Все же мне повезло. Удалось кое-что, существенное добавить к поздней
задачке этого юноши с воспаленным взглядом, математика и скалолаза.
Добавить к работе 1957 года, 50 - летнего Хасслера, почти решить его
задачку, почти...
Не могу сказать, что задача поставлена естественно, потому как непонятно пока, как получить для меня ясный результат:
если
$$\int_0^{j/k} f(t) \, dt =0, \qquad j=1,\dots k$$
и
$$
\Delta_h^k f(x) := \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}{k \choose j} f(x+jh), \quad 0<h \le 1/k,
$$
то
$$
\sup_{x \in [0,1 ]}| f(x) | \le \sup_{x, x+kh \in [0,1]} \, | \Delta_h^k f(x) |.
$$
До конца не ясно, потому как с увеличением $k$ возрастают трудности,
оператор конечной разности при ограничении $x, x+kh \in [0,1]$ не желает легко обращаться.
Идет борьба за организацию правильных оценок-тождеств около концов
отрезка. Пока не понятно, можно ли доказать это относительно просто.
Доказательства записаны для $ k \le 8$. Можно записать, ценой больших
вычислительных усилий для $k \le 12$. Однако можно ли попроще это
дело сделать .. ну пусть, для начала, для $ k \le 10$?
Точнее, не до конца ясно какой оператор нужно обращать для получения желанной оценки. Какая именно форма оператора конечной разности отвечает условию $x, x+kh \in [0,1]$
