K Jacobi

И его формула.

Это К. Якоби

А это совершенно замечательное тождество Якоби:


$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\left(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k^2}\right)}^4=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}r(n)q^n=1+8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}-8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n{q}^{4n}}{1-q^{4n}},q=\exp (\pi iz),\mathrm{\Im }(z)>0.\end{array}$$



Великолепная формула. Формула дающая число решений в  целых числах уравнения Лагранжа:
$$\begin{array}{}\text{(2)}& k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2=n,n=1,2,3\dots \end{array}$$
Это число равно
$$\begin{array}{}\text{(3)}& r(n)=8\sum _{d|n4|̸d}d\end{array}$$
например,  $r(3)=8 \cdot (1+3)=32$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& 3=0+(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2=(\pm 1{)}^2+0+(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2=(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2+0+(\pm 1{)}^2=(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2+0\end{array}$$
Будучи формульным человеком, ну человеком  постоянных, можно сказать, хотел бы написать
нечто подобное еще раз.  Это значительно глубже и прекрасней того, что написал я в немногочисленных работах - о константах в теоремах Уитни и Джексона-Стечкина -

но насколько это близко к обращению операторов дифференцирования - обычного и разностного,  приводящему к точным оценкам теории аппроксимации.... --  где тут производные?  разности?

Есть ли связь между тем что написано и скромным тезисом Якоби:

Обращай!