Никишин и Эрмит.

 

 

Вот к этому, пояснение от gemini 3: 

 

Конечно. Вот тот же разбор, но с использованием требуемого формата для строчных формул.

Это действительно очень красивое и, главное, «естественное» доказательство. Оно не требует придумывания странных функций «с потолка» (как в доказательстве Нивена), а опирается на классический анализ и свойства интегралов, которыми владели математики уровня Эрмита.

Вот подробный разбор того, как из приведённой формулы следует иррациональность числа \( \pi \).

---

### 1. Анализ формулы

Пусть у нас есть функция, заданная интегралом:
$$ I_n(x) = \frac{x^{2n+1}}{(2n)!!} \int_0^1 (1-t^2)^n \cos(tx) \, dt $$
Где \( (2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n n! \).

В формуле утверждается, что этот интеграл можно представить в виде:
$$ I_n(x) = P_n(x) \sin x + Q_n(x) \cos x $$
где **\( P_n(x) \) и \( Q_n(x) \) — многочлены с целыми коэффициентами**.

Это ключевой момент. Давайте быстро поймем, почему это так, не вдаваясь в громоздкие вычисления (хотя Эрмит это выводил строго):
Если мы разложим \( (1-t^2)^n \) по биному Ньютона и проинтегрируем слагаемые вида \( t^{2k} \cos(tx) \), мы получим суммы членов, содержащих \( \frac{\sin x}{x^m} \) и \( \frac{\cos x}{x^p} \).
Множитель \( x^{2n+1} \) перед интегралом подобран идеально так, чтобы:
1.  Сократить все \( x \) в знаменателях, которые появляются при интегрировании.
2.  Оставить коэффициенты многочленов \( P_n \) и \( Q_n \) **целыми числами**.

### 2. Предположение от противного

Предположим, что число \( \pi \) — рациональное.
Это значит, что его можно представить в виде дроби:
$$ \pi = \frac{a}{b}, \quad \text{где } a, b \in \mathbb{N} $$
Следовательно,
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{a}{2b} $$
Обозначим \( x_0 = \frac{\pi}{2} \).

### 3. Подстановка \( x = \pi/2 \)

Подставим \( x = \frac{\pi}{2} \) в исходное тождество.

**Правая часть:**
Так как \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \) и \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \), формула упрощается до:
$$ I_n\left(\frac{\pi}{2}\right) = P_n\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot 1 + Q_n\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot 0 = P_n\left(\frac{\pi}{2}\right) $$

Вспомним, что \( P_n(x) \) — это многочлен с **целыми** коэффициентами степени, зависящей от \( n \) (не выше \( 2n \)).
Поскольку \( x = \frac{a}{2b} \), то \( P_n(\frac{a}{2b}) \) будет суммой членов вида \( c_k \frac{a^k}{(2b)^k} \).
Это рациональное число. Чтобы сделать его целым, достаточно умножить его на знаменатель в старшей степени. Обозначим эту степень \( N \) (она зависит от \( n \), примерно \( 2n \)).
Значит, число:
$$ A_n = (2b)^N \cdot P_n\left(\frac{\pi}{2}\right) $$
является **целым числом**.

**Левая часть:**
Теперь посмотрим на интеграл при \( x = \frac{\pi}{2} \):
$$ I_n\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{(\pi/2)^{2n+1}}{(2n)!!} \int_0^1 (1-t^2)^n \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) \, dt $$

### 4. Оценка интеграла (Левая часть)

Здесь нам нужно доказать две вещи про число \( I_n(\pi/2) \):
1.  Оно строго больше нуля.
2.  Оно стремится к нулю при росте \( n \).

**А) Строго больше нуля:**
На интервале интегрирования \( t \in (0, 1) \):
*   \( (1-t^2)^n > 0 \)
*   \( \cos(\frac{\pi t}{2}) > 0 \) (так как аргумент меняется от 0 до \( \pi/2 \)).
Следовательно, интеграл от строго положительной функции положителен.
$$ I_n(\pi/2) > 0 $$

**Б) Стремление к нулю:**
Оценим интеграл сверху.
Множитель \( (1-t^2) \le 1 \).
Множитель \( \cos(\dots) \le 1 \).
Сам интеграл \( \int_0^1 (\dots) dt < 1 \).

Посмотрим на коэффициент перед интегралом:
$$ \frac{(\pi/2)^{2n+1}}{(2n)!!} = \frac{(\pi/2)^{2n+1}}{2^n \cdot n!} $$
При \( n \to \infty \) факториал в знаменателе (\( n! \)) растет несравнимо быстрее, чем показательная функция в числителе (\( C^n \), где \( C \) — константа).
Следовательно:
$$ \lim_{n \to \infty} I_n(\pi/2) = 0 $$

### 5. Получение противоречия

Теперь соберем всё вместе.

1.  Мы предположили, что \( \pi/2 = a/2b \).
2.  Рассмотрим число \( Z_n = (2b)^{2n+1} \cdot I_n(\pi/2) \).
    *   Так как \( I_n(\pi/2) = P_n(\pi/2) \), а \( P_n \) — многочлен с целыми коэффициентами, то при умножении на достаточно высокую степень знаменателя (\( 2b \)), мы должны получить **целое число**.
    *   Значит, \( Z_n \in \mathbb{Z} \) (является целым числом).
3.  Из оценки интеграла мы знаем, что \( Z_n > 0 \).
4.  Однако, из-за факториала в знаменателе формулы Эрмита, сама величина \( I_n(\pi/2) \) уменьшается очень быстро. Даже если мы умножаем её на \( (2b)^{2n+1} \), факториал \( n! \) в знаменателе все равно "победит" экспоненциальный рост \( (2b)^{2n} \).
    $$ \lim_{n \to \infty} Z_n = 0 $$

**Финал:**
При достаточно большом \( n \) мы получаем число \( Z_n \), которое:
1.  Является **целым**.
2.  Строго **больше нуля**.
3.  Строго **меньше единицы** (так как предел 0).

$$ 0 < Z_n < 1 $$