И его формула.
Это К. Якоби
А это совершенно замечательное тождество Якоби:
$$
\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} {q^{k^2}}\right)^4 = \sum_{n=0}^\infty r(n) q^n =1+8 \sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n} - 8 \sum_{n=1}^\infty \frac {4n q^{4n}}{1- q^{4n}}, \quad q = \exp(\pi i z), \quad \Im(z)>0.
$$
Великолепная формула. Формула дающая число решений в целых числах уравнения Лагранжа:
$$
k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2 = n, \quad n=1,2,3 \dots
$$
Это число равно
$$
r(n) = 8 \sum_{d|n \ 4\not | \; d} d
$$
например, $r(3)=8 \cdot (1+3)=32$
$$
3 = 0 +(\pm 1)^ 2+(\pm 1)^2 + (\pm 1)^2 = (\pm 1)^2+0+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2 =(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+0+(\pm 1)^2=(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+0
$$
Будучи формульным человеком, ну человеком постоянных, можно сказать, хотел бы написать
нечто подобное еще раз. Это значительно глубже и прекрасней того, что написал я в немногочисленных работах - о константах в теоремах Уитни и Джексона-Стечкина -
но насколько это близко к обращению операторов дифференцирования - обычного и разностного, приводящему к точным оценкам теории аппроксимации.... -- где тут производные? разности?
Есть ли связь между тем что написано и скромным тезисом Якоби:
Обращай!
Это К. Якоби
А это совершенно замечательное тождество Якоби:
$$
\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} {q^{k^2}}\right)^4 = \sum_{n=0}^\infty r(n) q^n =1+8 \sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n} - 8 \sum_{n=1}^\infty \frac {4n q^{4n}}{1- q^{4n}}, \quad q = \exp(\pi i z), \quad \Im(z)>0.
$$
Великолепная формула. Формула дающая число решений в целых числах уравнения Лагранжа:
$$
k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2 = n, \quad n=1,2,3 \dots
$$
Это число равно
$$
r(n) = 8 \sum_{d|n \ 4\not | \; d} d
$$
например, $r(3)=8 \cdot (1+3)=32$
$$
3 = 0 +(\pm 1)^ 2+(\pm 1)^2 + (\pm 1)^2 = (\pm 1)^2+0+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2 =(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+0+(\pm 1)^2=(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+0
$$
Будучи формульным человеком, ну человеком постоянных, можно сказать, хотел бы написать
нечто подобное еще раз. Это значительно глубже и прекрасней того, что написал я в немногочисленных работах - о константах в теоремах Уитни и Джексона-Стечкина -
но насколько это близко к обращению операторов дифференцирования - обычного и разностного, приводящему к точным оценкам теории аппроксимации.... -- где тут производные? разности?
Есть ли связь между тем что написано и скромным тезисом Якоби:
Обращай!
