moving right 1 unit (run) and up 2 units (rise) gives the point (1, 5)
5. Connect the points to form the line

The resulting graph will be a straight line passing through (0, 3) and (1, 5), extending infinitely in both directions.

Domain and Range

For most linear functions:

• Domain: All real numbers (ℝ)
• Range: All real numbers (ℝ)

Exception: When the slope is zero (horizontal line), the range is a single value. Understanding linear functions and their graphs is crucial in algebra and forms the foundation for more complex mathematical concepts.